Kolokwium z Analizy Matematycznej, 26 listopad 2001 Rząd I Zad. 1

Kolokwium z Analizy Matematycznej, 26 listopad 2001
Rząd I
Zad. 1. [2 p] Czy na prostej
{ (x, y) ∈ R2 :
√
2 · x + y = 0}
leży punkt (x0 , y0 ) ∈ Q2 (tj. o obu współrzędnych wymiernych) ?
Zad. 2. [2 p] Rozwiązać (formalnie, a nie graficznie) równanie:
| | |x + 1| − 1 | + 1 | = 5.
Zad. 3. [4 p] Znaleźć kres zbioru
inf
1
1
+
: n, m ∈ N
n m
.
Odpowiedź uzasadnić.
Zad. 4. Obliczyć granice:
a) [1p] lim
n→∞
1
1+
n
1
n
s
√
2
1
n
n n + 1
√
, b) [2p] lim · √
, c) [3p] lim
.
n→∞ n
n→∞
n3 + 1
n+2− n+1
Zad. 5. [4 p] Znaleźć przykład ciągu rozbieżnego (an )∞
n=1 takiego, że
Wskazówka:
∞
an+2
an+1 n=1
stanowi podciąg
∞
an+2
był rozbieżny?
an
n=1∞
ciągu an+1
.
an
n=1
Dlaczego nie można jednocześnie żądać, by
an+1 ∞
an
n=1
jest zbieżny.
Odpowiedź uzasadnić.
[6 - dst, 8 - dst +, 10 - db, 12 - db +, 14 - bdb; max=18]
Kolokwium z Analizy Matematycznej, 20 listopad 2001
Rząd II
Zad. 1. [2 p] Czy na paraboli
{ (x, y) ∈ R2 : x2 = 7y +
√
2}
leży punkt (x0 , y0 ) ∈ Q2 (tj. o obu współrzędnych wymiernych) ?
Zad. 2. [2 p] Rozwiązać (formalnie, a nie graficznie) równanie:
| | |x − 1| + 1 | − 1 | = 5.
Zad. 3. [4 p] Znaleźć kres zbioru
inf
n
2−n + 2−m : n, m ∈ N
o
.
Odpowiedź uzasadnić.
Zad. 4. Obliczyć granice:
1
n
a) [1p] lim (1 + n) , b) [2p] lim
n→∞
n→∞
√
3
n3 + 2 −
√
3
n3 + 1 , c) [3p] lim
n→∞
n2 + 1
n3 + 1
∞
!n
.
2
Zad. 5. [4 p] Znaleźć przykład ciągu rozbieżnego (an )∞
n=1 takiego, że (an )n=1 jest zbieżny.
Dlaczego nie można żądać, by limn→∞ an 2 = 0 ? Odpowiedź uzasadnić.
Wskazówka: |an | n→∞
→ 0 ⇒ an n→∞
→ 0.
[6 - dst, 8 - dst +, 10 - db, 12 - db +, 14 - bdb; max=18]
Zadanie nr
1
2
3
4 a)
4 b)
4 c)
5
Czas pracy
10 min
10 min
15 min
5 min
10 min
10 min
20 min
Zadanie nr
1
2
3
4 a)
4 b)
4 c)
5
Czas pracy
10 min
10 min
15 min
5 min
10 min
10 min
20 min