DFT

CPS
2006
DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA – C.D.
Twierdzenie o przesunięciu
Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi
ono, że:
Przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego
x(n) powoduje stałe przesunięcie fazowe DFT.
Jeśli zdecydujemy się próbkować x(n) począwszy od n równego pewnej
wartości n = k, w przeciwieństwie do n = 0, to DFT tych przesuniętych w czasie
wartości próbek stanowi
X k ( m ) = e j 2π km / N X ( m )
(1)
Z równania (1) widać, że jeśli punkt, w którym rozpoczynamy próbkowanie
x(n) jest przesunięty w prawo o k próbek, to wyjściowe widmo Xk(m) DFT wyraża
się jako X(m), o każdym zespolonym składniku X(m) przemnożonym przez liniowe
przesunięcie fazowe e j 2π km / N , które jest przesunięciem fazy o 2πkm/N
Na odwrót, jeśli punkt, w którym rozpoczynamy próbkowanie x(n) jest
przesunięty w lewo o k próbek, to widmo Xk(m) wyraża się jako X(m) mnożone
przez e− j 2π km / N
CPS
2006
Przykład2 ( patrz Przykład 1 z poprzedniego wykładu - DFT )
Dokonano próbkowania sygnału wejściowego z przykładu poprzedniego DFT
x ( t ) = sin ( 2π ⋅1000 ⋅ t ) + 12 sin ( 2π ⋅ 2000 ⋅ t + 34π )
z opóźnieniem o k = 3 próbki.
Na rysunku 1 pokazano oryginalną wejściową funkcję czasu
1.5
0
1
7
1
0.5
5
0
6
4
-0.5
2
-1
3
-1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
x 10
-3
Rysunek 1. Próbkowanie sygnału x(t) w obu przykładach
Nowy, przesunięty ciąg x(n) stanowi wartości reprezentowane grubymi czarnymi
kropkami na rys. 1., których wartości to:
x(0) =1,0607,
x(2) = - 1,0607,
x(4) = - 0,3535,
x(6) = 0,3535,
x(l) =0,3535 ,
x(3) = - 1,3535,
x(5) = 0,3535,
x(7) = 0,6464
CPS
2006
Wyznaczając DFT ciągu , Xk(m) ma postać:
m
amplituda
faza
0
1
2
3
4
5
6
7
0
4
2
0
0
0
2
4
0
+45
-45
0
0
0
+45
-45
4
część
część urojona
rzeczywista
0
0
2,8284
2,8284
1,4141
-1,4141
0
0
0
0
0
0
1,4141
-1,4141
2,8284
-2,8284
4
MODUŁ
3
2
2
0
1
-2
0
0
2
4
6
8
3
-4
FAZA
0
4
6
8
6
8
4
CZ. RZECZYWISTA
CZ. UROJONA
2
2
1
0
0
-2
-1
2
0
2
4
6
8
-4
0
2
4
Rysunek 2. Wyniki DFT z przykładu 2: (a) moduł Xk(m), (b) faza Xk(m), (c) część
rzeczywista Xk(m), (d) część urojona Xk(m).
CPS
2006
Z obliczeń wynika, że amplituda Xk(m)
amplitudy X(m).
jest nie zmieniona względem
Amplituda DFT względem oryginalnego sygnału okresowego nie uległa zmianie
chociaż próbkowaliśmy sygnał w innym przedziale.
Jednak, faza DFT zmienia się w zależności od chwili, w której zaczęliśmy
próbkować sygnał x(n).
Patrząc na składową DFT Xk(m), odpowiadającą m = 1 sprawdzimy wartości fazy
sygnału przesuniętego:
Pamiętając, że X(1) z przykładu 1 DFT miała amplitudę 4 przy kącie
fazowym -90 mamy dla k = 3 oraz N = 8:
X 3 (1) = e
j 2π k m
N
⋅ X (1) = e
j 2π 3
− jπ
8 ⋅ 4e 2
= 4e
jπ
4
(2)
Zatem X3(m) ma amplitudę równą 4 i kąt fazowy +45o.
Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera
Wyrażeniami standardowymi dla IDFT są
x ( n) =
1 N −1
X ( m ) e j 2π mn / N
∑
N m =0
(3)
x ( n) =
⎡
⎛
⎛
1 N −1
n⎞
n ⎞⎤
X
m
cos
2
m
j
sin
2
m
π
+
π
(
)
⎢
⎥
⎜
⎜
N m∑
N ⎟⎠
N ⎠⎟ ⎦⎥
⎝
⎝
=0
⎣⎢
(4)
i jednocześnie
CPS
2006
Sygnał dyskretny w dziedzinie czasu można traktować jako sumę
składowych sinusoidalnych o różnych częstotliwościach,
a wartości X(m) DFT tworzą zbiór N wartości zespolonych,
określających amplitudę i fazę każdej ze składowych tworzących
tę sumę.
Przykład
Jeśli wyznaczymy IDFT wstawiając wyniki z przykładu 1 do równania (3),
przejdziemy z powrotem z dziedziny częstotliwości do dziedziny czasu
i otrzymamy wartości próbek oryginalnego sygnału x(n).
1 N −1 X m e j 2π m2/8
∑ ( )
x ⎡⎣ 2⎤⎦ =
8
m =0
x ⎡⎣ 2⎤⎦ = 1 ( X ( 0 ) e jπ 0/8 + X (1) e jπ 4/8 + X ( 2 ) e jπ 6/8 X ( 3) e jπ 8/8 + ... + X ( 7 ) e jπ 14/8 )
8
x[2] = 0,6464
oraz
x[0] = 0,3535, x[1] = 0,3535, x[2] = 0,6464, x[3] = 1,0607,
x[4] = 0,3535, x[5] = -1,0607, x[6] = -1,3535, x[7] = -0,3535
Zauważmy, że wyrażenie dla IDFT, określone równaniem (3), różni się od
równania dla DFT jedynie czynnikiem skalującym 1/N oraz zmianą znaku
wykładnika.
Oprócz różnicy w skalowaniu wartości, wszystkie właściwości dotyczące DFT,
jakimi dotąd zajmowaliśmy się, stosują się również do IDFT.
CPS
2006
Przeciek DFT
Poprzednie przykłady DFT przyniosły poprawne wyniki, ponieważ wejściowe
ciągi x(n) stanowiły starannie dobrane przebiegi sinusoidalne.
Jak się okazuje, DFT próbkowanych sygnałów rzeczywistych prowadzi do
wyników w dziedzinie częstotliwości, które mogą być mylące.
Właściwość DFT, znana jako przeciek widma, powoduje, że wyniki DFT
stanowią jedynie aproksymację widma sygnałów wejściowych poddanych
próbkowaniu.
Istnieją sposoby minimalizacji przecieku, nie można jednak wyeliminować go
całkowicie.
DFT ograniczają się do operowania na skończonych zbiorach N wartości
wejściowych, próbkowanych z częstotliwością fp, dając w wyniku N- punktową
transformatę, której dyskretne wartości wyjściowe są związane częstotliwościami:
fm =
mf p
;
N
m = 0,1,2,..., N − 1
dla których wyznaczamy kolejne próbki DFT.
DFT daje prawidłowe wyniki tylko wtedy, kiedy ciąg
danych wejściowych zawiera energię rozłożoną dokładnie
przy częstotliwościach, dla których dokonujemy analizy
określonych równaniem (5), będących całkowitymi
wielokrotnościami częstotliwości podstawowej fp/N.
Przykład
(5)
CPS
2006
Jeśli sygnał wejściowy zawiera składową o pewnej częstotliwości pośredniej,
np.:1,5 fp / N to pomiędzy częstotliwościami mfp / N, dla których wyznaczamy
wartości DFT, ta składowa sygnału wejściowego ujawni się w pewnym stopniu
przy wszystkich N wyjściowych wartościach częstotliwości DFT, dla których
przeprowadzamy częstotliwościową analizę tego sygnału!
Wyznaczamy 64 punktową DFT dla ciągu, który otrzymano w wyniku
próbkowania 3 okresów sinusoidy (rys.3). Obliczona transformata pokazuje,
że ciąg nie zawiera składowej o częstotliwości innej niż m=3. Korelacja ciągu
wejściowego oraz składowych sinusoidalnych dla m różnego od 3 jest równa zero.
1.5
35
3 OKRESY
DFT
30
1
25
0.5
20
0
15
-0.5
10
-1
-1.5
5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Rysunek 3. 64-punktowa DFT (a) ciąg wejściowy, (b) moduł wartości wyjściowych
DFT, pierwsza połowa wyniku
Mamy teraz ciąg wejściowy sinusoidalny mający 3,4 okresu dla 64 próbek.
Ponieważ ten ciąg wejściowy nie ma całkowitej liczby okresów w przedziale 64
próbek, energia wejściowa przecieka do wszystkich innych próbek DFT, jak to
pokazano na rys. 4(b).
CPS
2006
1.5
30
3,4 OKRESÓW
DFT
1
25
0.5
20
0
15
-0.5
10
-1
5
-1.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Rysunek 4. 64-punktowa DFT (a) ciąg wejściowy, (b) moduł wartości wyjściowych
DFT, pierwsza połowa wyniku
Próbka DFT np. dla m = 4 nie jest równa zeru, ponieważ suma iloczynów ciągu
wejściowego i składowej odpowiadającej analizie częstotliwości dla m= 4 nie jest
już równa zeru. Jest to przeciek — powoduje on. że dowolny sygnał wejściowy,
którego częstotliwość nie jest dokładnie równa częstotliwości, dla której jest
wyznaczana dana próbka DFT, przecieka do wszystkich innych wyznaczanych
próbek DFT.
Przeciek jest nie do uniknięcia, kiedy wyznaczamy DFT rzeczywistego ciągu
czasowego o skończonej długości.
Jak należy przewidywać i minimalizować skutki przecieku ?
Dla rzeczywistego przebiegu sinusoidalnego, zawierającego k okresów w
N- punktowym wejściowym ciągu czasowym, wartości prążków N-punktowej DFT
w funkcji indeksu m są aproksymowane za pomocą funkcji sinc
⎡
⎤
N sin ⎣π ( k − m ) ⎦
X ( m) = ⋅
2
π ( k − m)
(6)
CPS
2006
a
1
0.8
Widmo ciągłe
0.6
DFT
X ( m) =
0.4
⎡
⎤
N sin ⎣π ( k − m ) ⎦
⋅
2
π ( k − m)
0.2
0
-0.2
-0.4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
b
1
Widmo amplitudowe
0.5
DFT
X ( m) =
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
⎡
⎤
N sin ⎣π ( k − m ) ⎦
⋅
2
π ( k − m)
4
5
Rysunek 5. DFT dla N-punktowego ciągu wejściowego, zawierającego k okresów
rzeczywistej sinusoidy: (a) widmo jako funkcja m-tej próbki DFT, (b) widmo
amplitudowe.
CPS
2006
Krzywą na rys. 5 (a), zawierającą listek główny oraz okresowe szczyty i doliny,
znane jako listki boczne, możemy traktować jako N-punktowe widmo,
rzeczywistego czasowego ciągu sinusoidalnego, mającego k pełnych okresów w
wejściowym N- punktowym przedziale czasowym.
Wartości DFT są dyskretnymi próbkami, które znajdują się na krzywych z rys. 5:
to jest, DFT będzie spróbkowaną wersją widma ciągłego.
Jeśli ciąg wejściowy ma dokładnie całkowitą liczbę k okresów, przeciek nie
pojawia się, ponieważ jeśli kąt w liczniku równania (6) jest niezerową całkowitą
wielokrotnością π, to sinus tego kąta jest równy zeru.
Jeśli wejściowa sinusoida ma całkowitą liczbę okresów w przedziale N próbek
sygnału wejściowego w dziedzinie czasu, to wartości wyjściowe DFT są położone
na krzywej widma ciągłego dokładnie w punktach przejść przez zero tej krzywej.
Przykład:
Rzeczywista sinusoida o częstotliwościach 8 kHz,8,5 kHz,8,75 kHz, o amplitudzie
1, została spróbkowana częstotliwością 32kHz. Dla 32 punktowej DFT odległość
między próbkami wynosi fp/N=1kHz. DFT pokazuje rysunek.
a
20
18
8kHz
DFT
16
14
12
10
8
6
4
2
0
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000 10000 11000 12000 13000
CPS
2006
bic
20
18
8,5kHz
DFT
16
14
12
10
8
6
4
2
0
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000 10000 11000 12000 13000
20
18
8,75kHz
DFT
16
14
12
10
8
6
4
2
0
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000 10000 11000 12000 13000
Rysunek 6. DFT dla 32-punktowego ciągu wejściowego sinusoidalnego
częstotliwość sygnału f=8kHz, (b) f=8,5kHz, (c) f=8,75kHz
(a)
CPS
2006
Skutki przecieku widma DFT są kłopotliwe, ponieważ wartości prążków
odpowiadające sygnałom o małej amplitudzie będą zakłócane przez poziomy
listków bocznych z sąsiednich prążków odpowiadających sygnałom o dużej
amplitudzie.
Ważna technika, znana jako okienkowanie jest najbardziej powszechnym
sposobem redukcji przecieku. Okienkowanie zmniejsza przeciek DFT przez
zminimalizowanie amplitudy listków bocznych funkcji sinc z równania (6).
1
0
-1
-20
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
1
0
-1
-20
1
0
-1
-20
Rysunek 9.1. Minimalizacja nieciągłości w punktach końcowych przedziału
próbkowania: (a) wejściowa sinusoida o nieskończonym czasie trwania; (b) okno
prostokątne odpowiadające przedziałowi próbkowania, (c) iloczyn okna
prostokątnego i wejściowej sinusoidy
CPS
2006
1
0
-1
-2 0
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
1
0
-1
-2 0
1
0
-1
-2 0
Rysunek 9.2. (a) wejściowa sinusoida o nieskończonym czasie trwania; (b)
trójkątna funkcja okna, (c) iloczyn okna trójkątnego i wejściowej sinusoidy;
1
0
-1
-2 0
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
1
0
-1
-2 0
1
0
-1
-2 0
Rysunek 9.3. (a) wejściowa sinusoida o nieskończonym czasie trwania(b) funkcja
okna Hanninga, (c) iloczyn okna Hanninga i wejściowej sinusoidy,
CPS
2006
Rozważmy sygnał o nieskończonym czasie trwania w dziedzinie czasu,
pokazany na rys. 9.1(a). DFT może być przeprowadzona jedynie na przedziale
próbkowania o skończonym czasie, takim jak pokazany na rys. 9.1(c). Możemy
traktować DFT sygnału wejściowego z rys. 9.1(c) jako DFT iloczynu sygnału
wejściowego o nieskończonym czasie trwania z rys. 9(a), i okna prostokątnego,
którego amplituda wynosi 1 w przedziale próbkowania pokazanym na rys. 9.1(b).
Za każdym razem, kiedy wyznaczamy DFT ciągu wejściowego o skończonym
czasie trwania, w sposób domyślny mnożymy ten ciąg przez okno samych jedynek
i mnożymy wartości wejściowe poza tym przedziałem przez zera. Jak się okazuje,
kształt funkcji sinc=sin(x)/x jest spowodowany przez to okno prostokątne,
ponieważ ciągła transformata Fouriera okna prostokątnego jest funkcją sinc.
Aby zminimalizować przeciek widma spowodowany przez te
listki boczne musimy zmniejszyć ich amplitudy używając
funkcji okna innych niż okno prostokątne.
Wyobraźmy sobie, że przemnożyliśmy nasz sygnał wejściowy z rys. 9.2(a)
przez okno trójkątne pokazane na rys. 9.2(b), aby otrzymać okienkowany sygnał
wejściowy pokazany na rys. 9.2(c). Zauważmy na rys. 9.2, że wartości tego
wynikowego sygnału wejściowego stają się takie same na początku i końcu
przedziału próbkowania. Zredukowana nieciągłość zmniejsza poziom względnie
wysokich składowych częstotliwościowych w całym zbiorze wartości całej DFT;
to znaczy. że poziomy prążków DFT listków bocznych mają zmniejszoną
amplitudę, dzięki użyciu okna trójkątnego.
Istnieją inne funkcje okien, które zmniejszają przeciek nawet bardziej, niż
okno trójkątne, takie jak okno Hanninga z rys. 9.3 (b). Iloczyn okna z rys. 9.3(b) i
ciągu wejściowego daje sygnał pokazany na rys. 9.3(c), stanowiący sygnał
wejściowy DFT.
CPS
2006
Typy okien
Zakładając, że N oryginalnych próbek sygnału wejściowego jest
indeksowanych przez n, gdzie 0 ≤ n ≤ N − 1 oznaczmy N współczynników okna jako
w(n); to znaczy, że ciąg wejściowy x(n) jest mnożony przez odpowiadające
współczynniki okna w(n), zanim jest wyznaczona DFT. Zatem DFT Xw(m)
okienkowanego ciągu wejściowego x(n) przyjmuje postać
N −1
XW ( m ) = ∑ w ( n ) ⋅ x ( n ) e
j 2π m n
N
(7)
n =0
Okno prostokątne
w ( n ) = 1, dla n = 0,1,2,..., N −1
(zwane także oknem jednostajnym lub — w języku angielskim — boxcar)
Okno trójkątne
⎧
n
; n = 0,1,2,..., N / 2
⎪⎪
N
/
2
w(n) = ⎨
⎪2 − n ; n = N / 2 + 1, N / 2 + 2,..., N − 1
⎪⎩
N /2
(bardzo podobne do okien Bartletta i Parzena )
⎛
1 1
n⎞
w ( n ) = − cos ⎜ 2π ⎟ , n = 0,1, 2,..., N − 1
2 2
N⎠
⎝
(zwane także oknem podniesionego cosinusa. Hanna lub von Hanna)
Okno Hanninga:
⎛
Okno Hamminga: w ( n ) = 0,54 − 0,46cos ⎜ 2π
⎝
n⎞
; n = 0,1,2,..., N − 1
N ⎟⎠
CPS
2006
Widmo amplitudowe okna prostokątnego stanowi miarę, jakiej zazwyczaj
używamy aby porównać inne okna.
Definiuje się logarytmiczną odpowiedź amplitudową jako
unormować widma różnych okien:
pozwalającą
Szerokości listków głównych różnych okien nie prostokątnych degradują
rozdzielczość częstotliwościową okienkowanych DFT prawie dwukrotnie. Jednak
istotne korzyści zmniejszenia przecieku zazwyczaj przeważają nad stratą w
częstotliwościowej rozdzielczości DFT.
0
10
Prostokątne
Trójkątne
Hamminga
-1
10
Hanninga
-2
10
-3
10
-4
10
0
50
100
150
200
250
300
Rysunek 10. Moduły odpowiedzi okien w unormowanej skali logarytmicznej
CPS
2006
Zauważmy zmniejszenie się poziomu pierwszego listka bocznego i gwałtowny
spadek listków bocznych okna Hanninga. Okno Hamminga ma nawet mniejsze
poziomy pierwszego listka, lecz listki boczne tego okna opadają wolniej w
porównaniu z oknem Hanninga.
Oznacza to. że przeciek w odległości trzech lub czterech prążków od prążka
środkowego jest mniejszy dla okna Hamminga, niż dla okna Hanninga, ale
przeciek dla kilkunastu prążków od prążka środkowego jest mniejszy dla okna
Hanninga, niż dla okna Hamminga.
Przykład:
Jeśli zastosujemy okno Hanninga do przykładu 3,4 okresu w przedziale
próbkowania, otrzymamy wartości wyjściowe DFT dla tego okienkowanego
przebiegu na rys. 11 wraz z wynikami DFT bez okienkowania, tj. przy oknie
prostokątnym.
1.5
30
okno Hanninga
DFT
1
25
0.5
20
0
15
-0.5
10
okno prostokątne
okno Hanninga
-1
-1.5
5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0
0
5
10
15
20
25
30
35
okno prostokątne
Rysunek 11. Porównanie DFT dla okna prostokątnego i Hanninga
Jak oczekiwaliśmy, widmo amplitudowe dla okna Hanninga jest szersze i ma
mniejszą wartość maksymalną, lecz przeciek listków bocznych jest zauważalnie
zmniejszony w porównaniu z przeciekiem dla okna prostokątnego.
Możemy zatem stwierdzić, iż wybór okna stanowi kompromis pomiędzy
rozszerzeniem listka głównego, poziomami pierwszego listka bocznego, oraz tego,
jak szybko maleją listki boczne wraz ze wzrostem częstotliwości.
Użycie każdego szczególnego okna zależy od zastosowań.
CPS
2006
Rozdzielczość DFT, uzupełnianie zerami i próbkowanie w dziedzinie
częstotliwości
Jedną z popularnych metod poprawy rozdzielczości częstotliwościowej DFT,
jest metoda znana jako uzupełnianie zerami.
Proces ten wymaga dodania do oryginalnego ciągu wejściowego DFT próbek o
zerowej wartości w celu zwiększenia całkowitej liczby próbek danych
wejściowych.
Kiedy próbkujemy funkcję ciągłą w dziedzinie czasu, mającą ciągłą
transformatę Fouriera i wyznaczamy DFT tych próbek, wówczas DFT daje w
wyniku próbkowaną aproksymację transformaty ciągłej w dziedzinie
częstotliwości.
Można się spodziewać, że im więcej jest punktów w DFT, tym lepiej wartości
wyjściowe tej DFT aproksymują transformatę ciągłą.
Próbki wejściowe
1
Moduł DFT
8
0.8
7
0.6
6
0.4
Niezerowa próbka DFT
5
0.2
0
4
-0.2
3
-0.4
2
-0.6
1
-0.8
-1
0
5
10
15
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Rys 13. Próbkowanie DFT w dziedzinie częstotliwości: (a) 16 próbek danych
wejściowych i N = 16;
CPS
2006
1
8
Moduł DFT
Próbki wejściowe
0.8
7
0.6
6
0.4
5
0.2
0
4
-0.2
3
-0.4
2
-0.6
3x16 zerowych próbek
1
-0.8
-1
0
10
20
30
40
50
60
70
0
0
5
10
15
Rys 14. Próbkowanie DFT w dziedzinie częstotliwości:
wejściowych, 3x16 dołączonych zer;
1
20
25
30
35
16 próbek danych
8
Próbki wejściowe
0.8
Moduł DFT
7
0.6
6
0.4
5
0.2
0
4
-0.2
3
-0.4
2
-0.6
10x16 zerowych próbek
1
-0.8
-1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0
0
10
20
30
40
Rys 15. Próbkowanie DFT w dziedzinie częstotliwości:
wejściowych, 10x16 dołączonych zer,
50
60
70
80
90
16 próbek danych
Dodawanie zer do ciągu wejściowego poprawia rozdzielczość wyniku DFT, ale
istnieje praktyczna granica określająca, jak wiele możemy zyskać przez dodanie
większej liczby zer.
W praktyce, jeśli chcemy przeprowadzić zarówno uzupełnienie zerami, jak i
okienkowanie ciągu próbek danych wejściowych, musimy uważać, aby nie
zastosować okna do całego sygnału wejściowego, po dołączeniu próbek o
wartościach zerowych.