Lista 4

Podstawy Teleinformatyki
Lista 4
Charakterystyki fazowe i amplitudowe
1
Wybrane własności szeregów Fouriera
1.1
Szeregi Fouriera funkcji okresowych
Szereg Fouriera przedstawiający pewną funkcję f (t) na dowolnym przedziale (t0 , t0 + T ) jest funkcją
okresową o okresie T . W związku z tym:
Twierdzenie 1 ‘Każdą’ funkcję okresową można przedstawić w przedziale nieograniczonym (−∞ <
t < ∞) za pomocą trygonometrycznego lub wykładniczego szeregu Fouriera.
W celu uzyskania takiego przedstawienia dla funkcji okresowej o okresie T , wystarczy wybrać dowolny
przedział długości T i obliczyć odpowiednie współczynniki szeregu Fouriera.
Zadanie 1.1 Udowodnij twierdzenie 1 dla wykładniczego szeregu Fouriera.
1.2
Szeregi Fouriera funkcji parzystych i nieparzystych
Niech f (t) = a0 + ∞
n=1 an cos nω0 t + bn sin nω0 t będzie przedstawione w formie szeregu Fouriera na
pewnym przedziale. Można udowodnić dwie własności:
P
Twierdzenie 2 Jeżeli funkcja f (t) jest parzysta, to dla każdego n > 0, bn = 0.
Twierdzenie 3 Jeżeli funkcja f (t) jest quasi-nieparzysta1 , to dla każdego n > 0, an = 0.
Z twierdzenia 2 wynika, iż przedstawienie funkcji parzystej w formie szeregu Fouriera wymaga jedynie
składowej stałej i składowych przy funkcjach cos nω0 t (czyli parzystych). Podobnie, przedstawienie
funkcji nieparzystej (twierdzenie 3) wymaga jedynie składowych sin nω0 t (czyli nieparzystych).
Powyższe twierdzenia upraszczają obliczanie parametrów trygonometrycznego szeregu Fouriera. Wystarczy sprawdzić czy funkcja jest parzysta, czy nieparzysta. Co więcej, szereg Fouriera wyznaczony
dla funkcji f (t) na przedziale [t1 , t2 ] jest funkcją okresową. Szereg w każdym okresie powtarzaja funkcję pierwotną f (t) z przedziału [t1 , t2 ]. W związku z tym wystarczy sprawdzić czy oczekiwany szereg
Fouriera będzie parzysty, czy nie. Na tej podstawie można stwierdzić, które parametry będą zerowe.
Zadanie 1.2 Bez obliczania parametrów a0 , an , bn stwierdź, które z nich będą zerowe dla funkcji:
a. f (t) =
at
2π
na t ∈ (0, 2π)
(funkcja piła)
1
Funkcja f (t) jest quasi-nieparzysta, jeżeli istnieje taki parametr c ∈ R, że funkcja f (t) + c jest nieparzysta. W
szczególności każda funkcja nieparzysta jest jednocześnie quasi-nieparzysta.
1
b. f (t) = a| sin(t)|
(
c. f (t) =
t+1
−t + 1
na okresie funkcji
dla −1 < t < 0
dla 0 ¬ t < 1
(wyprostowany przebieg sinusoidalny)
na t ∈ (−1, 1)
(funkcja trójkątna)
dla − 2δ ¬ t ¬ 2δ
dla − T2 < t < − 2δ (funkcja bramkowa o szerokości δ i okresie T )
dla − T2 < t < T2



a
d. f (t) = 0


0
Zadanie 1.3 Rozwiń w szereg Fouriera funkcje z zadania 1.2 traktując je jak funkcje okresowe.
1.3
Związek między trygonometrycznym i wykładniczym szeregiem Fouriera
∞
inω0 t
będą odpowiednio tryNiech f (t) = a0 + ∞
n=−∞ Fn e
n=1 an cos nω0 t + bn sin nω0 t oraz f (t) =
gonometrycznym oraz wykładniczym szeregiem Fouriera przedstawiającym funkcję f (t) na pewnym
przedziale. Można wykazać zależności pomiędzy parametrami obu szeregów:
P
P
Twierdzenie 4 Niech Fn będą parametrami wykładniczego szeregu Fouriera. Wtedy parametry odpowiadającego mu trygonometrycznego szeregu Fouriera wynoszą:
a0 = F0 ,
bn = i(Fn − F−n ),
an = Fn + F−n ,
n>0
Twierdzenie 5 Niech a0 , an , bn (n > 0) będą parametrami trygonometrycznego szeregu Fouriera.
Wtedy parametry odpowiadającego mu wykładniczego szeregu Fouriera wynoszą:
F 0 = a0 ,
1
Fn = (an − ibn ),
2
1
F−n = (an + ibn ),
2
n>0
Zadanie 1.4 Udowodnij twierdzenie 4 (nie wolno korzystać z tw. 5).
Zadanie 1.5 Parametry wykładniczego szeregu Fouriera funkcji f (t) = | sin t| wynoszą Fn =
Oblicz parametry trygonometrycznego szeregu Fouriera.
2
−2
.
π(4n2 −1)
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Przekształcenie funkcji do postaci szeregu Fouriera umożliwia jej analizę w dziedzinie częstotliwości
i fazy. Niech {Fn }n=...,−1,0,1,... będą współczynnikami wykładniczego szeregu Fouriera pewnej funkcji
f (t). W ogólności Fn jest liczbą zespoloną, którą można zapisać
jako: Fn = an + ibn lub w postaci
q
iθn
2
wykładniczej jako Fn = |Fn |e , gdzie Re(Fn ) = an , |Fn | = an + b2n oraz θn = arc tg abnn , θn ∈ [−π, π].
Definicja 1 Funkcję Ca (nω0 ) =
tudową funkcji f (t).
Re(Fn )
|Fn |
|Re(Fn )|
dla n = ..., −1, 0, 1, ... nazywamy charakterystyką ampli-
Wykres charakterystyki amplitudowej Ca jest wykresem słupkowym przedstawiającym wielkość poszczególnych składowych sygnału (funkcji f (t)) dla kolejnych częstości kołowych nω0 .
Definicja 2 Funkcję Cf (nω0 ) = θn dla n = ..., −1, 0, 1, ..., θn ∈ [−π, π] nazywamy charakterystyką
fazową funkcji f (t).
2
Wykres charakterystyki fazowej Cf jest wykresem słupkowym przedstawiającym wielkość przesunięcia w fazie dla poszczególnych składowych sygnału (funkcji f (t)).
Przykład Niech f (t) = t. Funkcję przedstawiamy w formie wykładniczego szeregu Fouriera na przedziale [0, π]. Okres szeregu Fouriera równa się T = π, a częstość podstawowa ω0 = 2. Współczynniki
i
wykładniczego szeregu Fouriera wynoszą: F0 = 12 oraz Fn = 2nπ
2 dla n 6= 0.
Postać wykładnicza Fn wynosi:
F0 = 12 ei0
1
i π2
Fn = 2nπ
2e
1
−i π2
Fn = − 2nπ
2e
dla n > 0
dla n < 0
Podstawiając pod n kolejne liczby całkowite otrzymujemy charakterystykę amplitudową:
1
1
1
Ca (0) = , Ca (ω0 ) = Ca (2) = Ca (−2) = 2 , Ca (2ω0 ) = Ca (4) = Ca (−4) = 2
2
4π
6π
Z kolei charakterystyka fazowa jest kątem przy eksponencie i wynosi:
π
π
Cf (0) = 0, Cf (2) = Cf (4) = Cf (6) = , Cf (−2) = Cf (−4) = Cf (−6) = −
2
2
Rysunek 1: Charakterystyka amplitudowa Ca i fazowa Cf dla funkcji z przykładu
Zadanie 2.1 Narysuj charakterystyki amplitudowo-fazowe szeregów Fouriera funkcji:
a. f (t) = at na przedziale (0, 1),
b. f (t) = | sin t|, Fn =
(
c. f (t) =
1
−1
F0 = a2 , Fn =
ia
2nπ
dla n 6= 0
−2
π(4n2 −1)
dla 0 < t < 12
w przedziale (0, 1),
dla 12 ¬ t < 1
F2n = 0, F2n+1 =
2
iπ(2n+1)
Zadanie 2.2 Narysuj charakterystyki amplitudowo-fazowe funkcji z zadania 1.2.
Twierdzenie 6 Charakterystyka amplitudowa jest zawsze funkcją parzystą.
Twierdzenie 7 Charakterystyka fazowa jest zawsze funkcją nieparzystą.
Zadanie 2.3 Udowodnij twierdzenie 6.
3