Złoty podział2

Harmonia i piękność
matematyki
Volodymyr Sushch
Wzór Eulera
Zasada złotego podziału
Teoria Fraktali
Wzór Eulera
Równość jest otrzymana ze wzoru Eulera
ix
e
podstawiając
= cos x + i sin x
Złoty podział
Złoty podział liczby
Złoty podział dla liczby a
tej liczby w postaci sumy
≠ 0
a=b+c
dwu składników
b , c,
takich, Ŝe
a b
=
b c
jest to przedstawienie
Złoty podział odcinka
Zloty podział odcinka jest to wewnętrzny podział tego
odcinka na dwie nierówne części tak, aby stosunek
długości odcinka a do jego większej części x był równy
stosunkowi części x do części mniejszej (a – x), tzn.
a
x
=
x a− x
czyli
x 2 + ax − a 2 = 0
Liczba ϕ (fi)
Liczba ϕ jest stałą, która wyraŜa stosunek dwóch części
odcinka podzielonego podziałem złotym:
a
5 +1
ϕ= =
x
2
ϕ ≈ 1,61803398...
1
= ϕ −1
ϕ
Ciąg Fibonacciego
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
KaŜdy jego wyraz z wyjątkiem dwóch pierwszych
powstaje poprzez dodanie do siebie dwóch wyrazów
poprzednich.
Liczba ϕ ma ścisły związek z ciągiem Fibonacciego.
Stosunek dwóch kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego
w miarę wzrastania ciągu jest coraz bliŜszy wartości ϕ,
np.
13
34
89
= 1,625,
= 1,619...,
= 1,618...,
8
21
55
Ciąg Fibonacciego ma liczne odpowiedniki w zjawiskach
przyrody, np. w biologii, w botanice.
Złoty prostokąt
Prostokąt, w którym stosunek boków wynosi ϕ
nazywamy złotym prostokątem.
Konstrukcja złotego prostokąta
Pentagram
Pentagram jest to pięciokąt foremny gwiaździsty
StaroŜytni Grecy uwaŜali złoty podział za idealną
proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze
Przykłady w architekturze
Panteon. Świątynia Ateny na Akropolu w Atenach,
zbudowana w latach 448-432 p.n.e. Fronton świątyni mieścił
się w złotym prostokącie, w którym stosunek boków wyraŜał
się liczbą złotą ϕ
Piramidy
Piramidy w Gizie. JeŜeli weźmiemy przekrój Wielkiej
Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany
Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej
(wysokości ściany bocznej) do podstawy (połowa
wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i róŜni się od liczby ϕ
tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku.
Inne przykłady
W ciele ludzkim zarówno cała postać, jak i wiele
poszczególnych części podlega prawom złotego cięcia.
Apollo Belwederski
| UI |
| AI |
| IE |
| AE |
| IO |
| UO |
1,618034
Linia I dzieli na dwie znamienne części całą postać w
"złotej proporcji", linia E wskazuje na tenŜe stosunek
głowy do górnej części tułowia, a linia O zaznacza
podział nóg w kolanach według złotego cięcia.
Kości dłoni
Proporcje złotego podziału widać na rysunku kości dłoni
D
C
C
B
B
A
1,618034
Liście
Zdumiewające, Ŝe zastosowanie złotego podziału
odnaleźć moŜna takŜe w świecie roślin. W ich układzie
na wspólnej gałązce moŜna odnaleźć zastosowanie
złotego cięcia. Między kaŜdymi dwiema parami listków
trzecia leŜy w miejscu złotego cięcia.
| AB |
| CB |
| CD |
| ED |
1,618034
Spirala Fibonacciego
Najbardziej efektownym przejawem istnienia złotej
proporcji w świecie zwierząt są zapewne muszle, których
kształt układa się zgodnie z przebiegiem tzw. Spirali
Fibonacciego.
Spirala Fibonacciego jest równieŜ zasadą wzrostu i
wyznacza kształt wielu roślin. Ilość prawo- i lewoskrętnych
spiral odpowiada liczbom ciągu Fibonacciego.
34 spirale w jedną i 55 spiral w drugą stronę
Stokrotka
Szyszka
Kalafior