Ćwiczenia - zadania

Spis treści
1 Ciało liczb zespolonych C
1.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Działania na liczbach zespolonych . . . . .
1.1.2 Postać trygonometryczna liczby zespolonej
1.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
2
2
2
2
4
2 Podstawowe struktury algebraiczne
2.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Podstawowe struktury algebraiczne cz. 2. Grupy permutacji
8
3.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik
12
4.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana
14
5.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Wyznacznik macierzy — opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego
18
6.1 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 Wyznacznik macierzy - kontynuacja
21
7.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8 Przestrzeń liniowa, liniowa kombinacja wektorów, baza przestrzeni liniowej (opracowano
na podstawie BG „Elementy algebry liniowej t. I”)
22
8.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9 Macierz przejścia z bazy do bazy, macierz przekształcenia liniowego,
tory własne, diagonalizacja macierzy
9.1 Wprowadzenie teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Macierz przejścia z bazy do bazy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Macierz przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Wektory własne, wartości własne i przestrzenie własne . . . . . .
9.1.4 Diagonalizacja macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
wartości własne, wek.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
27
27
28
29
29
31
1
Ciało liczb zespolonych C
1.1
Wprowadzenie teoretyczne
Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych
z = (a, b) .
Często taką parę zapisujemy w postaci kanonicznej:
z = a + bi,
gdzie i2 = −1.
• a nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, oznaczamy Re z,
• b nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z, oznaczamy Im z.
Liczbą przeciwną do liczby z jest liczba
−z = −a − bi,
natomiast sprzężeniem liczby z jest liczba
z̄ = a − bi.
Moduł liczby zespolonej:
|z| =
p
a2 + b2 .
Dwie liczby zespolone są równe, gdy ich części rzeczywiste są sobie równe oraz ich części urojone są sobie równe.
1.1.1
Działania na liczbach zespolonych
Niech z = a + bi, z 0 = c + di będą liczbami zespolonymi.
• Dodawanie, odejmowanie:
z ± z 0 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d) i.
• Mnożenie:
z · z 0 = (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i.
• Dzielenie:
1.1.2
z
a + bi
a + bi c − di
ac + bd bc − ad
ac + bd bc − ad
=
=
·
= 2
+ 2
i=
+
i
0
2
2
z
c + di
c + di c − di
c +d
c +d
|z 0 |2
|z 0 |2
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Liczbę zespoloną:
z = a + bi
możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej:
z = |z| (cos φ + i sin φ) ,
gdzie φ nazywamy argumentem liczby z, oznaczamy arg z.
Zauważmy, że:
a
cos φ =
,
|z|
b
sin φ =
.
|z|
Zauważmy również, że taka postać daje nam zapis jednoznaczny z dokładnością do 2π. Żeby uzyskać
jednoznaczność zapisu, wprowadzimy pojęcie argumentu głównego liczby zespolonej z. Argument główny
oznaczać będziemy Arg z, Arg z ∈ [ 0, 2π).
arg z = Arg z + 2kπ, dla k ∈ Z.
2
Im
z
b
|z|
-a
ϕ
Re
a
-b
-
z
|z|
-z
|z|
Rysunek 1. Interpretacja geometryczna
Własności 1.1. Niech z, z1 , z2 będą liczbami zespolonymi:
1. Re (z1 ± z2 ) = Re z1 ± Re z2 ,
2. Im (z1 ± z2 ) = Im z1 ± Im z2 ,
3. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
4. | zz12 | =
|z1 |
|z2 | ,
5. z · z̄ = |z|2
6. z1 ± z2 = z̄1 ± z̄2 ,
7. z1 · z2 = z̄1 · z̄2 ,
z1
z̄1
8.
z2 = z̄2 ,
9. z ∈ R ⇐⇒ z̄ = z,
10. arg (z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 ,
11. arg zz12 = arg z1 − arg z2 .
Postać trygonometryczna ułatwia nam mnożenie i dzielenie liczb zespolonych:
z1 · z2 = |z1 ||z2 | (cos (φ1 + φ2 ) + i sin (φ1 + φ2 )) ,
|z1 |
z1
=
(cos (φ1 − φ2 ) + i sin (φ1 − φ2 )) , dla z2 6= 0.
z2
|z2 |
(1.1)
(1.2)
Twierdzenie 1.1 (wzór Moivre’a). Niech z = |z| (cos φ + i sin φ). Wówczas dla dowolnego n ∈ N, mamy:
z n = |z|n (cos nφ + i sin nφ)
Twierdzenie 1.2. Niech z = |z| (cos φ + i sin φ). Wówczas dla dowolnego n ∈ N, istnieje dokładnie n różnych
pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z, tzn. rozwiązań równania ω n = z, które dane są wzorami:
p
φ + 2kπ
φ + 2kπ
ωk = n |z| cos
+ i sin
, gdzie k = 0, 1, . . . n − 1.
n
n
3
1.2
Zadania
Zadanie 1.1. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną oraz obliczyć moduł i sprzężenie liczb zespolonych:
a. (5 − 3i) (1 + i)
d.
b. (2 − 4i) (2 − i)
e.
3i+4
i
√
√
( 3−i)(−1+i 3)
2
(1+i)
f.
(1+i)2 +i
(1−i)2 −i
c.
1−i
1+i
3
g. (2 + i)
h.
i.
√
√
i
8 − 6i
Zadanie 1.2. Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiory punktów, które spełniają poniższe warunki:
n
o
4i−3
e. E = z ∈ C : | 3i−z
|>5
a. A = {z ∈ C : |z| = 1}
b. B = {z ∈ C : 1 < |z| ≤ 5}
f. F = z ∈ C : Arg z =
c. C = {z ∈ C : |z − 3 + 2i| = 2}
n
o
d. D = z ∈ C : | z−3
z−1 | = 1
π
4,
Im z < 3
g. G = {z ∈ C : z z̄ ≤ 9, Re z > 2}
Zadanie 1.3. Przedstawić w postaci trygonometrycznej:
√
f.
b. i
c. −1
e.
1
2
3
2
+ 12 i
√
g. −1 + i 3
d. −i
a. 1
√
i.
2
2
√
−
2
2 i
√
−i
3
2
h. −1 − i
Zadanie 1.5. Obliczyć:
Zadanie 1.4. Wyznaczyć moduł i argument
√ 2014
4024
−1 + i 3
: (1 − i)
136
√ 50 √
1
3
3
i
b.
−
i
·
−
+
2
2
2
2
liczby zespolonej:
a.
1−i
z=
1+i
oraz obliczyć:
z 23 .
1320
c. (2 − 2i)
Zadanie 1.6. Obliczyć wszystkie pierwiastki zespolone stopnia 4 i 6 z 1.
Zadanie 1.7. Rozwiąż niżej podane równania w ciele liczb zespolonych:
a.
Re z
2+3i
+
Im z
3−2i
=1
b. z 2 + z + 1 = 0
e. z 3 − 3iz 2 + 4z = 0
c. 3z+(1 − i) z̄ = 2+3i
d.
Re z+iz
(i−2) Im z+2
f. z 4 − 1 = 0
=i
* Zadanie 1.8. Wyprowadzić wzory:
a. sin (2α) — wskazówka: wzór Moivre’a
b. cos (2α) — wskazówka: wzór Moivre’a
c. sin (α + β)
d. cos (α + β)
4
g. z 2 + 5z̄ = 0
2
2.1
Podstawowe struktury algebraiczne
Wprowadzenie teoretyczne
Definicja 2.1. Działaniem wewnętrznym (w skrócie będziemy mówić działaniem) w zbiorze X nazywać
będziemy każdą funkcję X × X → X.
Definicja 2.2. Niech F i A będą niepustymi zbiorami. Dowolne odwzorowanie ◦ : F × A → A nazywamy
działaniem zewnętrznym w zbiorze A ze zbiorem operatorów F.
Definicja 2.3. Grupą nazywamy zbiór G z działaniem · : G × G → G, dla którego spełnione są następujące
warunki:
G1. Dla dowolnych a, b, c ∈ G : (a · b) · c = a · (b · c). (łączność)
G2. Istnieje element e ∈ G (nazywany elementem neutralnym grupy) taki, że:
dla każdego a ∈ G : e · a = a · e = a.
G3. Dla każdego a ∈ G istnieje element b ∈ G (nazywany elementem odwrotnym do a) taki, że:
a · b = b · a = e.
Definicja 2.4. Grupą przemienną (lub abelową) nazywamy zbiór G z działaniem · : G × G → G, spełniającym warunki G1.—G3. z powyższej definicji oraz warunek:
G4. dla dowolnych a, b ∈ G : a · b = b · a.
Fakt 2.1. Niech G będzie grupą.
1. Element neutralny grupy G jest tylko jeden.
2. Dla każdego elementu a ∈ G element odwrotny b do elementu a jest jednoznacznie określony, oznaczamy
go symbolem a−1 .
3. Dla każdego a ∈ G mamy:
a−1
−1
= a.
4. Dla dowolnych a, b ∈ G zachodzi równość:
−1
(ab)
= b−1 a−1 .
Często dla uproszczenia zapisu element neutralny dla mnożenia (·) będziemy oznaczać poprzez 1, natomiast dla
dodawania (+) poprzez 0.
Definicja 2.5. Pierścieniem nazywamy zbiór R z dwoma działaniami: z dodawaniem + : R × R → R i z
mnożeniem · : R × R → R, dla których są spełnione następujące warunki:
P1. (R, +) jest grupą abelową.
P2. Dla dowolnych a, b, c ∈ R : (a · b) · c = a · (b · c) (łączność mnożenia).
P3. Dla dowolnych a, b, c ∈ R :
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b) · c = a · c + b · c
(rozdzielność mnożenia względem dodawania).
5
Jeśli ponadto R 6= {0} oraz istnieje element neutralny mnożenia e ∈ R taki, że:
dla każdego a ∈ R : a · e = e · a = a,
to mówimy, że R jest pierścieniem z jedynką.
Jeśli mnożenie w pierścieniu R jest przemienne, tzn.:
dla każdego a, b ∈ R : a · b = b · a,
to mówimy, że R jest pierścieniem przemiennym.
Definicja 2.6. Ciałem nazywamy niepusty zbiór K (posiadający co najmniej dwa elementy) wraz z działaniami
+ : K × K → K oraz · : K × K → K takimi, że:
C1. (K, +, ·) jest pierścieniem przemiennym z jedynką.
C2. Zbiór K × = K \ {0} z mnożeniem jest grupą.
Definicja 2.7. Niech (A, +A ) oraz (B, +B ) będą grupami. Mówimy, że odwzorowanie f :
homomorfizmem grup, gdy dla każdego a, b ∈ A:
A → B jest
f (a +A b) = f (a) +B f (b) .
Niech teraz (A, +A , ·A ) oraz (B, +B , ·B ) będą pierścieniami. Mówimy, że odwzorowanie f :
homomorfizmem pierścieni, gdy dla każdego a, b ∈ A:
A → B jest
f (a +A b) = f (a) +B f (b)
f (a ·A b) = f (a) ·B f (b)
Warto zauważyć, że w przypadku, gdy:
1. (A, +A ) oraz (B, +B ) są grupami i f : A → B jest homomorfizmem grup, to:
f (0A ) = 0B .
2. (A, +A , ·A ) oraz (B, +B , ·B ) są dowolnymi pierścieniami i f : A → B jest homomorfizmem pierścieni, to:
f (0A ) = 0B .
3. (A, +A , ·A ) oraz (B, +B , ·B ) są dowolnymi pierścieniami z jedynką i f : A → B jest homomorfizmem tych
pierścieni, to:
f (0A ) = 0B ,
f (1A ) = 1B
Jądrem homomorfizmu f : A → B, jest zbiór:
Ker f = {a ∈ A : f (a) = 0B } .
Obrazem homomorfizmu f : A → B jest zbiór:
Im f = {b ∈ B, ∃a ∈ A : f (a) = b} .
6
2.2
Zadania
Zadanie 2.9. Ile różnych działań można określić na zbiorze:
c. n–elementowym?
a. 2-elementowym?
b. 3-elementowym?
Zadanie 2.10. Czy:
a. dodawanie liczb,
b. mnożenie liczb
jest działaniem wewnętrznym w zbiorze {0, 1, 2}, {−1, 0, 1}?
Zadanie 2.11. W którym zbiorze: N, {−1, 0, 1}, {0, 1}, {0} wzór:
a. a ? b = a2 + b2
b. a ? b = a − b
określa działanie (wewnętrzne)?
Zadanie 2.12. Określ czy zbiór (A, ?) jest grupą, grupą abelową:
f. a ? b = 5log5 a+log5 b , a, b ∈ A, gdzie A = R+ .
a. a ? b = a2 + b − 1, a, b ∈ A, gdzie A = Z.
b. a ? b =
a+b
2 ,
a, b ∈ A, gdzie A = Q.
g. a ? b = 3log3 a log3 b , a, b ∈ A, gdzie A = R+ .
c. a ? b = a + b + ab, a, b ∈ A, gdzie A = (−1, ∞).
d. a ? b = a + b + ab, a, b ∈ A, gdzie A = [−1, ∞).
h. (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) = (a1 b1 , a1 b2 + a2 b1 ),
(a1 , a2 ) , (b1 , b2 ) ∈ A, gdzie A = (R \ {0}) × R.
e. a ? b = a + b − 5, a, b ∈ A, gdzie A = Z.
Zadanie 2.13. Które z następujących zbiorów są ciałami ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia
liczb: N, Z, {−1, 0, 1}, Q, R, [ 0, ∞)?
Zadanie 2.14. Stwórz tabelkę działania w Zn dla działań ·n , +n dla n = 2, 3, 4, 5. Określ jakie to struktury
algebraiczne.
Zadanie 2.15. Wykonaj następujące działania:
a. − 41 + 2 w ciele Z5 ,
b. 1 +
1
2
+
1
3
+
1
5
w ciele Z7 ,
c. −2 · (1 + 23 ) +
3
2
w ciele Z5 ,
d. − 12 + 1 w ciele Z3 ,
e. 2 · 5−1 − 2 · 4 w pierśc. Z6 ,
f. 16 − 3 · 41 + 12 w ciele Z11 .
Zadanie 2.16. Sprawdzić czy następujące przekształcenia są homomorfizmami grup.
a. f : Z → Z, f (a) = na dla pewnej liczby n ∈ N,
b. f : C× → C× , f (z) = z m dla pewnego m ∈ Z,
c. f : R×
>0 → R, f (a) = log a,
d. f : R → R, f (a) = 5a,
e. f : R× → R× , f (a) = 5a.
Jeśli w powyższych podpunktach otrzymasz odpowiedź twierdzącą, to wyznacz jądro oraz obraz homomorfizmu.
7
3
3.1
Podstawowe struktury algebraiczne cz. 2. Grupy permutacji
Wprowadzenie teoretyczne
Definicja 3.1.
1. Niech f : X → Y
(a) Mówimy, że f jest suriekcją (odwzorowaniem na zbiór Y ), gdy dla każdego y ∈ Y , istnieje x ∈ X
taki, że:
y = f (x) .
(b) Mówimy, że f jest iniekcją (odwzorowaniem różnowartościowym), gdy dla dowolnych x1 , x2 ∈ X
zachodzi następująca implikacja:
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
lub równoważna implikacja:
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
(c) Mówimy, że f jest bijekcją, gdy jest zarówno iniekcją jak i suriekcją.
2. Niech:
f :X→Y
g : Y → Z.
Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję h := g ◦ f : X → Z określoną następująco:
dla każdego x ∈ X : h (x) := (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) .
Czyli mamy następującą sytuację:
X
f
Y
g
Z
g◦f
Zauważmy, że w ogólnym przypadku składanie funkcji nie jest przemienne. Niech np. f, g : R → R, dla
dowolnego x ∈ R dane wzorami:
f (x) = 2x
g (x) = x2 .
Wówczas dla dowolnego x ∈ R mamy:
(f ◦ g) (x) = f (g (x)) = f x2 = 2x2
(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = g (2x) = 4x2
Definicja 3.2. Niepusty podzbiór H grupy (G, ?) nazywamy podgrupą grupy G, gdy (H, ?) jest grupą.
Twierdzenie 3.1. Niech X będzie dowolnym zbiorem, a Bij (X) niech będzie zbiorem wszystkich bijekcji zbioru
X (tzn. Bij (X) = {f : X → X; f jest bijekcją}).
Zbiór Bij (X) wraz ze składaniem funkcji ◦ tworzy grupę.
Nas interesować będą zbiory, które mają skończoną liczbę elementów.
Definicja 3.3. Niech X będzie dowolnym zbiorem n-elementowym. Grupę bijekcji takiego zbioru oznaczamy
Sn i nazywamy grupą permutacji zbioru n-elementowego. Elementy grupy Sn nazywamy permutacjami.
8
Zauważmy, że dowolny zbiór n–elementowy możemy utożsamić ze zbiorem {1, 2, 3, . . . , n}, niech więc X =
{1, 2, 3, . . . , n}. Wówczas dowolną permutację σ ∈ Sn możemy zapisać:
1
2
3
...
n
σ=
.
σ (1) σ (2) σ (3) . . . σ (n)
Elementem neutralnym grupy Sn jest permutacja identycznościowa:
1 2 3 ... n
.
Id =
1 2 3 ... n
Elementem odwrotnym do σ jest:
σ
−1
=
σ (1)
1
σ (2)
2
σ (3)
3
. . . σ (n)
.
...
n
Definicja 3.4. Permutację σ ∈ Sn nazywamy cyklem długości k, gdy istnieje k–elementowy podzbiór {a1 , a2 , . . . , ak }
zbioru X taki, że:
σ (a1 ) = a2 , σ (a2 ) = a3 , . . . , σ (ak−1 ) = ak , σ (ak ) = a1
oraz σ (a) = a dla a ∈
/ {a1 , a2 , . . . , ak }.
Przyjmujemy, że permutacja identycznościowa jest cyklem długości jeden.
Zauważmy, że każdy cykl długości k można zapisać na k sposobów.
Definicja 3.5. Dwa cykle (a1 , a2 , . . . , aj ) , (b1 , b2 , . . . , bk ) nazywamy cyklami rozłącznymi,
gdy zbiory {a1 , a2 , . . . , aj } , {b1 , b2 , . . . , bk } są rozłączne.
Twierdzenie 3.2. Każdą permutację można przedstawić w postaci iloczynu parami rozłącznych cykli. Przedstawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do kolejności cykli.
Definicja 3.6. Cykl długości 2 nazywamy transpozycją.
Twierdzenie 3.3. Każdą permutację można rozłożyć na iloczyn transpozycji. To przedstawienie nie jest jednoznaczne. Jednak, gdy dana permutacja jest jednocześnie iloczynem p i r transpozycji, to liczby p i r są tej
samej parzystości (tzn. obie są parzyste lub obie są nieparzyste). W rozkładzie permutacji identycznościowej na
transpozycje występuje zawsze parzysta ich ilość.
Poniższa równość określa sposób rozkładu cyklu długości k na iloczyn transpozycji:
(a1 , a2 , a3 , . . . , ak−1 , ak ) = (a1 , ak ) (a1 , ak−1 ) . . . (a1 , a3 ) (a1 , a2 ) .
r
Definicja 3.7. Znakiem permutacji σ nazywamy liczbę sgn σ = (−1) , gdzie r jest liczbą czynników w rozkładzie permutacji σ na iloczyn transpozycji.
• Jeśli sgn σ = 1, to permutację σ nazywamy parzystą.
• Jeśli sgn σ = −1, to permutację σ nazywamy nieparzystą.
Definicja 3.8. Niech dana będzie permutacja:
1
2
3
σ=
σ (1) σ (2) σ (3)
...
...
s
...
σ (s) . . .
t
...
σ (t) . . .
Mówimy, że liczby s, t tworzą inwersję, gdy:
s < t oraz σ (s) > σ (t) .
Np.
σ=
1
6
2
4
3
2
4
3
9
5
7
6
5
7
1
n
.
σ (n)
• Liczba 6 tworzy 5 inwersji.
• Liczba 4 tworzy 3 inwersji.
• Liczba 2 tworzy 1 inwersji.
• Liczba 3 tworzy 1 inwersji.
• Liczba 7 tworzy 2 inwersji.
• Liczba 5 tworzy 1 inwersji.
• Liczba 1 tworzy 0 inwersji.
Liczba wszystkich inwersji w permutacji σ wynosi 5 + 3 + 1 + 1 + 2 + 1 + 0 = 13.
Istnieje równoważna definicja „parzystości” permutacji:
Definicja 3.9 (równoważna definicji 3.7).
Permutację σ ∈ Sn nazywamy parzystą, gdy dla n > 1 liczba inwersji w σ jest parzysta lub σ ∈ S1 .
Permutację σ ∈ Sn , n > 1 nazywamy nieparzystą, gdy liczba inwersji w σ jest nieparzysta.
10
3.2
Zadania
Zadanie 3.17. Wskaż wszystkie podgrupy grup: (Z6 , +6 ) , (Z8 , +8 ).
Zadanie 3.18. Niech D = R \ {0, 1} i niech dla i = 1, 2, . . . , 6 funkcje fi : D → D będą określone wzorami:
1
f2 (x) = 1−x
,
f5 (x) = 1 − x,
f1 (x) = x,
f4 (x) = x1 ,
f3 (x) = x−1
x
x
f6 (x) = x−1
.
Sprawdź, czy składanie funkcji ◦ jest działaniem w G = {f1 , f2 , . . . , f6 } (zbudować tabelkę). Czy para (G, ◦)
jest grupą?
Zadanie 3.19. Zbuduj tabelkę działania w S3 .
Zadanie 3.20. Niech σ = ( 12 21 35 44 53 ) , τ = ( 14 21 35 42 53 ). Oblicz:
στ, τ σ, σ −1 τ σ, τ −1 σ.
Zadanie 3.21. Zapisz poniższe permutacje w postaci dwuwierszowej:
a. σ = (1, 2, 4, 6), σ ∈ S7 ,
b. τ = (3, 5, 4), τ ∈ S5 .
Zadanie 3.22. Rozwiąż równania:
a. (1, 2)x = (1, 3)(2, 4) w grupie S4 ,
b. ( 13 25 32 44 51 ) x ( 12 21 34 45 53 ) = ( 11 25 34 43 52 ) w grupie S5 ,
c. ( 12 21 33 ) x ( 13 21 32 )
−1
= ( 11 23 32 ) w grupie S3 ,
d. x ( 13 22 35 41 54 ) = ( 12 21 33 44 55 ) w grupie S5 .
Zadanie 3.23.
Daną permutację σ ∈ S10 przedstaw w postaci iloczynu transpozycji. Określ znak i
parzystość permutacji σ.
8 9 10 )
a. σ = ( 16 27 32 48 51 63 79 10
4 5
5 6 7 8 9 10 )
b. σ = ( 13 22 36 48 10
1457 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 )
c. σ = ( 10
13548976 2
6 7 8 9 10 )
d. σ = ( 11 23 34 42 55 10
697 8
11
4
Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny
dzielnik
4.1
Wprowadzenie teoretyczne
Anna Iwaszkiewicz-Rudoszańska, „Wstęp do algebry i teorii liczb”, Wyd. Naukowe UAM:
1. Pierścień wielomianów, str. 125-132
2. Pierścień liczb całkowitych (Podzielność w Z, NWD, NWW, algorytm Euklidesa), str. 52-63
12
4.2
Zadania
Zadanie 4.24. Oblicz f + g, f · g:
a. f = 5X 2 − (2 + i) X + i, g = iX + 13 − i w pierścieniu C[X],
b. f = 3X 2 + X + 4, g = 2X 2 + 3X + 3 w pierścieniu Z5 [X],
c. f = 2X 4 + 3, g = − 2X 4 + 1 w pierścieniu Z[X].
Zadanie 4.25. Wykonaj następujące dzielenia z resztą:
a. X 4 − 9X 3 + 23X 2 − 16X + 13 przez X − 5 w Z[X]
b. 2X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 3 przez 3X 2 + X + 4 w Z5 [X]
c. X 5 + 4X 4 + 3X 2 + 2 przez 2X 3 + X + 4 w Z5 [X]
d. 2X 5 + 8X 4 + 7X 3 + 3X + 5 przez 3X 3 + 7X 2 + 5X + 1 w Z11 [X]
Zadanie 4.26. Stosując metodę Hornera wykonaj następujące dzielenia z resztą:
a. X 5 + 2X 4 + 5X 3 + 13 przez X + 1 w Z[X]
b. 3X 5 + 7X 4 − 5X 3 − 14X 2 − 12X − 4 przez X + 2 w Z[X]
c. X 4 + 5X 3 + 2X 2 + 4X + 3 przez X + 2 w Z7 [X]
d. X 4 + 3X + 2 przez X + 4 w Z5 [X]
Zadanie 4.27. Przy pomocy algorytmu Euklidesa wyznacz: (14, 35), (180, 252), (345, 6642), (1001, 765),
(148, 684), (819, 702, 689), (3059, 2737, 943).
Zadanie 4.28. Wyznacz element odwrotny do liczby
a. 35 w Z37
b. 125 w Z257
c. 637 w Z1734
Zadanie 4.29. Przy pomocy algorytmu Euklidesa wyznacz N W D(f, g), gdzie
a. f, g ∈ Z2 [X],
f (X) = X 4 + X 3 + X 2 + 1,
g(X) = X 5 + X 2 + 1
b. f, g ∈ Z3 [X],
f (X) = X 5 + 2X 3 + X + 1,
g(X) = X 4 + X 2 + 2
c. f, g ∈ Z5 [X],
f (X) = X 4 + 4X 3 + X 2 + 3,
g(X) = X 3 + 4X + 3
d. f, g ∈ Z7 [X],
f (X) = X 4 + 5X 3 + 2X + 6,
g(X) = X 3 + 4X 2 + 4X + 5
e. f, g ∈ Z7 [X],
f (X) = X 3 + X 2 + 6X + 4,
g(X) = X 4 + 6X 3 + 2X 2 + 2
f. f, g ∈ Q[X],
f (X) = X 3 − X 2 − 4X + 4,
g(X) = X 2 − X − 6
13
d. 1633 w Z1734
5
5.1
Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana
Wprowadzenie teoretyczne
Definicja 5.1. Mówimy, że macierz A jest w postaci zredukowanej, gdy spełnione są następujące warunki:
1. Począwszy od pewnego wiersza wszystkie następne wiersze macierzy składają się z samych zer. Powyżej
tego wiersza nie ma wierszy złożonych z samych zer.
2. W każdym niezerowym wierszu pierwszy od lewej niezerowy wyraz jest równy 1. Ten niezerowy wyraz
będziemy nazywać jedynką wiodącą wiersza.
3. Jeśli dwa sąsiednie wiersze nie są złożone z samych zer, to wiodąca jedynka wyższego wiersza znajduje się
na lewo od wiodącej jedynki niższego wiersza.
4. Jeśli ponadto, każda kolumna zawierająca wiodącą jedynkę ma pozostałe wyrazy równe 0, to mówimy, że
macierz A jest w postaci całkowicie zredukowanej.
Definicja 5.2. Następujące operacje wykonywane na wierszach macierzy, nazywać będziemy operacjami elementarnymi:
OE1. Zamiana miejscami dwóch wierszy.
OE2. Pomnożenie wiersza przez niezerowy element ciała K.
OE3. Dodanie do danego wiersza wielokrotności innego wiersza.
Definicja 5.3. Rzędem macierzy A nazywamy liczbę wiodących jedynek w dowolnej postaci zredukowanej
macierzy A.
Twierdzenie 5.1 (Kroneckera-Capellego). Niech [A|b] będzie macierzą rozszerzoną danego układu równań liniowych. Wówczas ten układ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy:
rz[A|b] = rz A.
Ponadto, jeśli układ równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązanie, to jego rozwiązanie zależy od s =
n − rz A parametrów.
Twierdzenie 5.2. Jeśli A ∈ Mn,n (K), to następujące warunki są równoważne:
1. A jest macierzą odwracalną,
2. postać całkowicie zredukowana macierzy A jest macierzą identycznościową In ,
3. rz A = n,
4. det A 6= 0,
5. dla każdego b ∈ K n układ równań liniowych AX = b ma dokładnie jedno rozwiązanie,
6. jednorodny układ równań liniowych AX = θn ma tylko jedno rozwiązanie: x1 = x2 = . . . = xn = 0.
14
5.2
Zadania
Zadanie 5.30. Niech:

1
A= 0
−1

−1 2
2 3 ,
1 1
2
 3
B=
−1
0

0
0
1
1

1
1
,
0
−1
 
2
C = 1 ,
3

2
D = 0
1
Oblicz:
A + 3I, 3A, D + D, B + DT
AAT , AAT
T
T

1 −1
2
1 ,
−2
0
2
1
2

1
E = 2
1

2
1 ,
α∈R
1
, D + BT ,
, AT A, C T C, CC T , BDDT , CC T A, αB, ADBE, C T AE
Zadanie 5.31. Wyznacz macierz hermitowsko-sprzężoną A∗ do macierzy A:

0
2 + 3i
a. A = −2 + 3i
0
i
−1
1 i
b. A =
−i 1

i
1
0
Macierz, z którego podpunktu jest macierzą hermitowską, a z którego jest macierzą antyhermitowską.
Zinterpretuj operacje na wektorach płaszczyzny (R2 ) (translacja o wektor T = [ TTxy ],
Zadanie 5.32.
skalowanie, obrót względem środka układu współrzędnych) jako operacje na odpowiednich macierzach.
Zadanie 5.33. Znajdź postacie zredukowane i rzędy następujących macierzy:

1
a. A = −1
2

0
0
b. B = 
0
5
0
1
0

2 −2
1 4
−1
0 −1 1,
1 −3
2 0
1 2
1, 5 3
0 4
0 3

3
4, 5
,
5 
0

1 0
2 1
c. C = 
0 1
1 1

1
0 −1
0 −1
0
,
−1
1
4
1
0
2

1
4
d. D = 
7
4
5
3
4
4
3
8
1
4
7
−2
7
4

9
5
.
5
20
Zadanie 5.34. Znajdź postacie całkowicie zredukowane i rzędy następujących macierzy:

1 0 2
 0 1 2


−1 0 0
a. A = 
 1 0 0

 0 1 0
1 1 1

−1
0
0 −1


−2
3
,
0 −1

1
4
−1 −1

1 2

b. B = 2 4
0 0
15
−1
−2
−1

−1 −1
0
4
0
0
0 −2
0
1 −1
1
Zadanie 5.35. W zależności od parametru m ∈ R oblicz rząd poniższych macierzy:
a. A =
3m + 7
6m − 5
m+2
2m − 2

1 2m + 5
b. B = 2 5m + 10
3 6m + 15
2m2 + 9m − 5
2m2 + 8m − 10
m2 + 6m + 5
m2 + 5m
c. C =

m+1
 m
d. D = 
 m2
5m
m2 + m
3m2 + 3m
4m2 + 2m

m
m+1
m
m

m m
m m

m2 m
5m m
Zadanie 5.36. Wyznacz macierze odwrotne do podanych macierzy:

1
a. A = 0
0
2
1
0

1
4,
−1

−1
c. C =  0
1

2
b. B = 0
0
4
1
0

0
0,
−1

5
d. D = 0
0

0
0
−1
0,
1 −1

0
0
−10
0.
0 −1897
Zadanie 5.37. W zależności od parametru m przeanalizuj liczbę rozwiązań układu równań:

 −x1 − 2x2 − x3
2x1 + 3x2 + x3

x1 + mx2 − mx3
= 0
= 2
= 1
Zadanie 5.38. (przykład 1.6, str 53, BG tom 1) Rozwiąż układ równań w ciele liczb rzeczywistych oraz
w Z5 .

 2x1 + 4x2 + 6x3
4x1 + 5x2 + 6x3

2x1 + 7x2 + 12x3
= 18
= 24
= 40
Zadanie 5.39. Rozwiąż (metodą Gaussa) następujące układy równań w ciele liczb rzeczywistych:

 x1 + 3x2 + 5x3
a.
2x1 + 7x2 + 9x3

3x1 + 8x2 + 7x3
=
=
=

 2x1 + 5x2 + 2x3
b.
5x1 + 9x2 + 7x3

x1 − 8x2 + 7x3
= 1
= 3
= 1

x1 + 2x2 + 2x3



x1 + 4x2 + 3x3
e.

3x
1 + 4x2 + 4x3


5x1 − 6x2 − 3x3
= 4
= 9
= 7

 x1 + 4x2 + 2x3 + x4 + 3x5
f.
x1 + 3x2 + x3 + 2x4 + 5x5

x1 + 7x2 + 5x3 − 2x4 − 3x5


x1 + 2x2 − x3
c.
3x1 + 5x2 − 2x3

4x1 + 5x2 − x3

x1 + 3x2 + x3 + 4x4



3x1 + 2x2 + 2x3 + x4
d.

5x1 + x2 + 2x3 + 8x4


7x1 + 3x3 + 5x4
2
−1
−7
16
= 0
= 1
= 4
= 0
= 2
= 6
= 8
= 8
= 5
= 2
= 14
Zadanie 5.40. Rozwiąż układ równań:




x+y+z =
x + 4y + 2z =

3x + y + 4z =

 2x + y + 4z =
e.
3x + y + z =

2x + 3y + 3z =

 x + 3y + 5z =
f.
4x + 6y + 3z =

6x + 5y + 4z =
x + 11y + z = 5
a.
2x + 2y = 6 w ciele Z13 ,

5x + 10y + 4z = 1

 x + 2y + 3z = 1
b.
2x + y + z = 0 w ciele Z5 ,

4x + 3y + z = 3

 x + 2y + 3z = 4
c.
3x + 4y + z = 4 w ciele Z5 ,

2x + 3y + 2z = 1
d.
0
3 w ciele Z5 ,
3
4
0 w ciele Z5 ,
0
6
1 w ciele Z7 .
5
Zadanie 5.41. Znajdź wielomian f ∈ R[X] stopnia co najwyżej drugiego spełniający warunki:
a. f (1) = 5, f (2) = 10, f (3) = 17,
b. f (−1) = 15, f (3) = 3, f (4) = 5.
Zadanie 5.42. Znajdź wielomian f ∈ R[X] stopnia co najwyżej trzeciego spełniający warunki:
a. f (1) = 7, f (2) = 1, f (3) = 1, f (4) = 13,
b. f (−1) = 11, f (1) = 1, f (3) = 15, f (5) = 53.
Zadanie 5.43. Znajdź macierze odwrotne (o ile istnieją) dla poniższych macierzy:


3
2
−5 −7 ,
−2 −4
1

A = −2
−1
Zadanie 5.44.

−3
 1
B=
 0
2

−4 −2 −2
−3 −1
1
,
3
1
0
2
1
1

−2

C = −3
1

2
1
1
1 ,
−4 −1

1

D = −1
0
Rozwiąż układ równań liniowych AX = b, znajdując macierz odwrotną do macierzy
współczynników, gdzie:

1
a. A = 0
0
0
1
1

3 2
−4 1
−1 3

1
0 ,
1
 
1
b = 0,
1
2 0
 1 1
b. A = 
−1 0
1 0

17

−1 1
−1 0
,
6 1
1 1
 
1
0

b=
1
0
6
6.1
Wyznacznik macierzy — opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego
Teoria
Definicja 6.1. Wyznacznik macierzy kwadratowej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej.
1. Jeżeli A = [a] ∈ M1,1 (K), to det A = a.
2. Załóżmy, że został zdefiniowany wyznacznik macierzy kwadratowej o n − 1 wierszach. Niech A ∈ Mn,n (K)
oraz niech Mi,j ∈ Mn−1,n−1 (K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po wykreśleniu z A i-tego wiersza i
j-tej kolumny. Ponadto niech
Aij = (−1)i+j det Mij .
Element Aij ciała K nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu aij macierzy A. Przy tych
oznaczeniach wyznacznik macierzy A definiujemy za pomocą wyrażenia
det A = a11 A11 + a12 A12 + · · · + a1n A1n
Twierdzenie 6.1 (Laplace’a). Jeżeli A ∈ Mn,n (K), to zachodzą następujące wzory:
1. det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain dla każdego 1 ≤ i ≤ n,
2. det A = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj dla każdego 1 ≤ j ≤ n.
Definicja 6.2. Niech A ∈ Mn,n (K) będzie macierzą o współrzędnych aij ∈ K. Wówczas mówimy, że A jest
macierzą:
1. dolną trójkątną/dolnotrójkątną, gdy ma zera nad przekątną, czyli aij = 0 dla i < j,
2. górną trójkątną/górnotrójkątną, gdy ma zera pod przekątną, czyli aij = 0 dla i > j,
3. przekątniową(diagonalną), jeżeli aij = 0 dla i 6= j.
Własności 6.1 (Wyznacznika). Niech
a11
 a21

A= .
 ..
an1

a12
a22
..
.
an2
···
···
..
.
···

a1n
a2n 

..  ∈ Mn,n (K).
. 
ann
1. Jeżeli macierz A ma wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0.
2. Dla każdego c ∈ K i dla każdego 1 ≤ j ≤ n mamy

a11 · · · ca1j
 a21 · · · ca2j

det  .
..
 ..
.
an1 · · · can2
···
···
..
.
···

a1n
a2n 

..  = c det A
. 
ann
Taka sama własność zachodzi przy mnożeniu dowolnego wiersza macierzy przez skalar.
3. Jeżeli macierze B , C ∈ Mn,n (K) różnią się

a11
 a21

B= .
 ..
an1

a11
 a21

C= .
 ..
an1
od macierzy A tylko j-tą kolumną i mają postać

· · · b1j · · · a1n
· · · b2j · · · a2n 

..
.. 
.
. 
· · · bn2 · · · ann

· · · a1j + b1j · · · a1n
· · · a2j + b2j · · · a2n 

..
.. 
.
. 
· · · anj + bn2 · · · ann
to det C = det A + det B. Taka sama własność zachodzi dla wierszy macierzy.
18
4. Jeżeli macierz A ma dwie identyczne kolumny (odpowiednio wiersze), to det A = 0.
5. Zamiana miejscami dwóch kolumn (wierszy) macierzy powoduje, że znak wyznacznika zmienia się na
przeciwny.
6. Jeżeli jedna kolumna (wiersz) macierzy A jest wielokrotnością innej kolumny (odpowiednio - wiersza), to
det A = 0.
7. Jeżeli do jednej kolumny (wiersza) macierzy A dodamy wielokrotność innej kolumny (odpowiednio wiersza),
to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie.
8. Jeżeli A, B ∈ Mn,n (K) to zachodzą następujące równości:
X
(sgn σ)bσ(1)1 bσ(2)2 · · · bσ(n)n
det(AB) = det A
σ∈Sn
det B =
X
(sgn σ)bσ(1)1 bσ(2)2 · · · bσ(n)n
σ∈Sn
gdzie Sn jest grupą permutacji zbioru n-elementowego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ ∈ Sn .
Twierdzenie 6.2 (Cauchy’ego). Jeżeli A, B ∈ Mn,n (K), to
det(AB) = det A det B.
Definicja 6.3. Dla macierzy kwadratowej A ∈ Mn,n (K) definiujemy jej macierz dołączoną
A11
 A12

= .
 ..
A1n

AD
A21
A22
..
.
A2n
···
···
..
.
···

An1
An2 

.. 
. 
Ann
tzn AD jest macierzą kwadratową, która na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczne
Aji .
Twierdzenie 6.3. Jeżeli A ∈ Gln (K), to zachodzi następujący wzór:
A−1 =
1
AD
det A
Mamy następujący układ równań:
a11 x1
a21 x1
..
.
am1 x1
+
+
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
+
···
···
···
a1n xn
a2n xn
..
.
+ amn xn
+
+
=
=
=
b1
b2
..
.
bm
(6.1)
Twierdzenie 6.4. Jeżeli det A 6= 0, to układ równań (6.1) ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest dane za
pomocą wzorów
det Axi
,
xi =
det A
dla 1 ≤ i ≤ n, gdzie Axi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych
układu (6.1).
19
6.2
Zadania
Zadanie 6.45. Obliczyć następujące wyznaczniki:
1
a. 2
−1
−1 1
3 0,
1 1
Zadanie 6.46.
1 1
0 1
b. 1 1
0 5
1
0
c. 0
0
0
0
2 −1
,
−1
3
1
0
1
1
0
0
0
0
2 −1
.
−1
3
0
3
Wykazać, że wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej/górnotrójkątnj jest równy iloczynowi
elementów na przekątnej.
* Zadanie 6.47. Wykaż, że jeśli liczba zer w macierzy stopnia n jest większa od n2 − n, to jej wyznacznik
równy jest 0.
Zadanie 6.48. Wyprowadzić wzór na wyznaczniki macierzy 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 z własności 8 wyznacznika.
Zadanie 6.49. Podać przykład macierzy A, B ∈ M2 (R) takich, że A 6= 0, B 6= 0 i AB = 0.
Zadanie 6.50. Niech c ∈ R, A ∈ Mn (R) i det A = a. Oblicz det cA.
Zadanie 6.51. Niech a, b, c, d, t ∈ R. Stosując twierdzenie Cauchy’ego do macierzy
A=
a
−bt
b
a
,
B=
c d
−dt c
udowodnić tożsamość
(a2 + b2 t)(c2 + d2 t) = (ac − bdt)2 + (ad + bc)2 t.
Zadanie 6.52. Za pomocą wzorów Cramera rozwiąż następujący układ równań nad ciałem R:
a.
b.


4x1 − 7x2
5x1 − 6x2
= 3
= 4
x1 − x2 + x3
3x1 − 4x2 + 5x3

4x1 − 5x2 + 9x3
c.
= −1
= −5
= −8
20


x1 + 3x2 + 4x3
2x1 + 4x2 + 7x3

4x1 + 9x2 + 11x3
= 1
= 2
= 5
7
Wyznacznik macierzy - kontynuacja
7.1
Zadania
Zadanie 7.53. Oblicz wyznaczniki:
a.
b.
c.
d.
1
0
0
0
0
1
5
4
3
2
1
4
0
4
7
1
9
−5
0
0
0
3
1
2
5
1
2
3
4
100
2
2
0
0
4
1
2
3
23
67
2
22
1
29
24
345
3
0
3
3
0 −1
0
0 3
0
3453 345
6786 678
9129 912
2
2
4
2
9
e. 8
7
4
4
3
3
3
2
8
f. 7
9
4
3
4
3
2
3
8
g. 7
9
3
2
3
4
3
4
1
2
h. 3
4
5
3
7
8
5
9
2
4
5
3
7
2
7
6
5
9
1
2
1
2
4
Zadanie 7.54. Oblicz macierze odwrotne do następujących macierzy (jeśli istnieją):
7 9
a. A =
4 5


−1
0
1
b. B = −4
3 −1
3 −1 −1


3
0
1
c. C =  3
1
3
−4
0 −2

−3

d. D =
5
3

cos α

e. E =
0
− sin α
Zadanie 7.55. Rozwiąż równania:
2 5
x
x12
1
· 11
=
1 3
x21 x22
0
−3
8
x
2
b.
· 1 =
−1
2
x2
0
3
4

x11

c. x21
x31
 
2
1


3 = 0
2
0
a.
x12
x22
x32
 
x13
2


x23 · 3
x33
4
−2
5
4
1
2
1
2
1
2

0
0
1
21

−2
4
3
0
1
0

sin α
0 
cos α
8
8.1
Przestrzeń liniowa, liniowa kombinacja wektorów, baza przestrzeni
liniowej (opracowano na podstawie BG „Elementy algebry liniowej t. I”)
Wprowadzenie teoretyczne
Definicja 8.1. Zbiór V z wyróżnionym elementem θ = θV ∈ V oraz z dwoma działaniami:
+ : V × V → V — dodawania elementów V,
• : K × V → V — mnożenia elementów V przez elementy K,
nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K (lub przestrzenią wektorową nad ciałem K), jeśli
spełnione są następujące warunki:
1. (V, +, θ) jest grupą abelową z elementem neutralnym θ,
2. α • (v + w) = α • v + α • w, (α + β) • v = α • v + β • v,
3. α • (β • v) = (αβ) • v,
4. 1 • v = v.
Równości z dodpunktów 2. – 4. zachodzą dla wszystkich v, w ∈ V oraz α, β ∈ K. Elementy przestrzeni liniowej
nazywamy wektorami. Elementy ciała K nazywamy skalarami.
Definicja 8.2.
1. Układem wektorów przestrzeni liniowej V o wskaźnikach ze zbioru T nazywamy każdą funkcję
v : T → V . Wartość funkcji v na elemencie t ∈ T oznaczamy vt . Układ wektorów będziemy zapisywać
w postaci (vt )t∈T .
2. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Niech będzie dany układ wektorów S = (v1 , v2 , . . . , vm )
z V oraz układ skalarów (α1 , α2 , . . . , αm ) z K. Wektor:
v = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αm vm =
m
X
αi vi
i=1
nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S. Skalary αi nazywamy współczynnikami tej
kombinacji.
Liniową kombinację wektorów można zdefiniować dla dowolnego układu wektorów S = (vt )t∈T , gdzie T jest
pewnym niekoniecznie skończonym zbiorem wskaźników. Należy jednak pamiętać, że po to, aby wyrażenie:
X
αt vt
t∈T
miało sens, trzeba założyć, że αt = 0 dla prawie wszystkich t ∈ T .
3. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Niech S = (vt )t∈T będzie pewnym układem wektorów
Q
z V . Weźmy układ skalarów (αt )t∈T ∈ t∈T K, taki że αt = 0 dla prawie wszystkich t ∈ T . Wektor:
v=
X
αt vt
t∈T
nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S. Skalary αt nazywamy współczynnikami tej
kombinacji.
22
4. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Mówimy, że wektory układu S = (v1 , v2 , . . . , vm ) z
V rozpinają przestrzeń V , jeśli każdy wektor v ∈ V jest kombinacją liniową wektorów vi , dla i =
1, 2, . . . , m. Oznacza to, że każdy wektor v ∈ V można zapisać w postaci:
v = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αm vm
dla pewnych skalarów α1 , α2 , . . . , αm ∈ K.
5. Niech będzie dany układ wektorów (v1 , v2 , . . . , vm ) z przestrzeni V . Wtedy zbiór wszystkich kombinacji
liniowych:
L(v1 , v2 , . . . , vm ) = {α1 v1 + α2 v2 + . . . + αm vm : α1 , α2 , . . . , αm ∈ K}
wektorów v1 , v2 , . . . , vm nazywa się powłoką liniową układu wektorów (v1 , v2 , . . . , vm ).
6. Niech v1 , v2 , . . . , vm ∈ V będą wektorami przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Mówimy, że te wektory są
liniowo niezależne, gdy z równości:
α1 v1 + α2 v2 + . . . + αm vm = θV
wynika, że wszystkie współczynniki są równe zero:
α1 = α2 = . . . = αm = 0.
Mówimy, że wektory v1 , v2 , . . . , vm ∈ V są liniowo zależne, gdy nie są liniowo niezależne.
Twierdzenie 8.1. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Niech S = (v1 , v2 , . . . , vm ) będzie pewnym
układem wektorów z V . Niech będzie dany układ wektorów S0 = (vi1 , vi2 , . . . , vik ), gdzie vij dla 1 ≤ j ≤ k są
pewnymi wektorami układu S oraz liczby i1 , i2 , . . . , ik są parami różne. Wówczas:
1. Jeśli wektory z S są liniowo zależne, to jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.
2. Jeśli θV jest jednym z wektorów układu S, to układ S jest liniowo zależny.
3. Jeśli wektory układu S są liniowo niezależne, to wektory układu S0 są liniowo niezależne.
4. Jeśli wektory układu S0 są liniowo zależne, to wektory układu S są liniowo zależne.
Twierdzenie 8.2. Jeśli v1 , v2 , . . . , vn ∈ K m oraz n > m, to wektory v1 , v2 , . . . , vn są liniowo zależne.
Wniosek 8.2.1.
1. Każdy skończony układ liniowo niezależnych wektorów w K n składa się co najwyżej z n wektorów.
2. Kolumny macierzy A ∈ Mm,n (K) są wektorami liniowo zależnymi w K m wtedy i tylko wtedy, gdy równanie
macierzowe:
AX = θm
ma niezerowe rozwiązanie ze względu na X.
Twierdzenie 8.3. Niech v1 , v2 , . . . , vn ∈ K n będą pewnymi wektorami. Niech:
A = v1 v2 . . . vn ∈ Mn (K)
będzie macierzą, której kolumnami są wektory v1 , v2 , . . . , vn . Wtedy następujące warunki są równoważne:
1. Wektory v1 , v2 , . . . , vn są liniowo niezależne.
2. Układ równań liniowych AX = θn ma tylko jedno rozwiązanie w K n .
3. det A 6= 0.
Twierdzenie 8.4. Niech S = (v1 , v2 , . . . , vn ) będzie układem liniowo niezależnym w przestrzeni K n . Wtedy
każdy wektor w K n jest kombinacją liniową wektorów z układu S, tzn. S rozpina przestrzeń K n .
23
Definicja 8.3. Niech funkcje fi (x), i = 1, 2, . . . , n mają pochodne do rzędu n − 1 włącznie na przedziale (a, b).
Wyznacznik postaci:
f1 (x)
f2 (x)
...
fn (x) f 0 (x)
f20 (x)
...
fn0 (x) 1
W (x) = ..
..
..
..
.
.
.
.
(n−1)
(n−1)
(n−1)
f1
(x) f2
(x) . . . fn
(x)
nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego lub wrońskianem dla funkcji f1 , f2 , . . . , fn w punkcie x ∈ (a, b).
Twierdzenie 8.5. Jeśli funkcje f1 , f2 , . . . , fn są liniowo zależne na przedziale (a, b), to ich wrońskian jest
tożsamościowo równy zeru.
Wniosek 8.5.1. Jeśli dla pewnego x0 ∈ (a, b), W (x0 ) 6= 0, to funkcje f1 , f2 , . . . , fn są liniowo niezależne.
Definicja 8.4. Układ wektorów S = (vt )t∈T przestrzeni V nazywamy bazą przestrzeni V , jeśli są spełnione
następujące warunki:
1. Układ S jest liniowo niezależny.
2. Układ S rozpina przestrzeń V , tzn. V = L(S).
W szczególności, jeśli skończony układ wektorów S = (v1 , v2 , . . . , vn ) jest bazą przestrzeni V , to mówimy, że V
ma bazę skończoną.
Definicja 8.5. Niech dane będą dwa układy wektorów S1 = (vt )t∈T1 oraz S2 = (wt )t∈T2 przestrzeni V . Mówimy,
że układ S1 zawiera układ S2 , gdy T2 ⊂ T1 oraz wt = vt dla każdego t ∈ T2 . Zawieranie układów zapisujemy
S2 ⊂ S1 .
Twierdzenie 8.6. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech S = (vt )t∈T będzie danym układem
wektorów w V . Wtedy następujące warunki są równoważne:
1. Układ S jest bazą przestrzeni V .
2. Każdy wektor v ∈ V da się jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej wektorów:
X
v=
αt vt ,
t∈T
gdzie vt ∈ S i αt są prawie wszystkie równe zero.
3. S jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V ze względu na relację zawierania układów.
4. S jest minimalnym układem ze względu na relację zawierania układów, które rozpinają przestrzeń V .
Definicja 8.6. Niech S = (vt )t∈T będzie bazą przestrzeni liniowej V oraz niech v ∈ V .
1. Układ skalarów (αt )t∈T taki, że αt = 0 dla prawie wszystkich t ∈ T oraz taki, że:
X
v=
αt vt ,
t∈T
nazywamy współrzędnymi wektora v względem bazy S i oznaczamy symbolem hviS .
2. W szczególności, jeśli V ma bazę skończoną S = (v1 , v2 , . . . , vn ) oraz:
v = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αn vn ,
to współrzędne wektora v ∈ V względem bazy S zapisujemy jako wektor z K n w następujący sposób:
 
α1
 α2 
 
hviS =  .  .
 .. 
αn
24
Twierdzenie 8.7. Niech S = (v1 , v2 , . . . , vn ) oraz S2 = (wt )t∈T będą bazami przestrzeni liniowej V . Wówczas
baza S2 też jest skończona i składa się z n wektorów.
Definicja 8.7. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K.
1. Jeśli V ma skończoną bazę S, to mówimy, że V jest przestrzenią skończenie wymiarową.
2. Liczbę elementów bazy S przestrzeni skończenie wymiarowej V nazywamy wymiarem przestrzeni V
i oznaczamy symbolem dimK V .
3. Jeśli przestrzeń V nie ma skończonej bazy, to mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa.
Wniosek 8.7.1. Niech dimK V = n.
1. Jeśli S = (v1 , v2 , . . . , vm ) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V , to m ≤ n.
2. Jeśli S = (v1 , v2 , . . . , vn ) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V , to S jest bazą przestrzeni V .
Inne metody badania rzędu macierzy
Twierdzenie 8.8. Niech A ∈ Mn,m (K). Zachodzą następujące równości:
rz A = rz(AAT ) = rz(AT A).
Definicja 8.8. Minorem macierzy A nazywamy wyznacznik każdej macierzy kwadratowej, utworzonej z
macierzy A w wyniku skreślenia odpowiedniej liczby kolumn i odpowiedniej liczby wierszy. Stopień tego wyznacznika nazywamy stopniem minora.
Uwaga 1. Macierz A ∈ Mm,n (K) posiada minory k-tego stopnia dla każdego 1 ≤ k ≤ min(n, m).
Twierdzenie 8.9. Rząd macierzy A jest równy r wtedy i tylko wtedy, gdy:
1. istnieje niezerowy minor stopnia r macierzy A.
2. każdy minor macierzy A stopnia wyższego niż r (o ile taki istnieje) jest równy zeru.
Uwaga 2. Dla dowolnej macierzy A ∈ Mm,n (K) prawdziwa jest nierówność:
0 ≤ rz A ≤ min(n, m).
Różne/wybrane metody badania liniowej zależności układu wektorów w przestrzeni
liniowej K n nad ciałem K
Niech S = (v1 , v2 , . . . , vm ) będzie układem wektorów w przestrzeni K n , i niech
 
vi1
 vi2 
 
vi =  .  dla każdego i ∈ {1, 2, . . . , m}.
 .. 
vin
1. Jeśli m > n, to wektory v1 , v2 , . . . , vm są liniowo zależne.
2. Niech m ≤ n. Rząd macierzy A ∈ Mn,m (K) (A ∈ Mm,n (K)), której kolumnami (wierszami) są wektory
v1 , v2 , . . . , vm jest równy m wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są liniowo niezależne.


v11 v12 . . . v1n
 v21 v22 . . . v2n 


3. Niech m < n, A =  .
..
.. . Czyli A jest macierzą, której wierszami są wektory v1 , v2 , . . . , vm .
..
 ..
.
.
. 
vm1 vm2 . . . vmn
det(AAT ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v1 , v2 , . . . , vm są liniowo zależne.
25
8.2
Zadania
Zadanie 8.56. Sprawdzić, czy dany zbiór jest przestrzenią liniową:
a. zbiór Rn z dodawaniem i mnożeniem przez skalar po współrzędnych
b. zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych
c. zbiór macierzy Mmn (R) z dodawaniem i mnożeniem przez skalar
d. zbiór macierzy kwadratowych Mn (R) z mnożeniem i mnożeniem przez skalar
e. zbiór wielomianów stopnia co najwyżej n o współczynnikach rzeczywistych (ozn. Rn [X]) z dodawaniem
i mnożeniem przez skalar.
Zadanie 8.57. Sprawdzić, czy w przestrzeni V = K 4 nad ciałem K, prawdziwa jest przynależność :
a. K = R, (4, 6, 4, 5) ∈ L{(1, 4, 6, 5), (5, 6, 2, 4)};
b. K = R, (3, 1, 5, 0) ∈ L{(1, 4, 8, 7), (1, 5, −5, 4), (1, 6, 0, 7)};
c. K = Z7 , (1, 6, 5, 4) ∈ L{(2, 5, 3, 1)};
d. K = Z7 , (4, 5, 3, 6) ∈ L{(1, 3, 4, 6), (1, 5, 1, 5), (1, 4, 3, 1)};
Zadanie 8.58. Sprawdzić, czy dane wektory przestrzeni V są liniowo zależne:
a. V = R3 nad ciałem R, wektory: (3, −1, 2), (−9, 3, −6);
b. V = R3 nad ciałem R, wektory: (4, 4, 1), (1, 4, 4);
c. V = R3 nad ciałem R, wektory: (1, 0, −4), (5, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 8);
d. V = Z35 nad ciałem Z5 , wektory: (1, 1, 0), (4, 3, 1), (1, 4, 2);
e. V = CR nad ciałem R, wektory: 1, sin x, cos x;
f. V = CR nad ciałem R, wektory: 1, 2x , 3x , 6x ;
g. V = C(0,∞) nad ciałem R, wektory: log x, log 2x, log 3x;
Zadanie 8.59. Sprawdź, czy wektory {(1, 0, −1), (1, 1, 3), (4, 1, 1)} tworzą bazę przestrzeni R3 .
Zadanie 8.60. Wyznacz jedną z baz przestrzeni W nad ciałem R, gdzie:
a. W = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : 2x1 + 3x2 + 4x4 = 0, 4x1 + 2x2 + 3x3 = 0
b. W = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : 2x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 0, x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 0, 4x1 + 4x2 + 2x3 + 4x4 = 0
c. W = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 + 3x2 + 9x3 − 6x4 = 0, x1 + 7x2 + x3 − 2x4 = 0 2x1 + x2 + 7x3 − 5x4 = 0
Zadanie 8.61. Zbadaj dla jakich x ∈ R trójka wektorów tworzy bazę R3
a. (x, 4, 1), (x, 1, −2), (5, x, 2)
b. (1, 3, 4), (2, 1, 5), (1, 8, x)
c. (3, 1, 4), (2, 2, 5), (5, 4x, 7x)
26
9
Macierz przejścia z bazy do bazy, macierz przekształcenia liniowego, wartości własne, wektory własne, diagonalizacja macierzy
9.1
Wprowadzenie teoretyczne
W poniższym opracowaniu:
K oznaczać będzie dowolne ciało,
V /K oznaczać będzie przestrzeń liniową V nad ciałem K.
9.1.1
Macierz przejścia z bazy do bazy
Definicja 9.1. Niech V /K będzie przestrzenią n-wymiarową (tzn. każda baza tej przestrzeni składa się z n
wektorów), niech B1 , B2 będą dwoma bazami tej przestrzeni.
B1 = (v1 , . . . , vn )
B2 = (w1 , . . . , wn ).
Zapisujemy wektory bazy B1 za pomocą wektorów bazy B2 , jako kombinacje liniowe:
v1 = a11 w1 + a21 w2 + . . . + an1 wn
v2 = a12 w1 + a22 w2 + . . . + an2 wn
..
.
vn = a1n w1 + a2n w2 + . . . + ann wn
i zapisujemy współrzędne wektora vi w bazie B2 , w i-tej kolumnie macierzy A dla i = {1, 2, . . . , n}:
a11
 a21

A= .
 ..
an1

a12
a22
..
.
an2
...
...
..
.
...

a1n
a2n 

.. 
. 
ann
Powyższa macierz nazywa się macierzą przejścia z bazy B1 do B2 .
Fakt 9.1.
1. Jeśli A jest macierzą przejścia z bazy B1 do bazy B2 , to macierz A−1 jest macierzą przejścia z bazy B2
do B1 .
2. Jeśli A jest macierzą przejścia z bazy B1 do bazy B2 , B jest macierzą przejścia z bazy B2 do B3 , to BA
jest macierzą przejścia z bazy B1 do B3 .
Ilustracja:
B1 A B2 B B3
B·A
Uwaga 3. Niech V /K będzie dowolną przestrzenią liniową skończenie wymiarową oraz B 0 , B 00 będą dwoma
bazami tej przestrzeni. Niech v ∈ V będzie dowolnym wektorem. Niech ponadto M będzie macierzą przejścia z
bazy B 0 do B 00 . Współrzędne wektora v względem bazy B 0 i współrzędne względem bazy B 00 spełniają równanie:
hviB 00 = M hviB 0
27
(9.1)
9.1.2
Macierz przekształcenia liniowego
Definicja 9.2. Niech V , W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Mówimy, że funkcja T : V → W
jest przekształceniem liniowym, gdy spełnia następujące warunki:
1. T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) dla każdego v1 , v2 ∈ V ,
2. T (αv) = αT (v) dla każdego skalara α ∈ K i każdego wektora v ∈ V .
Jeśli V = W , to przekształcenie liniowe T nazywamy operatorem liniowym przestrzeni V lub endomorfizmem liniowym przestrzeni V .
Definicja 9.3. Niech będą dane przestrzenie liniowe V i W nad ciałem K, których wymiarami są odpowiednio
n i m. Niech T : V → W będzie przekształceniem liniowym. W przestrzeni V wybieramy bazę:
BV = (v1 , v2 , . . . , vn ),
a w przestrzeni W ustalamy bazę:
BW = (w1 , w2 , . . . , wm ).
Obrazy wektorów bazy BV przy przekształceniu T zapisujemy w postaci kombinacji liniowych wektorów bazy
BW ze współczynnikami aij ∈ K:
T (v1 ) =
T (v2 ) =
...
T (vn ) =
a11 w1 + a21 w2 + . . . + am1 wm
a12 w1 + a22 w2 + . . . + am2 wm
.
(9.2)
a1n w1 + a2n w2 + . . . + amn wm
Macierz AT ∈ Mm,n (K):
a11
 a21

 .
 ..
am1

a12
a22
..
.
am2
...
...
..
.
...

a1n
a2n 

..  ,
. 
amn
której kolumnami są współrzędne wektorów T (vi ) w bazie BW , uzyskane z równań (9.2), nazywa się macierzą
przekształcenia T w bazach BV i BW .
Uwaga 4. Jeśli AT jest macierzą przekształcenia liniowego T : V → W w bazach BV , BW oraz AS jest macierzą
przekształcenia liniowego S : W → Z w bazach BW , BZ , to:
AS◦T = AS · AT
jest macierzą przekształcenia liniowego S ◦ T w bazach BV , BW .
Ilustracja:
T
S
V
W
Z
S◦T
Twierdzenie 9.1. Niech T : V → W będzie przekształceniem liniowym. Niech BV = (v1 , v2 , . . . , vn ), BW =
(w1 , w2 , . . . , wm ) będą bazami przestrzeni V i W odpowiednio. Niech AT będzie macierzą przekształcenia T w
bazach BV , BW . Niech v ∈ V będzie dowolnym wektorem. Wówczas zachodzi następujący wzór na współrzędne
wektora T (v) w bazie BW :
hT (v)iBW = AT · hviBV .
(9.3)
Twierdzenie 9.2. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Niech S = (v1 , v2 , v . . . , vn ) i S 0 =
(w1 , w2 , . . . , wn ) będą bazami przestrzeni V . Wtedy macierz przejścia A od bazy S do bazy S 0 jest równa macierzy
przekształcenia identycznościowego IdV : V → V w bazach S i S 0 .
28
9.1.3
Wektory własne, wartości własne i przestrzenie własne
Definicja 9.4. Niech A ∈ Mn,n (K).
1. Niezerowy wektor v ∈ K n nazywamy wektorem własnym macierzy A, gdy istnieje taki skalar λ ∈ K,
że:
Av = λv.
Skalar λ nazywamy wartością własną macierzy A odpowiadającą wektorowi v.
2. Macierz A − tIn o współczynnikach w pierścieniu wielomianów K[t] nazywamy macierzą charakterystyczną macierzy A.
3. Równanie det(A − tIn ) = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A.
4. Wielomian fA (t) = det(tIn − A) = (−1)n det(A − tIn ) ∈ K[t] nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.
5. Załóżmy, że wielomian charakterystyczny fA (t) ma k-krotny pierwiastek w ciele K, tzn.:
fA (t) = (t − λ)k g(t),
gdzie g(t) ∈ K[t] oraz g(λ) 6= 0. Wtedy liczbę k nazywamy krotnością algebraiczną wartości własnej
λ.
Definicja 9.5. Niech T : V → V będzie przekształceniem liniowym określonym na skończenie wymiarowej
przestrzeni liniowej nad ciałem K.
1. Niezerowy wektor v ∈ V nazywamy wektorem własnym przekształcenia T , jeśli istnieje skalar λ ∈ K
taki, że:
T (v) = λv.
Skalar taki nazywamy wartością własną przekształcenia T , która odpowiada wektorowi v.
2. Niech λ ∈ K będzie wartością własną przekształcenia liniowego T .
a. Zbiór Vλ = {v ∈ V : T (v) = λv} nazywamy przestrzenią własną przekształcenia T odpowiadającą wartości własnej λ.
b. Liczbę dimK Vλ nazywamy krotnością geometryczną wartości własnej λ przekształcenia T .
Definicja 9.6. Śladem macierzy A = [aij ] ∈ Mn (K) nazywamy skalar:
tr A = a11 + a22 + . . . + ann ∈ K.
Fakt 9.2. Niech A ∈ Mn (K) oraz λ1 , λ2 , . . . , λn będą wartościami własnymi macierzy A. Wówczas zachodzą
następujące równości:
n
n
X
Y
tr A =
λi
oraz
det A =
λi .
i=1
9.1.4
i=1
Diagonalizacja macierzy
Definicja 9.7. Niech dana będzie macierz A ∈ Mn (K). Mówimy, że A da się sprowadzić do postaci
diagonalnej, gdy istnieje B ∈ GLn (K) taka, że:
B −1 AB jest macierzą diagonalną.
Twierdzenie 9.3. Niech A ∈ Mn (K) będzie macierzą, która ma n różnych wartości własnych λ1 , λ2 , . . . , λn ∈
K. Załóżmy, że dane są wektory własne v1 , v2 , . . . , vn ∈ K n macierzy A takie, że Avi = λi vi dla 1 ≤ i ≤ n.
1. Wówczas układ S = (v1 , v2 , . . . , vn ) stanowi bazę przestrzeni K n .
29
2. Niech B = v1 v2 . . . vn ∈ Mn (K) oznacza macierz utworzoną ze współrzędnych wektorów własnych
vi (współrzędne wektora vi wpisujemy do i-tej kolumny macierzy B). Wtedy:
B −1 AB = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ).
W szczególności macierz A da się sprowadzić do postaci diagonalnej.
30
9.2
Zadania
Zadanie 9.62. Niech
    
1
0
−1
B1 = −2 ,  1  ,  2 
0
−1
1
     
0
0
1
B0 = 0 , 1 , 0
1
0
0

będą danymi bazami przestrzeni R3 . Wyznaczyć macierz przejścia z bazy B1 do B0 .
Zadanie 9.63. Niech
    
1
0
−1
B1 = −2 ,  1  ,  2 
0
−1
1
     
−2
0
1
B2 =  0  ,  1  , −1
2
1
−1

będą danymi bazami przestrzeni R3 . Wyznaczyć macierz przejścia z bazy B1 do B2 .
Zadanie 9.64. Wyznacz współrzędne wektora:


1
a. v = −2
0
 
0

b. v = 1
2
w bazie B2 z Zadania 9.63..
Zadanie 9.65. Niech ϕ : R3 → R2 , ψ : R2 → R3 będą przekształceniami liniowymi danymi wzorami:
 
x1
4x1 + 3x2 + x3
ϕ x2  =
,
5x1 + 4x2 + 2x3
x3


3x1 − x2
x1
ψ
= 5x1 − 3x2  .
x2
7x1 − 5x2
Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego ϕ, ψ, ϕ ◦ ψ, ψ ◦ ϕ.
Zadanie 9.66. Przekształcenie liniowe ϕ : R2 → R3 określone jest przez macierz Aϕ w bazach standardo     
1
0
0
1
0
3
2






,
, B0 =
wych B0 =
0 , 1 , 0. Znaleźć wzór:
0
1
0
0
1
ϕ
x1
x2

4
, jeśli Aϕ = 3
2
31

7
6 .
5
Zadanie 9.67. Przekształcenie liniowe ϕ : R2 → R2 określone jest przez macierz Aϕ w bazach
5
11
B1 =
,
,
1
2
1
4
B2 =
,
.
1
3
Znaleźć wzór:
ϕ
x1
x2
−7
, jeśli Aϕ =
3
−8
.
5
Zadanie 9.68. Niech T : R3 → R3 będzie przekształceniem liniowym danym wzorem:
  

x1
x1 − x2 + x3
T x2  =  x1 + x2 − x3  .
x3
−x1 + x2 + x3

    
     
1
0
1
0
1
0
Wyznaczyć macierz przekształcenia T w bazach B1 =  0 ,  1 , 1, B2 = 2 , 2 , 0.
−1
−1
0
0
0
2
Zadanie 9.69.
Niech T : R2 → R2 będzie przekształceniem liniowym (endomorfizmem). Wyznaczyć
wartości własne przekształcenia T oraz przestrzenie własne, gdzie:
x1
x + 4x2
T
= 1
.
x2
x1 + x2
Zadanie 9.70.
Niech T : R3 → R3 będzie przekształceniem liniowym (endomorfizmem). Wyznaczyć
wartości własne, wektory własne i przestrzenie własne przekształcenia T , gdzie:
  

x1
2x1 − x2 − x3
T x2  =  x2 + x3  .
x3
5x3
Zadanie 9.71. Obliczyć wartości własne, wektory własne, krotność algebraiczną i geometryczną dla każdej
wartości własnej macierzy:

3
A = 2
4
2
0
2

4
2 .
3
Zadanie 9.72. Niech A ∈ Mn (R).
a. Niech n = 5. Niech 2+i, 1, 3 będą wartościami własnymi macierzy A oraz tr A = 7. Wyznaczyć pozostałe
wartości własne macierzy A.
b. Niech n = 6. Niech i, 4 − 2i, 2 będą wartościami własnymi macierzy A oraz det A = 20. Wyznaczyć
pozostałe wartości własne macierzy A.
c. Niech n = 8. Niech 3 − 5i, −8, −5 + 8i, 3, 3 będą wartościami własnymi macierzy A oraz tr A = −6.
Czy macierz A jest macierzą odwracalną?
32
Zadanie 9.73. Sprowadzić macierz A do postaci diagonalnej, gdzie:
a. A jest macierzą z zadania 9.69..
b. A jest macierzą z zadania 9.70..
Zadanie 9.74. Obliczyć An dla macierzy z zadania 9.73., dla dowolnego n ∈ N.
33