Mechanika – ćwiczenia 1 Pierwsze zajęcia – Lwiątko. Drugie

Mechanika – ćwiczenia
1
Pierwsze zajęcia – Lwiątko.
Drugie zajęcia – różniczkowanie: Susskind&Hrabovsky.
Obowiązujący materiał:
RH. Tom 1. Rozdział: Wektory.
HRW. Tom 1. Rozdział: Wektory.
Literatura rozszerzająca: John R. Taylor, Mechanika klasyczna, PWN, Warszawa 2006.
Oznaczenia: ~a – wektor, a = |~a| = długość wektora ~a, â = wektor w kierunku ~a o długości 1,
c ~a – iloczyn liczby c i wektora ~a, ~a · ~b – iloczyn skalarny wektorów, ~a × ~b – iloczyn wektorowy,
î, ĵ, k̂ (lub x̂, ŷ, ẑ) – wektory jednostkowe w kierunkach x, y, z.
~ = [1, 0, 4], B
~ = [2, 3, 4], C
~ =A
~ − B.
~ Oblicz długości wektorów A,
~ B,
~ C.
~ Czy prawdą
1. Niech A
jest, że C = A − B?
~ i B.
~ Czy (a) składowa x
2. (HRW, t.1, r.3, pyt.6) Na rysunku przedstawiono dwa wektory, A
~
~
~
~
wektora A, (b) składowa y wektora A, (c) składowa x wektora A − B, (d) składowa y wektora
~−B
~ są dodatnie czy ujemne?
A
y
B
x
A
3. (RH, t.1, r.2, z.5) Grający w golfa trzykrotnie uderzył piłkę, zanim wpadła ona do dołka
znajdującego się na trawniku. Po pierwszym uderzeniu piłka przemiesciła się o 12 m na północ,
po drugim uderzeniu o 6 m w kierunku południowo-wschodnim, a po trzecim uderzeniu o 3 m
w kierunku południowo-zachodnim. Jakie musiałoby być przemieszczenie piłki, aby wpadła ona
do dołka po pierwszym uderzeniu?
4. (RH, t.1, r.2, z.2) Co można powiedzieć o dwóch wektorach ~a i ~b spełniających związki:
(a) ~a + ~b = ~c oraz a + b = c;
(b) ~a + ~b = ~a − ~b;
(c) ~a + ~b = ~c oraz a2 + b2 = c2 ?
5. (HRW, t.1, r.3, z.3.) Wektor ~a leży w płaszczyźnie xy. Jego kierunek tworzy kąt 250◦ z
dodatnim kierunkiem osi x (licząc w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara),
a jego długość wynosi 7.3 m. Jaka jest jego składowa (a) x, (b) y?
6. Posłuż się pojęciem iloczynu skalarnego do wykazania, że jeśli suma dwóch wektorów jest
prostopadła do ich różnicy, to muszą one mieć jednakową długość.
~ iD
~ wynoszą odpowiednio 3 jednostki i 4
7. (HRW, t.1, r.3, sprawdzian 4.) Długości wektorów C
~ i D,
~ jeśli C
~ ·D
~ wynosi: (a) zero, (b) 12 jednostek,
jednostki. Ile wynosi kąt między kierunkami C
(c) −12 jednostek?
8. (HRW, t.1, przykład 3.6.) Ile wynosi kąt φ, utworzony przez wektory ~a = 3î−4ĵ i ~b = −2î+3k̂?
Mechanika – ćwiczenia
2
Odpowiedź: 109◦ .
9. (J.R. Taylor, Mechanika klasyczna, z.1.9.) Pamiętasz zapewne z elementarnej trygonometrii
twierdzenie cosinusów dla trójkąta o bokach a, b i c: c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ, gdzie θ jest kątem pomiędzy bokami a i b. Wykaż, że twierdzenie cosinusów jest bezpośrednim wnioskiem z
tożsamości (~a + ~b)2 = a2 + b2 + 2 ~a · ~b.
~ można rozłożyć na składowe prostopadłą i równoległą do kierunku B:
~
10. Każdy wektor A
~=A
~⊥ + A
~k
A
Sprawdź, czy jest prawdą, że
~·B
~ = Ak B
(a) A
~ · B̂ = Ak
(b) A
~ · B)
~ B̂ = A
~k
(c) (A
~ × B|
~ = A⊥ B
(d) |A
11. Przyspieszeniem stycznym nazywamy składową przyspieszenia w kierunku stycznej do toru,
a więc w kierunku prędkości; przyspieszenie to oznaczamy często ~at (t od ang. tangent). Zapisz
wyrażenie na at jako działanie na wektorach ~a i ~v . Wskazówka: rozwiąż najpierw zadanie 10.
~
~
12. Rozważmy wektory zależne od czasu: A(t),
B(t).
Sprawdź, czy jest prawdą, że
~
~
~ ~
~
~
~ · B)
~
dA
d(A
~ +A
~ · dB , (b) d(A × B) = dA × B
~ +A
~ × dB .
=
·B
(a)
dt
dt
dt
dt
dt
dt
13. Udowodnij, że jeżeli pochodna czasowa wektora jest stale prostopadła do tego wektora, to
długość wektora jest stała. Wskazówka: rozwiąż najpierw zadanie 12(a).
14. (J.R. Taylor, Mechanika klasyczna, z.1.10.) Cząstka porusza się po okręgu (o środku O i
promieniu R) ze stałą prędkością kątową ω. Okrąg leży w płaszczyźnie xy, a w chwili t = 0
cząstka znajduje się na [dodatniej części] osi x. Pokaż, że położenie cząstki można opisać wzorem
~r(t) = x̂R cos(ωt) + ŷR sin(ωt)
Znajdź prędkość i przyspieszenie cząstki. Określ wartość, kierunek i zwrot przyspieszenia. Powiąż
otrzymane wyniki z dobrze znanymi właściwościami ruchu po okręgu.
Mechanika – ćwiczenia
3
Jeszcze kilka nietrudnych zadań na wektory – do poćwiczenia :-)
15. (a) Podaj składowe wersora (wektora jednostkowego, czyli wektora o długości 1) skierowa~ = 3x̂+4ŷ (w zapisie szkolnym A
~ = [3, 4]). Wskazówka:
nego w tym samym kierunku, co wektor A
~ by być wersorem, ile razy trzeba go skrócić?
ile razy za długi jest wektor A,
(b) Jakie składowe ma wersor skierowany w kierunku x̂ + ŷ (jak to zapisać w notacji [. . .])?
~ Â = . . .
(c) Zapisz symbolicznie przepis na tworzenie wersora  z wektora A:
16. Podaj wartości iloczynów: (a) x̂ · x̂, (b) x̂ · ŷ, (c) x̂ × x̂, (d) x̂ × ŷ.
17. Podaj składowe kartezjańskie rzutu wektora 2x̂ na wektor 5x̂ + 1ŷ. Narysuj trzy występujące
tutaj wektory w układzie współrzędnych.
18. Wykorzystaj rozdzielność dodawania wektorów względem mnożenia skalarnego, by uprościć
wyrażenie (2î + 3ĵ) · (4ĵ + 7k̂).
Obowiązujący materiał:
HRW. Rozdział: Ruch prostoliniowy.
RH. Rozdział: Ruch jednowymiarowy.
19. W chwili t1 = 4 s kula bilardowa znajduje się w położeniu x1 = 0.3 m, y1 = 0.2 m, z1 = 1.1 m,
a w chwili t2 = 4.5 s w położeniu x2 = 0.5 m, y2 = 0.1 m, z2 = 1.1 m. Oblicz składowe prędkości
średniej kulki: vx , vy , vz , w okresie czasu od t1 do t2 .
20. Wykres przedstawia współrzędną położenia x punktu materialnego w zależności od czasu.
Określ, w których punktach wykresu współrzędna wektora prędkości vx jest dodatnia/ujemna/zerowa.
Następnie określ znak współrzędnej wektora przyspieszenia ax .
21. (HRW, t.1, r.2, z.17.) Cząstka ma w pewnej chwili prędkość o wartości bezwzględnej równej
18 m/s. W chwili późniejszej o 2.4 s wartość bezwzględna jej prędkości wynosi 30 m/s, lecz
cząstka porusza się wówczas w przeciwnym kierunku. Jaka jest wartość bezwzględna i kierunek
średniego przyspieszenia cząstki w ciągu tych 2.4 s?
22. Wysokość piłki y zależy od czasu t w sposób przedstawiony na wykresie. Naszkicuj wykresy
vy oraz ay w zależności od t.
23. (HRW, t.1, r.2, z.39.) Wysokość szybu windy w hotelu Marquis Marriott w Nowym Jorku
Mechanika – ćwiczenia
4
wynosi 190 m. Maksymalna prędkość kabiny jest równa 305 m/min. Przyspieszenie windy w
obydwu kierunkach jazdy ma wartość 1.22 m/s2 . (a) Na jakiej drodze ruszający z miejsca wagonik
osiąga maksymalną prędkość jazdy? (b) Jak długo trwa pełny, 190-metrowy przejazd wagonika
bez zatrzymania po drodze, licząc od chwili zatrzymania na dole do chwili zatrzymania na górze?
24. (HRW, t.1, r.2, z.41.) Na budowie spadający klucz hydrauliczny uderzył w ziemię z prędkością
24 m/s. (a) Na jakiej wysokości wypadł on komuś z ręki? (b) Jak długo spadał? (c) Naszkicuj
wykres zależności y, v i a od t dla tego klucza.
*25. Gdy w powietrzu rozchodzi się fala dźwiękowa, gęstość powietrza ρ nie jest
stała. Załóżmy,
x − vt
że w ukladzie odniesienia (x, y) związanym z powietrzem ρ(x, t) = ρ0 + ρ1 sin 2π ·
, gdzie
λ
v i λ są stałe.
(a) Naszkicuj zależność gęstości od położenia w chwili początkowej: ρ = ρ(x, 0) oraz zależność
gęstości od czasu w punkcje x = 0: ρ = ρ(0, t). Zaznacz na wykresach długość fali i jej okres.
(b) W którą stronę porusza się fala dźwiękowa?
(c) Wprowadźmy drugi układ odniesienia: (x0 , y 0 ), który porusza się względem powietrza z prędkością u wzdłuż kierunku x̂. Jaka jest gęstość powietrza obserwowana w układzie (x0 , y 0 )? Znajdź
funkcję ρ = ρ(x0 , t).
(d) Jaka jest długość fali i okres w układzie (x0 , y 0 )?
26. (HRW, t.1, r.2, z.55.) Woda wycieka kroplami z sitka prysznica znajdującego się na wysokości
200 cm nad podłogą. Krople wypadają z sitka w równych odstępach czasu, przy czym pierwsza
kropla spada na podłogę w chwili, gdy czwarta kropla odrywa się od sitka. Znajdź położenie nad
podłogą kropli drugiej i trzeciej, gdy pierwsza kropla uderza w podłogę.
*27. (J. Araminowicz, z 1.6.) W klepsydrze przesypuje się drobny piasek. Jego gęstość w swobodnie usypanym skupieniu wynosi ρ0 . Pole otworu szyjki klepsydry jest S, a wysypująca się
z niej w jednostce czasu masa piasku wynosi µ. Jak zmienia się wraz z odległością od wylotu
gęstość strumienia sypiącego się piasku? Przyjmujemy, że na całej swojej długości strumień jest
ściśle równoległy.
28. Być może rozwiążemy jeszcze losowo wybrane zadania z odpowiedniego rozdziału RH.
Mechanika – ćwiczenia
5
Obowiązujący materiał:
RH. Rozdział: Ruch na płaszczyźnie.
HRW. Rozdział: Ruch w dwóch i trzech wymiarach.
29. (HRW, t.1, r.4, przykład 4.5.) Cząstka o prędkości ~v0 = −2î + 4ĵ (w metrach na sekundę)
doznaje od chwili t = 0 stałego przyspieszenia ~a, którego wartość wynosi a = 3 m/s2 , a kierunek
tworzy kąt θ = 130◦ z dodatnim kierunkiem osi x. Wyznacz prędkość ~v cząstki w chwili t = 5 s;
wyraź ją za pomocą wektorów jednostkowych oraz podając jej długość i kierunek.
30. (HRW, t.1, r.4, z.11.) Położenie cząstki ~r poruszającej się w płaszczyźnie xy jest dane
wyrażeniem: ~r = (2t3 − 5t)î + (6 − 7t4 )ĵ, przy czym ~r jest wyrażone w metrach, a t w sekundach.
Oblicz: (a) ~r, (b) ~v , (c) ~a w chwili t = 2 s. (d) Jaki jest kierunek stycznej do toru cząstki w
chwili t = 2 s?
Odpowiedź: (a) (6î − 106ĵ) m, (b) (19î − 224ĵ) m/s, (c) (24î − 336ĵ) m/s2 , (d) −85.2◦ względem +x.
31. (HRW, t.1, r.4, z.21.) Elektron poruszający się poziomo z prędkością o wartości 1 · 109 cm/s,
wchodzi w obszar między dwiema poziomymi, naładowanymi elektrycznie płytami metalowymi.
Ich obecność powoduje, że elektron doznaje stałego przyspieszenia, skierowanego w dół, o wartości
1 · 1017 cm/s2 . Wyznacz: (a) czas, potrzebny elektronowi na przebycie w tym obszarze 2 cm w
poziomie, (b) odległość przebytą przez niego w tym czasie w pionie. Oblicz ponadto wartości
składowych prędkości elektronu: (c) poziomej, (d) pionowej, po przebyciu tej drogi.
Odpowiedź: (a) 2 ns, (b) 2 mm, (c) 1 · 107 m/s, (d) 2 · 106 m/s.
32. (HRW, t.1, r.4, z.30.) W ciągu dwóch sekund od wystrzelenia z powierzchni ziemi pocisk
przemieścił się o 40 m w poziomie i o 53 m w pionie. Wyznacz składowe prędkości początkowej pocisku: (a) poziomą, (b) pionową. (c) W jakiej odległości w poziomie od punktu jego
wystrzelenia znajdzie się pocisk w chwili, gdy osiągnie maksymalną wysokość nad ziemią?
33. (HRW, t.1, r.4, sprawdzian 6.) Ciało porusza się w poziomej płaszczyźnie xy po torze kołowym, o środku w początku układu współrzędnych, a jego prędkość ma stałą wartość. Gdy ciało
znajduje się w punkcie o współrzędnej x = −2 m, jego prędkość jest równa −(4 m/s)ĵ. Ile wynosi
(a) prędkość, (b) przyspieszenie ciała, gdy znajduje się ono w punkcie o współrzędnej y = 2 m?
34. (HRW, t.1, r.4, z.48.) Francuski pociąg o nazwie TGV (Train à Grande Vitesse) ma nominalną
średnią wartość prędkości 216 km/h. Zakłada się, że jego pasażerowie nie powinni doznawać
przyspieszenia o wartości większej niż 0.05g. (a) Ile wynosi najmniejszy promień toru, po jakim
może jechać pociąg z podaną prędkością, aby nie przekroczyć tej granicy? (b) Z jaką prędkością
może jechać ten pociąg po torze o promieniu 1 km, aby przyspieszenie nie przekroczyło założonej
wartości?
35. (HRW, t.1, r.4, z.56.) W rugby gracz może przekazać piłkę partnerowi pod warunkiem,
że podanie nie odbywa się „do przodu” (tzn. prędkość piłki nie może mieć składowej wzdłuż
boiska, skierowanej ku bramce drużyny przeciwnej). Załóżmy, że gracz biegnie wzdłuż boiska w
kierunku bramki przeciwnika, z prędkością 4 m/s i rzuca piłkę z prędkością 6 m/s względem
siebie. Pod jakim najmniejszym kątem w stosunku do kierunku biegu może on podać tę piłkę,
aby nie popełnić przewinienia?
Odpowiedź: 132◦ .
36. (HRW, t.1, r.4, z.57.) Śnieg pada pionowo ze stałą prędkością 8 m/s. Z punktu widzenia
kierowcy samochodu jadącego po prostej, poziomej drodze z prędkością 50 km/h płatki śniegu
spadają na ziemię ukośnie. Pod jakim kątem do pionu spadają płatki śniegu?
Mechanika – ćwiczenia
6
37. We współrzędnych biegunowych (r, φ) przyspieszenie cząstki często rozkłada się na składowe
prostopadłe: radialną i transwersalną: ~a = ~ar + ~aφ , gdzie
przyspieszenie radialne = ar = r̈ − rφ̇2
przyspieszenie transwersalne (czyli poprzeczne) = aφ = rφ̈ + 2ṙφ̇
(wyprowadzenie można znaleźć w podręczniku Taylora). Zapisz te wzory i sporządź odpowiednie
rysunki trajektorii i wektorow przyspieszeń w szczególnych przypadkach: (a) φ = const, (b) φ̇ =
const, (c) r = const. (d) Składnik 2ṙφ̇ jest nazywany przyspieszeniem Coriolisa. Jakie jest
przyspieszenie Coriolisa w punktach (a)–(c)?
38. ([SEJ] z 50) Samochód jadący z prędkością 40 km/h przebywa zakręt drogi o promieniu
krzywizny 200 m. Na zakręcie kierowca hamuje wóz nadając mu opóźnienie 0.3 m/s2 . Znaleźć
przyspieszenie dośrodkowe i wypadkowe samochodu na zakręcie. Jak skierowany jest wektor ~aw
wypadkowego przyspieszenia względem promienia krzywizny R zakrętu drogi?
*39. Stalowa kulka została rzucona ukośnie z prędkością v0 pod kątem α do poziomu. Rozważ
promienie krzywizny toru R1 , R2 odpowiednio w najniższym i najwyższym punkcie toru.
(a) Za pomocą analizy wymiarowej (analizy jednostek) uzasadnij, że R ∼ v02 . Wskazówka: znajdź
hasło analiza wymiarowa w indeksie podręcznika Wróblewskiego i Zakrzewskiego Wstęp do fizyki .
(b) Oblicz R1 , R2 . Wskazówka: promień krzywizny jest związany z przyspieszeniem stycznym relacją znaną z
ruchu po okręgu.
40. ([J.Araminowicz], z 1.17.) W kartezjańskim układzie współrzędnych ruch punktu materialnego jest opisany równaniami
x = c ωt cos ωt,
y = c ωt sin ωt,
gdzie c i ω – stałe dodatnie. Znaleźć równanie toru w biegunowym układzie współrzędnych.
Jak zależy od czasu wartość prędkości i przyspieszenia? Obliczyć także prędkość, z jaką punkt
materialny oddala się od początku układu współrzędnych.
√
√
Odpowiedź: v = c ω 1 + ω 2 t2 , a = c ω 2 4 + ω 2 t2
*41. ([Hennel i inni], z.I.21.) W czterech rogach kwadratowego sufitu o boku a znajdują się cztery
pająki. W pewnej chwili zaczynają ścigać się nawzajem, tzn. poruszają się wszystkie ze stałą co
do wartości prędkością v0 skierowaną wzdłuż prostej łączącej pająka danego z pająkiem poprzedzającym go. Znaleźć: (a) równanie ruchu dowolnego pająka, (b) czas ruchu, (c) równanie toru.
[Wskazówka: problem ten najłatwiej jest rozpatrywać w układzie biegunowym.]
*42. ([J.Araminowicz], z 1.30.) Ciało zsuwa się bez tarcia po równi pochyłej o kącie nachylenia α.
Czy kształt toru ciała i kształt równi będą jednakowe w układzie odniesienia U 0 , który porusza
się poziomo ze stałą prędkością u względem równi? Znaleźć równanie toru ciała w układzie U 0 .
Mechanika – ćwiczenia
7
Obowiązujący materiał:
RH. Rozdział: Dynamika punktu materialnego – I.
HRW. Rozdział: Siła i ruch I.
43. (HRW, t.1, r.5, z.5.) Cząstka, na którą działają trzy siły porusza się ze stałą prędkością:
~v = (2 m/s)î − (7 m/s)ĵ. Dwie z tych sił są równe: F~1 = (2 N)î + (3 N)ĵ + (−2 N)k̂ oraz
F~2 = (−5 N)î + (8 N)ĵ + (−2 N)k̂. Wyznacz trzecią siłę.
44. (RH. t.1, r.5, z.4) Astronauta, którego masa wynosi 75 kg, opuszcza Ziemię. Obliczyć jego
ciężar: (a) na Ziemi, (b) na Marsie, gdzie g = 3.8 m/s2 , (c) w przestrzeni międzyplanetarnej,
(d) jaka jest jego masa w każdym z tych miejsc?
45. (HRW, t.1, r.5, z.19.) Doświadczalne sanie rakietowe mogą być jednostajnie przyspieszone
do prędkości 1600 km/h w ciągu 1.8 s. Jaka siła wypadkowa jest do tego potrzebna, jeśli masa
sań wynosi 500 kg?
46. (HRW, t.1, r.5, z.29.) Kula o masie 3 · 10−4 kg jest zawieszona na sznurze. Na kulę działa
wiejący poziomo ze stałą prędkością wiatr, w wyniku czego sznur odchyla się od pionu, tworząc
z nim stały kąt 37◦ . Wyznacz: (a) wartość siły, jaką działa wiatr na kulę, (b) naprężenie sznura.
47. (RH, t.1, r.5, z.21.) Winda o masie 3000 kg jedzie do góry z przyspieszeniem 1.2 m/s2 . (a)
Jakie jest naprężenie liny ciągnącej windę? (b) Jakie jest naprężenie liny, gdy ta sama winda
jedzie do góry z opóźnieniem 2.4 m/s2 ?
48. (RH, t.1, r.5, z.24.) Balon o całkowitej masie M opada pionowo w dół z opóźnieniem a. Ile
balastu należy wyrzucić z kabiny, aby nadać balonowi przyspieszenie a skierowane do góry?
49. (HRW, t.1, r.5, przykład 5.6.) Klocek K o masie m = 15 kg wisi na nici, prowadzącej do
węzła W o masie mW , z którego biegną do sufitu dwie inne nici. masę nici można pominąć,
a wielkość siły ciężkości, działającej na węzeł jest do pominięcia w stosunku do siły ciężkości,
działającej na klocek. Wyznacz naprężenia wszystkich trzech nici.
Odpowiedź: 104 N dla nici 1, 134 N dla nici 2 i 147 N dla nici 3.
28°
niæ 1
47°
niæ 2
wêze³ W
niæ 3
m
klocek K
50. Dwie jednakowe masy m połączono liną, która została przerzucona przez nieważki bloczek
mogący poruszać się bez tarcia. Oblicz naprężenie liny.
51. Od jednej z mas z poprzedniego zadania odłupano fragment ∆m i przyklejono do drugiej
masy, w rezultacie układ zaczął się poruszać. Czy naprężenie liny wzrosło, zmalało, czy pozostało
bez zmian?
Wskazówka: Napisz II zasadę dynamiki dla masy pierwszej; napisz II zasadę dynamiki dla masy drugiej; rozwiąż
układ równiań.
*52. Przez lekki bloczek przerzucona jest lekka lina. Z jednej strony liny jest przywiązana masa
M, a z drugiej strony liny wspina się małpa o masie m. Z jakim przyspieszeniem względem liny
aml musi poruszać się małpa, aby masa M unosiła się z przyspieszeniem a?
Mechanika – ćwiczenia
8
Wskazówka: Przyjmij układ odniesienia związany z podłożem. Napisz II zasadę dynamiki dla masy m; następnie
dla masy M ; rozwiąż układ równań.
53. (RH, t.1, r.5, z.33.) Prędkość graniczna spadającego ciała. Opór, jaki stawia powietrze ciałom
swobodnie spadającym, zależy od wielu czynników, takich jak rozmiary ciała, jego kształt, gęstość
i temperatura powietrza oraz prędkość ciała w powietrzu. Wygodnie jest przyjąć, choć będzie to
słuszne tylko w przybliżeniu, że siła oporu Fr jest proporcjonalna do prędkości ciała i przeciwnie
skierowana; inaczej mówiąc, F~r = −k~v , gdzie k jest stałą, której wartość w każdej konkretnej
sytuacji zależy od czynników innych niż prędkość.
Rozważmy swobodny spadek (w powietrzu) ciała, które w chwili początkowej znajdowało się w
spoczynku. (a) Pokazać, że z drugiej zasady Newtona wynika
mg − kv = ma,
czyli mg − k
dy
d2 y
=m 2.
dt
dt
(b) Udowodnić, że ciało przestaje się poruszać ruchem przyspieszonym wówczas, gdy osiągnie
prędkość vg = mg/k, nazywaną prędkością graniczną. (c) Sprawdzić przez podstawienie do
równań ruchu (a), że prędkość zmienia się w czasie zgodnie ze wzorem
v = vg (1 − e−kt/m ),
a następnie naszkicować wykres v w funkcji t. (d) Naszkicować przybliżoną krzywą y w funkcji
t dla tego ruchu, wiedząc, że początkowe przyspieszenie wynosi g, a końcowe jest równe zeru.
Mechanika – ćwiczenia
9
Obowiązujący materiał:
RH. Rozdział: Dynamika punktu materialnego – II.
HRW. Rozdział: Siła i ruch II.
54. (HRW, t.1, r.6, z.2.) Współczynnik tarcia statycznego między teflonem a jajecznicą wynosi
około 0.04. Pod jakim najmniejszym kątem do poziomu trzeba ustawić pokrytą teflonem patelnię,
aby jajecznica zjechała z niej na talerz?
55. Trzy jednakowe klocki są połączone sznurkiem i ciągnięte siłą F , tak jak na rysunku.
Oblicz naprężenia sznurków (a) dla ruchu bez tarcia, (b) uwzględniając współczynnik tarcia f
i zakładając, że układ jest w ruchu.
56. (HRW, t.1, r.6, z.27.) Płyta o masie 40 kg leży na podłożu, po którym może poruszać się
bez tarcia, a na płycie spoczywa klocek o masie 10 kg. Współczynnik tarcia statycznego między
klockiem a płytą µs wynosi 0.6, a współczynnik tarcia kinetycznego µk jest równy 0.4. Klocek
zaczynamy ciągnąć poziomo siłą o wartości 100 N. Z jakim przyspieszeniem będzie się poruszać:
(a) klocek, (b) płyta?
100 N
brak tarcia
10 kg
40 kg
57. (HRW, t.1, r.6, z.31.) Łódź o masie 1000 kg płynęła z prędkością 90 km/h, gdy jej silnik nagle
zgasł. Wartość siły tarcia f~k działającej między łodzią a wodą jest proporcjonalna do prędkości
łodzi v: fk = 70v, przy czym v jest wyrażone w metrach na sekundę, a fk – w niutonach. Wyznacz
czas, po jakim łódź zwolni do prędkości 45 km/h.
58. Ciężki klocek zsuwa się bez tarcia z równi o nachyleniu α. Do klocka zamocowano małe
wahadło matematyczne o długości l. Znajdź położenie równowagi wahadła oraz okres jego wahań.
59. Zadania z RH i HRW.
Mechanika – ćwiczenia
10
Literatura:
RH. Rozdział: Praca i energia.
HRW. Rozdział: Energia kinetyczna i praca.
60. (HRW, t.1, r.7, z.7.) Robotnik przykłada siłę o wartości 210 N skierowaną ku górze, pod kątem
20◦ do poziomu, aby pociągnąć po poziomej podłodze skrzynię o masie 50 kg, mogącą poruszać
się po tej podłodze bez tarcia. Jaką pracę wykona nad skrzynią w czasie jej przemieszczenia o
3 m: (a) siła przyłożona przez robotnika, (b) działająca na skrzynię siła ciężkości, (c) działająca
na skrzynię ze strony podłogi siła normalna? (d) Jaka będzie całkowita praca wykonana na tej
drodze nad nad skrzynią?
61. (HRW, t.1, r.7, z.24.) Klocek o masie 5 kg porusza się bez tarcia po poziomej powierzchni.
Ruch jest prostoliniowy i odbywa się pod wpływem siły, której zależność od położenia przedstawiono na rysunku. Jaką pracę wykonuje ta siła nad klockiem w czasie jego ruchu z punktu x = 0
do punktu x = 8 m?
si³a [N]
10
5
0
–5
–10
0
2
4
6
8
po³o¿enie [m]
62. Sprężyna o stałej sprężystości k = 2 N/cm ma w położeniu równowagi długość l0 = 20 cm.
Jaką pracę trzeba wykonać, aby rozciągnąć sprężynę od długości l1 = 22 cm do długości l2 = 24
cm?
63. (HRW, t.1, r.7, z.37.) Siła (lecz nie moc) potrzebna do holowania łodzi ze stałą prędkością,
jest proporcjonalna do wartości tej prędkości. Ile wynosi moc, potrzebna do holowania łodzi z
prędkością 12 km/h, jeśli moc potrzebna do holowania jej z prędkością 4 km/h jest równa 7.5 kW?
64. Samochód o mocy silnika 80 kW i masie 1500 kg osiąga na płaskiej drodze prędkość maksymalną 180 km/h. Jaka moc silnika byłaby potrzebna do jazdy z tą samą prędkością pod górę,
pod kątem 5◦ do poziomu?