Statystyka i eksploracja danych 4. Statystyki dostateczne — zadania

Statystyka i eksploracja danych
4. Statystyki dostateczne — zadania do samodzielnego
rozwiązania
Zad. 4.1 Na pewnej przestrzeni probabilistycznej określamy dwie zmienne losowe: X i Y .
Mają one rozkład:
XY
0
1
−1
0
1
1/4 1/4 1/4
1/8 0 1/8
Wyznacz E(X | Y ) oraz E(Y | X).
Zad. 4.2 Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów, a Y liczbę
orłów w pierwszych 4 rzutach. Wyznacz E(X | Y ).
Zad. 4.3 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na (0, 1), zaś rozkład warunkowy
zmiennej Y pod warunkiem, że X = x, jest jednostajny na (0, x). Wyznacz rozkład
łączny zmiennych X i Y , fY (y), fX|Y (x | y) i E(X | Y ).
Zad. 4.4 Niech X i Y mają rozkład jednostajny na trójkącie 0 ¬ x ¬ y ¬ 1, tzn. gęstość
f (x, y) = 2 dla 0 ¬ x ¬ y ¬ 1. Wyznacz P (X > 0, 5 | Y = y) oraz E(X | Y )
i E(Y | X).
Zad. 4.5 Niech X i Y mają łączną gęstość f (x, y) = cx(y − x)e−y , 0 ¬ x ¬ y ¬ 1.
1. Wyznacz c.
2. Pokaż, że
f (x | y) = 6x(y − x)y −3 , 0 ¬ x ¬ y,
f (y | x) = (y − x)e−(y−x) , x ¬ y < ∞.
3. Udowodnij, że E(X | Y ) = Y /2 oraz E(Y | X) = X + 2.
Zad. 4.6 (Z., Przykłady 3. i 4. str. 23) Korzystając z kryterium faktoryzacji, wykaż, że
1. jeśli X1 , . . . , Xn jest próbą z rozkładu dwupunktowego
P (Xi = 1) = 1 − P (Xi = 0) = θ,
to T =
Pn
i=1
Xi jest statystyką dostateczną,
2. jeśli X1 , . . . , Xn jest próbą z rozkładu jednostajnego U(0, θ), θ > 0, to X(n) jest
statystyką dostateczną.
Zad. 4.7 (Z., Przykład 7. str. 26) Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu Cauchy’ego
C(θ, 1) o gęstości
1
1
.
fθ (x) = ·
π 1 + (x − θ)2
Wykaż, że statystyka pozycyjna (X(1) , . . . , X(n) ) jest minimalną statystyką dostateczną.
Zad. 4.8 Statystyka T ma rozkład określony następująco:
P (T = 0) = θ(1 − θ),
P (T = 1) = θ,
P (T = 2) = (1 − θ)2
dla θ ∈ (0, 1). Wykaż, że T jest statystyką zupełną. (Wskazówka: wyznacz Eh(T ),
przyrównaj do 0 i skorzystaj z twierdzenia o równości wielomianów).
Zad. 4.9 (Z., Przykład 11. str. 30) Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu gamma
Γ(α, λ) z parametrem kształtu α > −1 i skali λ > 0 o gęstości
fα,λ (x) =
1
λα Γ(α)
xα−1 e−x/λ 1I[0,∞)(x).
Wykaż, że rodzina rozkładów gamma jest rodziną wykładniczą. Wyznacz minimalną
P
i zupełną statystykę dostateczną. Wykaż, że T = ni=1 Xi /n jest ENMW parametru
αλ. (Wskazówka: Γ(α + 1) = αΓ(α)).