metody przybliżone

Dynamika – Drgania własne – Rama, Metody przybliżone
1/5
Dynamika - Metoda Sił
Wyznaczyć częstotliwości drgań własnych ramy jak na rysunku.
Narysować odpowiadające im postaci drgań
2m
m
1
6m
2
EJ = const.
4m
Układ posiada dwa dynamiczne stopnie swobody
1
4
M1
1
M2
6
Opracowanie P.K, A.B.
Dynamika – Drgania własne – Rama, Metody przybliżone
2/5
Całkując graficznie odpowiednie wykresy momentów jednostkowych,
otrzymamy:
δ 11 =
1
EJ
1
 117,333
 3 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 ⋅ 6 = EJ ;
δ 22 =
1
EJ
 72
1
 3 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = EJ ;
δ 12 =
1
EJ
 72
1
 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 6 = EJ ;
Następnie budujemy równie wiekowe (sekularne)
 δ11 δ12  m
0  λ 0  
⋅


 − 0 λ  = 0 ,
δ
δ
0
2
+
m
m

 
22  
  21
gdzie
 δ11 ⋅ m δ12 ⋅ 3m  λ 0  

 − 0 λ  = 0
⋅
⋅
3
δ
δ
m
m

22
 
  21
m
 EJ ⋅117,333 − λ

m

⋅ 72
EJ

Podstawiamy
m

⋅ 216 
EJ
=0
m
⋅ 216 − λ 
EJ

m
⋅ 72 = A uzyskując
EJ
3⋅ A 
1,629 ⋅ A − λ
=0

A
3 ⋅ A − λ 

Obliczając wyznacznik macierzy dostaniemy:
λ2 − 4,629 ⋅ A ⋅ λ + 1,887 ⋅ A2 = 0 ,
I dalej
∆ = 13,8796 ⋅ A 2
Stąd:
λ1 = 4,1773 ⋅ A
λ2 = 0,45173 ⋅ A
Opracowanie P.K, A.B.
λ=
1
ω2
Dynamika – Drgania własne – Rama, Metody przybliżone
3/5
Następnie wyliczamy częstości drgań własnych
1
ω1
2
= 4,1773 ⋅ 72 ⋅
ω1 = 0,05766
f1 =
m
EJ
1
ω2
EJ
m
= 0,45173 ⋅ 72 ⋅
ω 2 = 0,1753
ω1
2π
f1 = 9,177 ⋅ 10 −3
2
f2 =
EJ
m
m
EJ
EJ
m
ω2
2π
f 2 = 2,791 ⋅ 10 −2
EJ
m
Przykładowo przyjmując następujące dane liczbowe (dwuteownik IPE-180)
EI =3234kNm2, m=1500kg otrzymamy:
(kliknij aby zobaczyć obliczenia z programu MathCad)
rad
s
f1 = 0,413Hz
rad
s
f1 = 1,257 Hz
ω1 = 2,598
ω 2 = 7,897
Obliczenie amplitud przemieszczenia
Przyjmując jedną z amplitud jako jednostkową (q1 = 1) drugą wyliczamy z
równania.
Pierwsza postać drgań
Druga postać drgań
λ1 = 4,1773 ⋅ A
λ2 = 0,45173 ⋅ A
A ⋅ [−2,5483 ⋅ q1 + 3 ⋅ q2 ] = 0
A ⋅ [1,17727 ⋅ q1 + 3 ⋅ q2 ] = 0
q1 = 1 ⇒ q2 = 0,849
q1 = 1 ⇒ q2 = −0,392
Opracowanie P.K, A.B.
Dynamika – Drgania własne – Rama, Metody przybliżone
Kliknij obrazek, aby zobaczyć animację
Warunek ortogonalności
m1 ⋅ q11 ⋅ q12 + m2 ⋅ q12 ⋅ q22 = 0
m ⋅1⋅1 + 3m ⋅ 0.849 ⋅ (−0.392) = 0
Metody przybliżone (energetyczne)
•
Metoda Dunkerlay’a
ωD =
1
n
∑ m ⋅δ
i =1
ωD =
i
ii
1
m1 ⋅ δ 11 + m2 ⋅ δ 22
ω D = 0.254
rad
s
Opracowanie P.K, A.B.
4/5
Dynamika – Drgania własne – Rama, Metody przybliżone
•
5/5
Metoda Rayleigh’a
ωR =
E Pmax
E K max
n
ωR =
∑P ⋅ y
i =1
i
i
ωR =
n
∑ mi ⋅ yi2
P1 ⋅ y1 + P2 ⋅ y 2
m1 ⋅ y12 + m2 ⋅ y 22
i =1
P1, P2 liczbowo odpowiadają masom a y1, y2 liczymy z następujących
zależności
y1 = P1 ⋅ δ 11 + P2 ⋅ δ 12
y 2 = P1 ⋅ δ 21 + P2 ⋅ δ 22
ωR = 0.268
ω D = 0.254
rad
s
rad
rad
rad
≤ ω D = 0.268
≤ ω R = 0.268
s
s
s
Opracowanie P.K, A.B.