Zestaw drugi: iloczyn skalarny i wektorowy
Transkrypt
Zestaw drugi: iloczyn skalarny i wektorowy
Zadania z geometrii B Zestaw 1: iloczyn skalarny i wektorowy W zadaniach należy/można skorzystać z właśności iloczynu skalarnego oraz/lub iloczynu wektorowego. ~ = [3, −6, 6]. Znaleźć wektor unormowany 1. W przestrzeni euklidesowej R3 dane są wektory ~v = [1, 2, 2], w ~u, który dzieli kąt ∠(~v, w ~ ) na połowy. ~ o długościach równych odpowiednio 5, 8 i takie, że 2. W przestrzeni euklidesowej V dane są wektory ~v, w ~ } |= | ∠{~v, w π 3. ~ , (b) ~v − w ~ , (c) 2~v − 3~ Znajdź długość wektora (a) ~v + w w. ~ = [2, −3, 1], ~u = [−3, 1, 2]. Znaleźć współ3. W przestrzeni euklidesowej R3 dane są wektory ~v = [1, 2, 3], w ~)×w ~ , (b) ~v × (~ rzędne wektora (a) (2~v + w w × ~u). ~ = [2, 1, 1]. Obliczyć sin(∠{~v, w ~ }), oraz 4. W przestrzeni euklidesowej R3 dane są wektory ~v = [0, 1, −1], w ~ }). tg(∠{~v, w ~ takie, że | ∠{~v, w ~ } |= π3 . Obliczyć 5. W przestrzeni euklidesowej V dane są wektory unormowane ~v, w (a) |(2~v + 3~ w) × (~ w − ~v)|, ~ |2 + 2 ~v ◦ w ~. (b) |~v × w 6. Obliczyć następujące iloczyny wektorowe: ~e1 × ~e3 , ~e3 × ~e2 , ~e1 × ~e3 , [1, 0, 1] × [2, 3, 1], ([1, 1, 1] × [2, 1, 1]) × [1, 1, 0]. ~ , ~u będą dowolnymi wektorami przestrzeni euklidesowej R3 . Wykaż, że: 7. Niech ~v, w (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) ~ |2 + ~v ◦ w ~ > = |~v|2 + |~ |~v × w w|2 , ~ + ~u = ~0, to ~v × w ~ =w ~ × ~u = ~u × ~v, jeśli ~v + w ~ ) ◦ ~u = ~v ◦ (~ (~v × w w × ~v), ~ ) ◦ ((~ (~v + w w + ~u) × (~u × ~v)) = 2~v ◦ (~ w × ~u), ~ ) × ~u = w ~ × (~v × ~u) − ~u × (~v × w ~ ), (~v × w ~ ) × ~u + w ~ × (~u × ~v) + ~u × (~v × w ~ ) = ~0. (~v × w ~ | = |~v| · |~ ~ }). |~v × w w| · sin(∠{~v, w ~ będą liniowo niezależnymi wektorami trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Sprawdź, że 8. Niech ~v, w ~ , ~v × (~v × w ~ ) jest bazą prostopadłą tej przestrzeni. układ wektorów ~v, ~v × w 9. Niech a, b będą długościami boków równoległoboku, zaś p i q długościami jego przekątnych. Udowodnij (na dwa sposoby: elementarnie i z użyciem wektorów), że p2 + q 2 = 2a2 + 2b2 . 10. Udowodnij, że jeśli ABCD jest prostokątem, to dla dowolnego punktu M mamy M A2 + M C 2 = M B 2 + M D2 . 11. Dany jest trapez o prostopadłych przekątnych. Długości jego podstaw wynoszą 4 i 3. Znajdź długość boku, który tworzy z dłuższą podstawą kąt π 3. 12. Dany jest trójkąt ABC o bokach AC = 4, BC = 3 i kącie ∠ABC = 2π 3 . Znaleźć odległość wierzchołka C od punktu M , który dzieli podstawę AB stosunku 1 : 3. 13. Udowodnić, że jeśli dwie środkowe trójkąta są do siebie prostopadłe, to suma ich kwadratów jest równa kwadratowi trzeciej środkowej. 14. Na podstawie AB trójkąta ostrokątnego ABC dany jest punkt P . Udowodnij że P C 2 = AC 2 − AP · BP . Jak zmieni się wzór jeśli punkt P będzie leżał na przedłużeniu podstawy AB ale nie wewnątrz boku AB. 15. 16. 17. 18. Obliczyć sumę kwadratów długości środkowych trójkąta o bokach a,b,c. Udowodnić (wektorowo), że wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Dane są kąty ∠A, ∠B, ∠C trójkąta ABC. Oblicz kąd ϕ = ∠BAM , gdzie M jest środkiem boku BC. Dane są kąty ∠A, ∠B, ∠C trójkąta ABC. Oblicz kąt ϕ = ∠DCM , gdzie M jest środkiem podstawy AB, zaś D punktem przecięcia środkowej kąta ∠C z podstawą AB. 19. Dane są kąty ∠A, ∠B, ∠C trójkąta ABC. Niech M będzie środkiem boku BC; N punktem przecięcia 20. wysokości poprowadzonej z wierzchołka ∠C z podstawą AB; O punktem przecięcia AM z CN . Oblicz ϕ = ∠AOC. −−→ −→ −−→ Dane są wektory ~a = CB,~b = CA. Znaleźć wektor ~e = CO, gdzie O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. 21. Dane są kąty płaskie kąta trójściennego. Obliczyć jego kąty dwuścienne. 22. Dane są kąty dwuścienne kąta trójściennego. Obliczyć jego kąty płaskie. 1 −→ −−→ −−→ Znajdź wektor CP . −→ −−→ −−→ Dane są wektory OA = ~a, OB = ~b, OC = ~c. Wektory ~b i ~c są liniowo niezależne. Niech H będzie rzutem −−→ −−→ (prostopadłym) punktu A na płaszczyznę OBC. Znajdź wektor OH = ~h oraz AH. 23. Dane są wektory CA =, CB = ~a = ~0. Niech P będzie rzutem (prostopadłym) punktu A na prostą BC. 24. 25. Dane są długości boków a = OA, b = OB, c = OC równoległościanu i kąty płaskie ∠BOC = α, ∠COA = β, ∠AOB = γ przy wierzchołki O. (a) Oblicz długość przekątnej d = OD tego równoległościanu; (b) Oblicz kąty jakie przekątna OD tworzy z krawędziami OA,OB,OC. Jak zmienią się wzory jeśli równoległościan będzie prostopadłościanem? 26. Dane są kąty płaskie α, β ,γ kąta trójściennego o wierzchołku O. Z wierzchołka tego wychodzi prosta l która tworzy ten sam kąt ϕ z krawędziami kąta trójściennego. Obliczyć ϕ. 2