Wykład - cz. 2

Wykład 2
Pojęcia wstępne teorii grafów
SW
2.1. Grafy i grafy skierowane
Definicja 2.1. Grafem prostym (nieskierowanym) nazywamy parę uporządkowaną (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, a E ⊆ [V ]2 . Zbiór E
nazywamy zbiorem krawędzi.
b
-U
K
Przykład 2.1. Rozważmy graf G = (V, E), w którym V = {a, b, c, d, e},
E = {{a, b}, {b, c}, {c, d}, {d, d}, {a, e}}.
♣
e
c
a
d
e
a
d
c
b
Rysunek 2.1.
W
M
P
Definicja 2.2. Grafem skierowanym (zorientowanym) nazywamy parę
(V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, a E ⊆ V × V . Zbiór E nazywamy
zbiorem łuków.
Przykład 2.2. Graf G = (V, E), w którym zbiorem wierzchołków jest zbiór
V = {a, b, c, d, e} oraz E = {(a, b), (b, d), (b, a), (c, d), (c, e), (e, d), (e, e)}. ♣
a
b
c
e
d
Rysunek 2.2.
2.2. Izomorfizm
Definicja 2.3. Dwa grafy G, H są identyczne (piszemy wówczas G = H),
jeśli V (G) = V (H) oraz E(G) = E(H).
Definicja 2.4. Dwa grafy G, H nazywamy izomorficznymi i oznaczamy
G ∼
= H, jeśli istnieje bijekcja Θ : V (G) → V (H) taka, że
(2.1)
RK
{u, v} ∈ E(G)
⇐⇒
{Θ(u), Θ(v)} ∈ E(H).
7
8
Wykład 2. Pojęcia wstępne teorii grafów
Definicja 2.5. Automorfizmem grafu nazywamy izomorfizm grafu na siebie.
Przykład 2.3.
a) Grafy izomorficzne,
D
B
E
C
F
A ↔ 1,
1
2
6
3
SW
A
5
B ↔ 3,
C ↔ 5,
D ↔ 2,
4
E ↔ 4,
F ↔6
Rysunek 2.3. Grafy izomorficzne
-U
K
b) Grafy nieizomorficzne.
W
M
P
Rysunek 2.4. Grafy nieizomorficzne
♣
2.3. Specjalne typy grafów
Definicja 2.6. Graf prosty, w którym każda para różnych wierzchołków jest
połączona krawędzią nazywamy grafem pełnym i oznaczamy go przez Kn .
Przykład 2.4. Przykłady grafów pełnych o n = 1, 2, 3, 4 wierzchołkach
znajdują się na rysunku 2.5. Ile krawędzi ma graf pełny?
Tyle, ile dwuelementowych podzbiorów zbioru n-elementowego, czyli n2 .
♣
2
1
1
2
2 4
1
1
3
K1
K2
K3
3
K4
Rysunek 2.5. Przykłady grafów pełnych
Definicja 2.7. Grafem pustym będziemy nazywali graf, który nie posiada
krawędzi: E(G) = ∅.
Notatki do wykładu Matematyka dyskretna prowadzonego przez dr Justynę Kurkowiak na WMP UKSW w Warszawie
9
2.3. Specjalne typy grafów
Definicja 2.8. Graf, którego wierzchołki odpowiadają k-elementowym ciągom zero-jedynkowym, przy czym dwa wierzchołki są połączone krawędzią,
jeżeli odpowiadające im ciągi różnią się dokładnie na jednym miejscu, nazywamy k-kostką.
(0, 1, 1)
(0, 1)
(1, 1, 1)
(1, 1)
(0, 0, 1)
(1, 0, 1)
(1)
(0)
(0, 0)
(a)
(0, 0, 0)
(1, 0)
(b)
(1, 0, 0)
(c)
0110
1110
0111
1111
0010
1010
1011
-U
K
0011
0100
1100
0101
0000
(1, 1, 0)
SW
(0, 1, 0)
1101
1000
0001
1001
(d)
Rysunek 2.6. (a) 1-kostka, (b) 2-kostka, (c) 3-kostka, (d) 4-kostka
W
M
P
Definicja 2.9. Grafem dwudzielnym nazywamy taki graf, którego zbiór
wierzchołków może być podzielony na dwa niepuste podzbiory X i Y takie,
że każda krawędź ma jeden koniec w zbiorze X, a drugi w zbiorze Y .
Definicja 2.10. Podział (X, Y ) nazywać będziemy dwupodziałem wierzchołków. Inaczej: żadne dwa wierzchołki należące do tego samego zbioru
dwupodziału nie są połączone krawędzią.
Wprowadzając k-podział zbioru wierzchołków w analogiczny sposób definiujemy graf k-dzielny.
Definicja 2.11. Pełny graf dwudzielny jest grafem prostym dwudzielnym z dwupodziałem (X, Y ), w którym każdy wierzchołek z X jest połączony
z każdym wierzchołkiem z Y .
Uwaga 2.1. Jeśli |X| = m i |Y | = n, to taki graf dwudzielny oznaczać
będziemy Kn,m .
Liczba wierzchołków jest równa |V (Kn,m )| = n + m. Liczba krawędzi
równa jest |E(Kn,m )| = nm.
Definicja 2.12. Dopełnieniem grafu prostego G (ozn. Gc ) do grafu pełnego nazywamy graf o zbiorze wierzchołków V (G), przy czym dwa wierzchołki są połączone w Gc wtedy, gdy nie były połączone w grafie G.
Notatki do wykładu Matematyka dyskretna prowadzonego przez dr Justynę Kurkowiak na WMP UKSW w Warszawie
10
Wykład 2. Pojęcia wstępne teorii grafów
X
Y
1
2
..
.
m
1
2
..
.
n
Rysunek 2.7. Graf dwudzielny
1
5
1
4
2
5
4
-U
K
2
SW
Przykład 2.5. Przykładem grafu pełnego oraz jego dopełnienia mogą być
grafy przedstawione na rysunku 2.8. W przypadku tych grafów G ∼
= Gc .
♣
Nie zawsze jednak graf musi być izomorficzny ze swoim dopełnieniem.
3
(a)
3
(b)
Rysunek 2.8. (a) Graf pełny G, (b) dopełnienie Gc grafu pełnego G
W
M
P
c
Co można powiedzieć o grafach Knc oraz Kn,m
?
c
c
Graf Kn jest grafem pustym o n wierzchołkach, Kn,m
natomiast sumą
grafów Kn ∪ Km .
1
5
8
1
6
5
7
2
4
3
(a)
2
4
3
(b)
c
= K5 ∪ K3 , (b) graf Knc
Rysunek 2.9. (a) Graf K5,3
Definicja 2.13. Graf H jest podgrafem grafu G (H ⊆ G), jeśli V (H) ⊆
V (G) oraz E(H) ⊆ E(G).
Rozpięty podgraf jest podgrafem, dla którego zbiór wierzchołków V (H) =
V (G).
Notatki do wykładu Matematyka dyskretna prowadzonego przez dr Justynę Kurkowiak na WMP UKSW w Warszawie
11
2.3. Specjalne typy grafów
Definicja 2.14. Przypuśćmy, że V ∗ jest niepustym podzbiorem V . Podgraf
grafu G, dla którego zbiorem wierzchołków jest V ∗ oraz, którego zbiór krawędzi składa się ze wszystkich krawędzi grafu G o obu końcach w V ∗ nazywamy
podgrafem indukowanym przez V ∗ i oznaczamy przez G[V ∗ ].
Uwaga 2.2. Podgraf G indukowany przez V r V ∗ oznaczamy także przez
G[V r V ∗ ] = G r V ∗ , dla podkreślenia, że uzyskuje się go poprzez usunięcie
zbioru V ∗ .
SW
Definicja 2.15. Załóżmy, że E ∗ ⊂ E oraz E ∗ 6= ∅. Podgraf grafu G, którego zbiór wierzchołków stanowią końce krawędzi z E ∗ , a zbiorem krawędzi
jest E ∗ nazywamy podgrafem indukowanym krawędziowo przez E ∗
i oznaczamy przez G[E ∗ ].
Uwaga 2.3. Równość G[E r E ∗ ] = G r E ∗ nie musi być prawdziwa.
Przykład 2.6. Rozważmy graf G (rys. 2.10).
e1
v2
v8
-U
K
v1
e7
e2
e6 e5
e4
e3
v3
e8
v7
v4
e9
v5
e10
v6
Rysunek 2.10.
W
M
P
Widzimy (rys. 2.11), że dla grafów G[V r {v2 , v5 , v8 }] oraz G r {v2 , v5 , v8 }
równość G[V r{v2 , v5 , v8 }] = Gr{v2 , v5 , v8 } = Gr{v2 , v5 , v8 } jest prawdziwa.
v1
v3
v7
v4
v6
Rysunek 2.11.
Nie jest już tak, gdy rozpatrzymy grafy G1 = G r {e2 , e3 , e5 , e6 , e9 , e10 },
G2 = G[E r {e2 , e3 , e5 , e6 , e9 , e10 }] (rys. 2.12). W przypadku grafów G1 oraz
v1
v2
v8
v1
v2
v8
v7
v3
v4
v5
v7
v6
(a)
v3
v4
(b)
Rysunek 2.12.
G2 widzimy (rys. 2.12), że powstałe grafy mają te same krawędzie, ale graf
Notatki do wykładu Matematyka dyskretna prowadzonego przez dr Justynę Kurkowiak na WMP UKSW w Warszawie
12
Wykład 2. Pojęcia wstępne teorii grafów
G1 zawiera, w odróżnieniu od grafu G2 , wierzchołki v5 , v6 . Zatem G1 6= G2 =
♣
G[e1 , e4 , e7 , e8 ].
Przykład 2.7. Ile można utworzyć grafów prostych na zbiorze wierzchołków
{1, 2, . . . , n}, które mają dokładnie m krawędzi?
Zauważmy, że w przypadku grafu o czterech wierzchołkach mamy 42 = 6
krawędzi. Grafów mających k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 krawędzi jest więc k6 .
Ogólnie, grafów prostych o n wierzchołkach mających m krawędzi jest
n ( 2 ) krawędzi – wybieramy m krawędzi spośród wszystkich możliwych kram
n
2
.
SW
wędzi, których jest
♣
2.4. Stopnie wierzchołków
Twierdzenie 2.1.
-U
K
Definicja 2.16. Stopniem wierzchołka v w grafie G nazywamy liczbę
d(v) = dG (v) krawędzi grafu G incydentnych (wychodzących) z wierzchołka v, przy czym pętlę liczymy podwójnie. Przez δ(G) oraz ∆(G) oznaczamy
odpowiednio minimalny i maksymalny stopień w grafie G.
X
(2.2)
d(v) = 2ε(G).
v∈V (G)
W
M
P
Dowód. Każda krawędź ma dwa końce, w związku z tym licząc stopnie
liczymy je podwójnie.
Wniosek 2.1. W dowolnym grafie liczba wierzchołków stopnia nieparzystego
jest parzysta.
Dowód. Niech N będzie zbiorem wierzchołków grafu G nieparzystego stopnia, natomiast P niech będzie zbiorem wierzchołków stopnia parzystego. Korzystając z twierdzenia 2.1 otrzymujemy
2ε(G)
| {z }
liczba parzysta
Stąd
X
=
X
v∈V (G)
d(v) =
X
v∈N
d(v) +
X
d(v) .
v∈P
|
{z
}
liczba parzysta
d(v) jest liczbą parzystą, a ponieważ wszystkie liczby w tej sumie
v∈N
są liczbami nieparzystymi, ich liczba musi być parzysta.
Definicja 2.17. Graf G nazywamy k-regularnym, jeśli dla każdego wierzchołka v ∈ V (G), d(v) = k.
Definicja 2.18. Graf jest regularny, gdy jest k-regularny dla pewnego k.
Przykład 2.8. Grafy Kn i Kn,n są regularne. Graf Kn jest (n−1)-regularny,
Kn,n jest n-regularny.
♣
Notatki do wykładu Matematyka dyskretna prowadzonego przez dr Justynę Kurkowiak na WMP UKSW w Warszawie
13
2.5. Reprezentacja macierzowa
Definicja 2.19. Grafem krawędziowym L(G) grafu G nazywamy graf
o zbiorze wierzchołków E(G) takim, że dwa wierzchołki w L(G) są przyległe,
jeśli odpowiadajace im krawędzie są przyległe w G.
Przykład 2.9. Na rysunkach 2.13 (a) – (d) przedstawiono grafy oraz ich
grafy krawędziowe.
♣
v5
e1
SW
v2
e4
e1
e2
v1
e3
e2
v3
v4
e4
(b) Graf L(G)
e1
-U
K
(a) Graf G
e3
e3
e2
e3
e2
e1
(c) Graf H
(d) Graf L(H)
W
M
P
Rysunek 2.13. Grafy G, H oraz odpowiadające im grafy krawędziowe L(G), L(H)
2.5. Reprezentacja macierzowa
Definicja 2.20. Jeśli G jest grafem, którego wierzchołki są oznakowane liczbami 1, 2, . . . , n, to macierzą sąsiedztwa jest macierz A wymiaru n × n
(2.3)
A = (aij )n×n ,
w której aij jest liczbą krawędzi pomiędzy wierzchołkami i oraz j.
Przykład 2.10. Dla grafu G z rysunku 2.14 mamy macierz
e1
1

0
1

A=
0
1
1
0
1
2
0
1
0
1

1
2

.
1
0
2
e5
e2
e4
e6
4
e3
3
Rysunek 2.14.
♣
Notatki do wykładu Matematyka dyskretna prowadzonego przez dr Justynę Kurkowiak na WMP UKSW w Warszawie
14
Wykład 2. Pojęcia wstępne teorii grafów
Definicja 2.21. Jeśli G jest grafem, którego wierzchołki są oznaczone liczbami {1, 2, . . . , n}, to macierzą incydencji nazywać będziemy macierz M =
(mij )n×m , gdzie
mij =

1,
jeśli i-ty wierzchołek jest końcem j-tej krawędzi,
0, w p. p.
Przykład 2.11. Rozważmy graf z rysunku 2.14. Jego macierz incydencji
jest następująca
e2
0
1
1
0
e3
0
0
1
1
e4
1
0
0
1
Zauważmy, że suma po wierszach jest równa
e5
0
1
0
1
e6

0
1


0
1
SW
e1
1 1
2 1

M= 
3 0
4 0

X
d(v) = 2ε. W kolumnach
v∈V (G)
W
M
P
-U
K
powinny znajdować się dwie jedynki, np. w kolumnie e1 jedynki znajdują się
♣
w wierszach 1 i 2, co oznacza, że krawędź e1 łączy wierzchołki 1 i 2.
Notatki do wykładu Matematyka dyskretna prowadzonego przez dr Justynę Kurkowiak na WMP UKSW w Warszawie