Wykład3 - Politechnika Białostocka

Zmienna losowa ciągła
METODY PROBABILISTYCZNE
I STATYSTYKA
WYKŁAD 3: ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA
Zmienna losowa X przyjmująca wartości z
pewnego przedziału (lub przedziałów), dla
której istnieje nieujemna funkcja f taka, że
dystrybuantę F zmiennej losowej X można
przedstawić w postaci:
Małgorzata Krętowska
x
F ( x) =
Wydział Informatyki
∫ f (t )dt
dla x∈R
−∞
Politechnika Białostocka
nazywamy zmienną losową ciągłą, a funkcję f jej
gęstością.
Jeżeli x jest punktem ciągłości f, to F’(x)=f(x).
Pole powierzchni pod krzywą f(x) jest równe 1
b
P (a < X < b) = ∫ f ( x)dx
+∞
a
∫ f ( x)dx = 1
P(a<X<b)
P ( a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b)
−∞
pole powierzchni
pod krzywa f(x)=1
y=f(x)
Własności funkcji gęstości (2)
y=f(x)
Własności funkcji gęstości (1)
0
0
x
a
Dla zmiennej ciągłej: P( X=c )=0 !!!!!
b
Własności dystrybuanty
Rozkłady zmiennej losowej ciągłej
P(a<X<b)=F(b)-F(a)
Rozkład równomierny (jednostajny,
prostokątny) w przedziale <a,b>
F(x)
 1

f ( x) =  b − a
 0
1
F(b)
w p. p.
f(x)
P(a<X<b)=F(b)-F(a)
F(a)
1/(b-a)
dla a < x ≤ b
x>b
dla
1.0
F(a)=P(X<a)
F(b)=P(X<b)
a
b
a
Rozkłady zmiennej losowej ciągłej
x≤a
dla
F(x)
1
 x
 exp −  dla
f ( x) =  λ
 λ

0
dla
x≥0
x<0

 x
1 − exp −  dla
F ( x) = 
 λ

dla
0
x>0
x≤0
a
Rozkład gamma
0


f ( x) =  a p p −1 − ax
x e
 Γ( p )
b
0.50
dla
x≤0
dla
x>0
F(x)
f(x)
x
Rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Rozkład wykładniczy
b
f(x)
0
 0
x −a
F ( x) = 
b − a
 1
dla a ≤ x ≤ b
a=0.5 p=1
a=0.5 p=2
a=0.5 p=4
0.25
0.00
1
0
gdzie a>0; p>0
Funkcja gamma Eulera:
1/λ
+∞
Γ( p ) =
∫x
2
4
6
10
a=0.5 p=2
a=1 p=2
a=2 p=2
0.6
p −1 − x
e dx
8
x
0.8
f(x)
0.4
0
0
x
0
x
Własności:
Γ(n)=(n-1)!
Γ(0.5) = √π
0.2
0.0
0
2
4
6
x
8
10
x
Rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Przypadki szczególne rozkładu gamma:
Rozkład normalny (Gaussa, gaussowski) - N(µ, σ)
p=1 => rozkład wykładniczy (λ = 1/a)
f ( x) =
 (x − µ )2 
1
 dla
exp −
2

2
σ
σ 2π


x∈R
p = n, n∈N => rozkład Erlanga z parametrami
niλ
p=0.5n, a=0.5 => rozkład χ2 (chi-kwadrat) z n
stopniami swobody
Rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Parametry rozkładu:
µ - parametr przesunięcia
σ - parametr skali
Rozkłady zmiennej losowej ciągłej
f(x)
1/(σ√2π)
Standaryzowany rozkład normalny N(0,1)
f ( x) =
N(µ,σ)
 x2 
1
exp −  dla
2π
 2
x∈R
f(x) - N(0,1)
1/(√2π)
0
µ-σ
µ
µ+σ
Własności wykresu rozkładu normalnego:
Wykres symetryczny względem x=µ
maksimum dla x=µ
µ-σ; µ+σ - punkty przegięcia
x
-1
0
1
x
Rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Dowolną zmienną X o rozkładzie N(µ, σ) można
przekształcić w zmienną Y o rozkładzie N(0,1) standaryzacja
Twierdzenia o dodawaniu
Suma n niezależnych zmiennych losowych X1, X2, ...Xn o rozkładach
Poissona odpowiednio z parametrami λ1, λ2, ..., λn ma rozkład
Poissona o parametrze λ= λ1+ λ2+ ...+ λn
X ma rozklad N (µ , σ ) ⇒
X −µ
Y=
ma rozklad N (0,1)
σ
Rozkład Poissona
Rozkład normalny
Suma n niezależnych zmiennych losowych X1, X2, ...Xn o rozkładach
normalnych odpowiednio N(µk, σk), k=1,2, ..., n ma rozkład normalny
 n
N  ∑ µk ,
 k =1

n
∑σ
k =1
2
k




Rozkład Gamma
Suma n niezależnych zmiennych losowych X1, X2, ...Xn o rozkładach
gamma odpowiednio z parametrami a i pk, k=1,2,.., n, ma rozkład
gamma z parametrami a i p=p1+p2+...+pn.