Wykład 7.

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-1-
Dyskretne przekształcenie Fouriera – cz. 2
Twierdzenie o przesunięciu
Istnieje ważna właściwość DFT, znana jako twierdzenie o przesunięciu. Mówi ono, że:
przesunięcie w czasie okresowego ciągu wejściowego x(n)
powoduje stałe przesunięcie fazowe DFT.
Jeśli zdecydujemy się próbkować x(n) począwszy od n równego pewnej wartości k, w
przeciwieństwie do n = 0, to DFT tych przesuniętych w czasie wartości próbek stanowi
X k ( m ) = e j 2π km / N X ( m )
(1)
Z równania (1) widać, że jeśli punkt, w którym rozpoczynamy próbkowanie x(n) jest przesunięty
w prawo o k próbek, to wyjściowe widmo Xk(m) DFT wyraża się jako X(m), o każdym
zespolonym składniku X(m) przemnożonym przez liniowe przesunięcie fazowe e j 2πkm / N , które
jest przesunięciem fazy o 2πkm/N
Na odwrót, jeśli punkt, w którym rozpoczynamy próbkowanie x(n) jest przesunięty w lewo o k
próbek, to widmo Xk(m) wyraża się jako X(m) przemnożone przez e − j 2πkm / N
Przykład 2 ( patrz poprzedni przykład 1 DFT )
Dokonaliśmy próbkowania sygnału wejściowego z przykładu poprzedniego DFT
x ( t ) = sin ( 2π ⋅1000 ⋅ t ) + 12 sin ( 2π ⋅ 2000 ⋅ t + 34π )
z opóźnieniem o k = 3 próbki.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-2-
Na rysunku 1 pokazano oryginalną wejściową funkcję czasu
Rysunek 1. Próbkowanie sygnału x(t) w obu przykładach
Nowy, przesunięty ciąg x(n) stanowi wartości reprezentowane grubymi czarnymi kropkami na
rys. 1., których wartości to:
x(0) =1,0607,
x(l) =0,3535 ,
x(2) = - 1,0607,
x(3) = - 1,3535,
x(4) = - 0,3535,
x(5) = 0,3535,
x(6) = 0,3535,
x(7) = 0,6464
Wyznaczając DFT ciągu , Xk(m) ma postać:
m amplituda faza część rzeczywista część urojona
0
0
0
0
0
1
4
+45
2,8284
2,8284
2
2
-45
1,4141
-1,4141
3
0
0
0
0
4
0
0
0
0
5
0
0
0
0
6
2
+45
1,4141
-1,4141
7
4
-45
2,8284
-2,8284
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-3-
Rysunek 2. Wyniki DFT z przykładu 2: (a) moduł Xk(m), (b) faza Xk(m), (c) część rzeczywista
Xk(m), (d) część urojona Xk(m).
Z obliczeń wynika, że amplituda Xk(m) jest nie zmieniona względem amplitudy X(m).
Amplituda DFT względem oryginalnego sygnału okresowego nie uległa zmianie chociaż
próbkowaliśmy sygnał w innym przedziale.
Jednak, faza DFT zmienia się w zależności od chwili, w której zaczęliśmy próbkować sygnał
x(n).
Patrząc na składową DFT Xk(m), odpowiadającą m = 1 sprawdzimy wartości fazy sygnału
przesuniętego:
Pamiętając, że X(1) z przykładu 1 DFT miała amplitudę 4 przy kącie fazowym —90 mamy dla
k = 3 oraz N = 8:
X k (1) = e
j 2πk
m
N
⋅ X (1) = e
j 2π
3
8
⋅ 4e
−j
π
2
= 4e
j
π
4
Zatem Xk(m) ma amplitudę równą 4 i kąt fazowy +45o.
(2)
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-4-
Odwrotne dyskretne przekształcenie Fouriera
Wprowadzimy pojęcie odwrotnego dyskretnego przekształcenia Fouriera (ang. Inverse Discrete
Fourier Transform — IDEF). DFT traktujemy zazwyczaj jako przetransformowanie danych z
dziedziny czasu w ich reprezentację w dziedzinie częstotliwości. Możemy również odwrócić ten
proces i otrzymać oryginalny sygnał w dziedzinie czasu przez przeprowadzenie IDFT na
wartościach X(m) w dziedzinie częstotliwości.
Wyrażeniami standardowymi dla IDFT są
x (n) =
1
N
N −1
∑ X ( m) e
j 2π mn / N
(3)
m =1
i jednocześnie
x (n) =
1
N
N −1


n

n 
∑ X ( m ) cos  2π m N  + j sin  2π m N  
(4)
m =1
Sygnał dyskretny w dziedzinie czasu można traktować jako sumę
składowych sinusoidalnych o różnych częstotliwościach a wartości X(m)
DFT tworzą zbiór N wartości zespolonych, określających amplitudę i fazę
każdej ze składowych tworzących tę sumę. *
*)Równania (3) i (4) są wyrażeniami matematycznymi tego stwierdzenia.
Jeśli wyznaczymy IDFT wstawiając wyniki z przykładu 1 do równania (3), przejdziemy z
powrotem z dziedziny częstotliwości do dziedziny czasu i otrzymamy wartości próbek
oryginalnego sygnału x(n).
x[0]=0,3535, x[1]=0,3535, x[2]= 0,6464, x[3] = 1,0607, x[4]=0,3535,
x[5]=-1,0607, x[6] = -1,3535, x[7] = -0,3535
Zauważmy, że wyrażenie dla IDFT, określone równaniem (3), różni się od równania dla DFT
jedynie czynnikiem skalującym 1/N oraz zmianą znaku wykładnika.
Oprócz różnicy w skalowaniu wartości, wszystkie właściwości dotyczące DFT, jakimi dotąd
zajmowaliśmy się, stosują się również do IDEF.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-5-
Przeciek DFT
Poprzednie przykłady DFT przyniosły poprawne wyniki, ponieważ wejściowe ciągi x(n)
stanowiły starannie dobrane przebiegi sinusoidalne.
Jak się okazuje, DFT próbkowanych sygnałów rzeczywistych prowadzi do wyników w
dziedzinie częstotliwości, które mogą być mylące. Właściwość DFT, znana jako przeciek
widma, powoduje, że wyniki DFT stanowią jedynie aproksymację widma sygnałów
wejściowych poddanych próbkowaniu. Istnieją sposoby minimalizacji przecieku, nie można
jednak wyeliminować go całkowicie.
DFT ograniczają się do operowania na skończonych zbiorach N wartości wejściowych,
próbkowanych z częstotliwością fp, dając w wyniku N- punktową transformatę, której dyskretne
wartości wyjściowe są związane z kolejnymi częstotliwościami analizy fa
fa ( m ) =
mf p
N
;
m = 0,1, 2,..., N − 1
(5)
dla których wyznaczamy kolejne „prążki” DFT.
DFT daje prawidłowe wyniki tylko wtedy, kiedy ciąg danych
wejściowych zawiera energię rozłożoną dokładnie przy
częstotliwościach, dla których dokonujemy analizy określonych
równaniem
(5),
będących
całkowitymi
wielokrotnościami
częstotliwości podstawowej fp/N.
Jeśli sygnał wejściowy zawiera składową o pewnej częstotliwości pośredniej, np.:1,5 fp / N to
pomiędzy częstotliwościami mfp / N, dla których wyznaczamy wartości DFT, ta składowa
sygnału wejściowego ujawni się w pewnym stopniu przy wszystkich N wyjściowych wartościach
częstotliwości DFT, dla których przeprowadzamy częstotliwościową analizę tego sygnału!
Przykład DFT.
Wyznaczamy 64 punktową DFT dla ciągu, który otrzymano w wyniku próbkowania 3 okresów
sinusoidy (rys.3). Obliczona transformata pokazuje, że ciąg nie zawiera składowej o
częstotliwości innej niż m=3. Korelacja ciągu wejściowego oraz składowych sinusoidalnych dla
m różnego od 3 jest równa zero.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-6-
Rysunek 3. 64-punktowa DFT (a) ciąg wejściowy, (b) moduł wartości wyjściowych DFT,
pierwsza połowa wyniku
Mamy teraz ciąg wejściowy sinusoidalny mający 3,4 okresu dla 64 próbek. Ponieważ ten ciąg
wejściowy nie ma całkowitej liczby okresów w przedziale 64 próbek, energia wejściowa
przecieka do wszystkich innych prążków DFT, jak to pokazano na rys. 4(b).
Rysunek 4. 64-punktowa DFT (a) ciąg wejściowy, (b) moduł wartości wyjściowych DFT,
pierwsza połowa wyniku
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-7-
Prążek np. dla m = 4 nie jest równy zeru, ponieważ suma iloczynów ciągu wejściowego i
składowej odpowiadającej analizie częstotliwości dla m= 4 nie jest już równa zeru. To jest
przeciek — powoduje on. że dowolny sygnał wejściowy, którego częstotliwość nie jest
dokładnie równa częstotliwości, dla której jest wyznaczany dany prążek DFT, przecieka do
wszystkich innych wyznaczanych prążków DFT.
Przeciek jest nie do uniknięcia, kiedy wyznaczamy DFT rzeczywistego ciągu czasowego o
skończonej długości.
Jak należy przewidywać i minimalizować skutki przecieku ?
Aby zrozumieć skutki przecieku, wymagana jest znajomość wyrażenia określającego prążki
DFT, gdy sygnałem wejściowym DFT jest rzeczywista sinusoida o arbitralnie przyjętej
częstotliwości.
Dla rzeczywistego przebiegu kosinusoidalnego, zawierającego k okresów w N- punktowym
wejściowym ciągu czasowym, wartości prążków N- punktowej DFT w funkcji indeksu m są
aproksymowane za pomocą funkcji sinc
N sin π ( k − m ) 
⋅
(6)
2
π (k − m)
Użyjemy równania (6), zilustrowanego na rys.5(a), aby określić ile przecieku pojawia się w
DFT.
X ( m) =
Rysunek 5. Odpowiedź częstotliwościowa DFT dla N-punktowego ciągu wejściowego,
zawierającego k okresów rzeczywistej kosinusoidy: (a) odpowiedź amplitudowa jako funkcja mtego prążka, (b) moduł odpowiedzi jako funkcja częstotliwości w Hz)
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-8-
Krzywą na rys. 5 (a), zawierającą listek główny oraz okresowe szczyty i doliny, znane jako listki
boczne, możemy traktować jako zawsze dodatnie widmo N- punktowego, rzeczywistego
czasowego ciągu kosinusoidalnego, mającego k pełnych okresów w wejściowym N- punktowym
przedziale czasowym.
Wartości wyjściowe DFT są dyskretnymi próbkami, które znajdują się na krzywych z rys. 5: to
jest, wynik DFT będzie spróbkowaną wersją tego widma ciągłego.
Jeśli ciąg wejściowy ma dokładnie całkowitą liczbę k okresów, przeciek nie pojawia się,
ponieważ jeśli kąt w liczniku równania (6) jest niezerową całkowitą wielokrotnością π, to sinus
tego kąta jest równy zeru.
Jeśli wejściowa sinusoida ma całkowitą liczbę okresów w przedziale N próbek sygnału
wejściowego w dziedzinie czasu, to wartości wyjściowe DFT są położone na krzywej widma
ciągłego dokładnie w punktach przejść przez zero tej krzywej.
Przykład:
Rzeczywista sinusoida o częstotliwości 8 kHz, o amplitudzie 1, została spróbkowana
częstotliwością 32kHz. Dla 32 punktowej DFT odległość między prążkami wynosi fp/N=1kHz
(rys 6.a), dla m=8 prążek jest niezerowy.
Rysunek 6. DFT dla 32-punktowego ciągu wejściowego sinusoidalnego
sygnału f=8kHz, (b) f=8,5kHz, (c) f=8,75kHz
(a) częstotliwość
Wartości wyjściowe DFT są próbkami ciągłej krzywej widmowej
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-9-
DFT jest okresowa w dziedzinie częstotliwości, pokazuje to rysunek 7. Przy obliczaniu wartości
DFT dla coraz większych częstotliwości poruszamy się w kółko.
Rysunek 7 64-punktowa DFT, powielenia widma sygnału sinusoidalnego zawierającego 3,4
okresu.
Bardziej konwencjonalną metodę prezentacji wartości wyjściowych DFT stanowi odwinięcie
widma z rys. 7:
Rysunek 8 Dodatkowe powielenia widma dla przykładu 3,4 okresu sygnału w przedziale
próbkowania.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-10-
Okienkowanie
Skutki przecieku widma DFT są kłopotliwe, ponieważ wartości prążków odpowiadające
sygnałom o małej amplitudzie będą zakłócane przez poziomy listków bocznych z sąsiednich
prążków odpowiadających sygnałom o dużej amplitudzie.
Ważna technika, znana jako okienkowanie jest najbardziej powszechnym sposobem redukcji
przecieku. Okienkowanie zmniejsza przeciek DFT przez zminimalizowanie amplitudy listków
bocznych funkcji sinc z równania (6).
Rysunek 9. Minimalizacja nieciągłości w punktach końcowych przedziału próbkowania: (a)
wejściowa sinusoida o nieskończonym czasie trwania; (b) okno prostokątne odpowiadające
przedziałowi próbkowania, (c) iloczyn okna prostokątnego i wejściowej sinusoidy; (d) trójkątna
funkcja okna, (e) iloczyn okna trójkątnego i wejściowej sinusoidy; (f) funkcja okna Hanninga, (g)
iloczyn okna Hanninga i wejściowej sinusoidy, (h) funkcja okna Hamminga
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-11-
Rozważmy sygnał o nieskończonym czasie trwania w dziedzinie czasu, pokazany na rys. 9(a).
DFT może być przeprowadzona jedynie na przedziale próbkowania o skończonym czasie, takim
jak pokazany na rys. 9(c). Możemy traktować DFT sygnału wejściowego z rys. 9(c) jako DFT
iloczynu sygnału wejściowego o nieskończonym czasie trwania z rys. 9(a), i okna prostokątnego,
którego amplituda wynosi 1 w przedziale próbkowania pokazanym na rys. 9(b).
Za każdym razem, kiedy wyznaczamy DFT ciągu wejściowego o skończonym czasie trwania,
w sposób domyślny mnożymy ten ciąg przez okno samych jedynek i mnożymy wartości
wejściowe poza tym przedziałem przez zera. Jak się okazuje, kształt funkcji sinc=sin(x)/x jest
spowodowany przez to okno prostokątne, ponieważ ciągła transformata Fouriera okna
prostokątnego jest funkcją sinc.
Aby zminimalizować przeciek widma spowodowany przez te listki
boczne musimy zmniejszyć ich amplitudy używając funkcji okna
innych niż okno prostokątne.
Wyobraźmy sobie, że przemnożyliśmy nasz sygnał wejściowy z rys. 9(a) przez okno trójkątne
pokazane na rys. 9(d), aby otrzymać okienkowany sygnał wejściowy pokazany na rys. 9(e).
Zauważmy na rys. 9(e), że wartości tego wynikowego sygnału wejściowego stają się takie same
na początku i końcu przedziału próbkowania. Zredukowana nieciągłość zmniejsza poziom
względnie wysokich składowych częstotliwościowych w całym zbiorze wartości całej DFT; to
znaczy. że poziomy prążków DFT listków bocznych mają zmniejszoną amplitudę, dzięki użyciu
okna trójkątnego.
Istnieją inne funkcje okien, które zmniejszają przeciek nawet bardziej, niż okno trójkątne, takie
jak okno Hanninga z rys. 9(f). Iloczyn okna z rys. 9(f) i ciągu wejściowego daje sygnał pokazany
na rys. 9(g), stanowiący sygnał wejściowy DFT.
Inną powszechnie używaną funkcją okna jest okno Hamminga, pokazane na rys. 9(h). Jest ono
podobne do okna Hanninga, ale jest podniesione przy podstawie.
Typy okien
Zakładając, że N oryginalnych próbek sygnału wejściowego jest indeksowanych przez n, gdzie
0 ≤ n ≤ N − 1 oznaczmy N współczynników okna jako w(n); to znaczy, że ciąg wejściowy x(n)
jest mnożony przez odpowiadające współczynniki okna w(n), zanim jest wyznaczona DFT.
Zatem DFT Xw(m) okienkowanego ciągu wejściowego x(n) przyjmuje postać
N −1
XW ( m) = ∑ w ( n ) ⋅ x ( n ) e
n=0
j 2π m
n
N
(7)
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-12-
Okno prostokątne
w ( n ) = 1, dla n = 0,1, 2,..., N − 1
(zwane także oknem jednostajnym lub — w języku angielskim — boxcar)
n

; n = 0,1, 2,..., N / 2

N /2
w(n) = 
Okno trójkątne
2 − n ; n = N / 2 + 1, N / 2 + 2,..., N − 1

N /2
(bardzo podobne do okien Bartletta i Parzena )
1 1
n

− cos  2π  , n = 0,1, 2,..., N − 1
2 2
N

(zwane także oknem podniesionego cosinusa. Hanna lub von Hanna)
w(n) =
Okno Hanninga:
Okno Hamminga:
n

w ( n ) = 0, 54 − 0, 46 cos  2π  ; n = 0,1, 2,..., N − 1
N

Widmo amplitudowe okna prostokątnego stanowi miarę, jakiej zazwyczaj używamy aby
porównać inne okna.
Definiuje się logarytmiczną odpowiedź amplitudową jako WdB ( m ) pozwalającą unormować
widma różnych okien zgodnie z:
 W (m) 
WdB ( m ) = 20 ⋅ log10 
 W ( 0 ) 


gdzie W(0) jest wartością maksymalną listka głównego dla m=0.
(8)
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-13-
Szerokości listków głównych różnych okien nie prostokątnych degradują rozdzielczość
częstotliwościową okienkowanych DFT prawie dwukrotnie. Jednak istotne korzyści
zmniejszenia przecieku zazwyczaj przeważają nad stratą w częstotliwościowej rozdzielczości
DFT.
Rysunek 10.
Moduły odpowiedzi okien w unormowanej skali logarytmicznej
Zauważmy zmniejszenie się poziomu pierwszego listka bocznego i gwałtowny spadek
listków bocznych okna Hanninga. Okno Hamminga ma nawet mniejsze poziomy pierwszego
listka, lecz listki boczne tego okna opadają wolniej w porównaniu z oknem Hanninga.
Oznacza to. że przeciek w odległości trzech lub czterech prążków od prążka środkowego
jest mniejszy dla okna Hamminga, niż dla okna Hanninga, ale przeciek dla kilkunastu prążków
od prążka środkowego jest mniejszy dla okna Hanninga, niż dla okna Hamminga.
Przykład:
Jeśli zastosujemy okno Hanninga do przykładu 3,4 okresu w przedziale próbkowania,
otrzymamy wartości wyjściowe DFT dla tego okienkowanego przebiegu na rys. 11 wraz z
wynikami DFT bez okienkowania, tj. przy oknie prostokątnym.
Jak oczekiwaliśmy, widmo amplitudowe dla okna Hanninga jest szersze i ma mniejszą
wartość maksymalną, lecz przeciek listków bocznych jest zauważalnie zmniejszony w
porównaniu z przeciekiem dla okna prostokątnego.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
Rysunek 11.
-14-
Porównanie DFT dla okna prostokątnego i Hanninga
Możemy zatem stwierdzić, iż wybór okna stanowi kompromis pomiędzy rozszerzeniem listka
głównego, poziomami pierwszego listka bocznego, oraz tego, jak szybko maleją listki boczne
wraz ze wzrostem częstotliwości.
Użycie każdego szczególnego okna zależy od zastosowań.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-15-
Rozdzielczość DFT, uzupełnianie zerami i próbkowanie w dziedzinie
częstotliwości
Jedną z popularnych metod poprawy rozdzielczości częstotliwościowej DFT, jest metoda
znana jako uzupełnianie zerami. Proces ten wymaga dodania do oryginalnego ciągu
wejściowego DFT próbek o zerowej wartości w celu zwiększenia całkowitej liczby próbek
danych wejściowych.
Kiedy próbkujemy funkcję ciągłą w dziedzinie czasu, mającą ciągłą transformatę Fouriera i
wyznaczamy DFT tych próbek, wówczas DFT daje w wyniku próbkowaną aproksymację
transformaty ciągłej w dziedzinie częstotliwości. Im więcej jest punktów w DFT, tym lepiej
wartości wyjściowe tej DFT aproksymują transformatę ciągłą.
Rysunek 12.
Ciągła transformata Fouriera
Chcemy aproksymować transformatę Fouriera funkcji ciągłej f(t) z rys. 12(a). Ten przebieg
f(t) rozciąga się w obydwu kierunkach do nieskończoności, lecz przyjmuje wartości niezerowe
jedynie w przedziale czasu T sekund.
Jeśli niezerowa część tej funkcji czasu jest przebiegiem sinusoidalnym o trzech okresach w
sekundach, to moduł jego transformaty Fouriera jest pokazany na rys. 12(b). Jest to funkcja,
którą będziemy aproksymować za pomocą DFT.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-16-
Rys 13. Próbkowanie DFT w dziedzinie częstotliwości: (a) 16 próbek danych wejściowych i N =
16; (b) 16 próbek danych wejściowych, 16 dołączonych zer i N = 32; (c) 16 próbek danych
wejściowych, 48 dołączonych zer i N = 64, (d) 16 próbek danych wejściowych, 112 dołączonych
zer i N= 128
Jeśli dołączymy 16 próbek zerowych do tego ciągu wejściowego i wyznaczymy 32-punktową
DFT, to otrzymamy wynik wyjściowy pokazany po prawej stronie rys. 13(b), gdzie
zwiększyliśmy rozdzielczość częstotliwościową DFT dwukrotnie. Ta DFT próbkuje teraz
częściej transformatę ciągłą. Dodając kolejne 32 zera i wyznaczając 64-punktową DFT,
otrzymujemy wynik pokazany po prawej stronie rys. 13(c). Dodając kolejne 64 zera i
wyznaczając 128-punktową DFT, otrzymujemy wynik pokazany po prawej stronie rys. 13(d).
Właściwość próbkowania DFT w dziedzinie częstotliwości staje się teraz oczywista.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-17-
Dodanie zer do ciągu wejściowego poprawi rozdzielczość wyniku DFT, ale istnieje praktyczna
granica określająca, jak wiele możemy zyskać przez dodanie większej liczby zer. W
rozważanym przykładzie 128-punktowa DFT pokazuje wystarczająco szczegółową zawartość
widma sygnału wejściowego.
W praktyce, jeśli chcemy przeprowadzić zarówno uzupełnienie zerami, jak i okienkowanie
ciągu próbek danych wejściowych, musimy uważać, aby nie zastosować okna do całego sygnału
wejściowego, po dołączeniu próbek o wartościach zerowych. Funkcja okna musi być
zastosowana tylko do oryginalnych niezerowych próbek czasowych, w przeciwnym wypadku
uzupełnione zera wyzerują się i zniekształcą część funkcji okna, prowadząc do błędnych
wyników.
DFT funkcji prostokątnych
Jednym z najbardziej powszechnych i najważniejszych wyliczeń rozważanych w cyfrowym
przetwarzaniu sygnałów jest DFT funkcji prostokątnej.
Funkcja prostokątna x(n) w postaci ogólnej może być zdefiniowana jako N próbek zawierających
K próbek o jednostkowej wartości, jak to pokazano na rys. 14.
Rysunek 14. Funkcja prostokątna x(n) w postaci ogólnej
Funkcje prostokątną, którą chcemy transformować, stanowi pełny N- punktowy ciąg x(n). Ciąg
ten nazywamy funkcją prostokątną w postaci ogólnej, ponieważ K jednostkowych próbek
zaczyna się przy dowolnej wartości indeksu –n0. N- punktowa DFT ma postać:
X ( m) =
N /2
∑
n =− ( N / 2 ) +1
x ( n ) e − j 2π nm / N
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-18-
Przy n niezerowym tylko w zakresie − n0 ≤ n ≤ − n0 + ( K − 1)
X ( m) =
dla pomocniczej zmiennej q = 2π
X (q) =
=e
− jq ( n0 )
− n0 + ( K −1)
∑
− n0 + ( K −1)
∑
1⋅ e − j 2π nm / N
n =− n0
m
N
⋅e − jqn = e
− jq ( − n0 )
+e
− jq ( − n0 +1)
+e
− jq ( − n0 + 2 )
+ ... + e
− jq ( − n0 + K −1)
=
n =− n0
e

− j 0q
+e
− j1q
+e
− j 2q
+ ... + e
− jq ( K −1)
=e

jq ( n0 )
K −1
∑e
(9)
− jpq
p=0
Równanie (30) zawiera szereg geometryczny i może być zapisane w zwartej postaci jako
1 − e − jqK
( 10 )
e
=
∑
1 − e− jq
p =0
Jeśli pomnożymy i podzielimy licznik i mianownik prawej strony równania (31) przez
odpowiednie wyrażenia eksponencjalne połówek kąta, to rozdzielimy te wyrażenia
eksponencjalne na dwie części i otrzymamy
K −1
− jpq
K −1
∑ e− jpq = e− jq ( K −1) / N ⋅
p =0
(e
(e
jqK / 2
jq / 2
− e− jqK / 2
− e− jq / 2
)
)
e jφ − e − jφ
. zatem równanie (32) przyjmie postać:
j2
2 j sin ( qK / 2 )
sin ( qK / 2 )
= e− jq ( K −1) / 2 ⋅
= e − jq ( K −1) / 2 ⋅
2 j sin ( q / 2 )
sin ( q / 2 )
( 11 )
Z równania Eulera mamy: sin(φ ) =
K −1
∑e
p =0
− jpq
( 12 )
Przywracając naszej pomocniczej zmiennej q jej oryginalną wartość 2π m / N , otrzymujemy
Postać ogólna jądra Dirichleta:
X ( m) = e
− j ( 2π m / N )( n0 −( K −1) / 2 )
⋅
sin (π mK / N )
sin (π m / N )
Równanie (14) stanowi ogólne wyrażenie dla DFT funkcji prostokątnej.
( 14 )
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów © Jacek Rezmer ®
-19-
DFT symetrycznej funkcji prostokątnej
Równanie (14) jest nieco skomplikowane, ponieważ rozważaliśmy oryginalną funkcję x(n) w
postaci ogólnej. W praktyce, szczególne przypadki funkcji prostokątnych prowadzą do
prostszych wersji równania.
Rozważmy symetryczną względem punktu n=0 funkcję prostokątną x(n), jak pokazano na
rys. 15, W tym przypadku K próbek jednostkowych zaczyna się w punkcie
n = −n0 = −( K − 1) / 2 . Zatem podstawienie n0 = ( K − 1) / 2 w równaniu (14) daje
X ( m) = e
− j ( 2π m / N )( ( K −1) / 2 −( K −1) / 2 )
⋅
sin (π mK / N )
sin (π m / N )
=
sin (π mK / N )
sin (π m / N )
( 15 )
Rysunek 15. DFT funkcji prostokątnej symetrycznej(a) funkcja oryginalna, (b) część rzeczywista,
(c) część urojona, (d) moduł, (e) faza (rd)
Opracowano na podstawie:
R. G. Lyons „Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów” 1999