Lab. Własności DFT

Wstęp do cyfrowego przetwarzania sygnałów – laboratorium
Temat: Własności DFT
Imię i nazwisko:
Data ćwiczenia:
Data oddania sprawozdania:
Ocena:
1. Głównym celem ćwiczenia było zapoznanie się z własnościami DFT. Przekształcenie to dane jest wzorem:
N −1
X ( m) = ¦ x ( n) e
−j
2πnm
N
n=0
DFT pozwala na wyznaczenie widma sygnału dyskretnego. Ponadto posiada analogiczne właściwości jak ciągła
transformata Fouriera, czyli między innymi:
– jest przekształceniem linowym
– posiada dyskretny odpowiednik twierdzenia o przesunięciu
– jest przekształceniem jednoznacznym (z widma można odzyskać pierwotny sygnał)
2. Wyznaczenie widma sygnału dyskretnego sprowadza się do wykonania operacji DFT na skończonym
wektorze próbek sygnału. W praktyce dokonuje się tego przy pomocy funkcji okien. Ciąg wejściowy jest
przemnażany przez funkcję okna, w wyniku czego zostają wyizolowane próbki, na podstawie których liczona
jest DFT. Iloczyn sygnałów w dziedzinie czasu objawia się splotem widma sygnału z widmem funkcji okna
w dziedzinie częstotliwości. Jak się okazuje, kształt okna nie pozostaje bez znaczenia, gdyż ma on bezpośredni
wpływ na kształt widma okna. Z kolei kształt widma okna ma duży wpływ na jakość DFT, co zostanie pokazane
poniżej.
W pierwszym przykładzie wyznaczono widmo sygnału sinusoidalnego o częstotliwości 6,25 Hz, próbkowanego
z częstotliwością 100 Hz. Częstotliwość przebiegu dobrano tak, aby w przedziale 64 próbek uzyskać całkowitą
wielokrotność okresów przebiegu sinusoidalnego (rys. 1).
W tym celu napisano krótki program w środowisku MatLab:
fs = 100;
t = 0:1/fs:0.63;
f = 400/64;
x = 0.5 * sin (2*pi*f*t);
X = fft (x);
X_mag = abs (X);
stem (X_mag);
rys. 1
De facto jest to idealny przypadek analizy sygnału przy użyciu okna prostokątnego. Idealny ze względu na
całkowitą wielokrotność okresów sygnału w analizowanym ciągu próbek.
Jak widać na rysunku 2, widmo sygnału zawiera jeden
prążek dla m=4, odpowiadający częstotliwości podstawowej
badanego sygnału (fa = m*fs / N = 4*100/64 = 6,25).
O ile w przypadku idealnym nie ma żadnych problemów
z prawidłowym wyznaczeniem widma, tak w przypadkach
różnych od idealnego pojawia się problem przecieku widma.
Przeciek widma jest jedną z cech charakterystycznych DFT.
Powoduje on, że wyniki DFT stanowią jedynie
aproksymację rzeczywistych widm oryginalnych sygnałów
poddanych próbkowaniu.
rys. 2
Istnieją sposoby minimalizacji przecieku, chociażby poprzez zastosowanie rozmaitych funkcji okien, aczkolwiek
nie można go wyeliminować całkowicie.
(C) 2004 STUDENT.NET.PL :: Wszelkie prawa zastrzeżone
Okienkowanie zmniejsza przeciek DFT przez zminimalizowanie amplitudy listków bocznych funkcji Sa. Im
okno jest bardziej ciągłe, tym amplituda listków bocznych jest mniejsza, a tym samy redukowany jest przeciek.
Np. użycie okna Hanninga będzie dawało lepsze rezultaty niż okna prostokątnego, gdyż okno Hanninga jest
ciągłe (nie posiada takich punktów nieciągłości jak okno prostokątne).
W następnej części ćwiczenia wyznaczono widmo dla różnych sygnałów w celu zbadania zjawiska przecieku
widma oraz wpływu okienkowania na jakość DFT (redukcję zjawiska przecieku).
Na początek zbadano widmo sygnału będącego sumą dwóch przebiegów sinusoidalnych o częstotliwościach
f1=10 Hz i f2=20 Hz, spróbkowanych z częstotliwością 100 Hz. DFT było liczone dla ciągu 64 próbek
ograniczonego odpowiednim oknem. Warto tutaj zaznaczyć, badany sygnał ten nie będzie posiadał całkowitej
wielokrotności okresów w przedziale 64 próbek, bo T1=1/f1=0.1, T2=1/f2=0.05, natomiast wektor „czasu”
zawiera wartości od 0 do 0.63 co 0.01, więc nie ma całkowitej wielokrotności żadnego z okresów. Objawi się to
przeciekiem widma w każdym z analizowanych przypadków.
Rysunki 3 i 4 zawierają wykres modułu widma dla badanego przebiegu po zastosowaniu okna Hanninga. Widmo
na rys. 4 wyznaczono dla stłumionej składowej o f1=10 Hz. Jak widać DFT oddaje zmiany amplitud
składowych.
rys. 3
rys. 4
Następnie wyznaczono widmo dla takiego samego sygnału [ 0.2 * sin (2*pi*10*t) + sin (2*pi*20*t)], używając
okna prostokątnego:
rys. 5
rys. 6
Jak widać na rys. 5, rezultat jest znacznie gorszy niż niż w przypadku z zastosowaniem okna Hanninga.
Co prawda prążki główne są bardzie wyeksponowane, ale ogólnie widmo jest bardziej „rozmyte”.
W tym przykładzie obie częstotliwości składowych sygnału są odległe od siebie o 10 Hz, co pozwala na
rozróżnienie ich na wykresie modułu widma. Jednakże w przypadku, gdy tę częstotliwości będą w małej
odległości od siebie, rozróżnienie prążków może stać się trudne, a nawet niemożliwe. Doskonale ilustruje to
kolejny przykład. Dokonano obliczenia DFT dla sygnału będącego sumą sinusoid o częstotliwościach f1=17 Hz
i f2=20 Hz. Na rysunku 6 można zaobserwować moduł DFT dla tego sygnału. Nie jest możliwe rozróżnienie
(C) 2004 STUDENT.NET.PL :: Wszelkie prawa zastrzeżone
sąsiednich prążków, gdyż są one ze sobą zlane. Należy zatem zbadać, czy zastosowanie innego okna poprawi
jakość DFT (zredukuje przeciek widma). W kolejnym przykładzie policzono DFT dla takiego samego przebiegu,
ale z użyciem okna Bartletta.
rys. 7
rys. 8
Jak widać na rys. 7, zastosowanie okna Bartletta spowodowało lekką poprawę. Można, chociaż z pewną
trudnością, dostrzec dwa główne prążki. Jeszcze jednym sposobem pozwalającym na poprawę jakości DFT jest
zwiększenie ilości próbek analizowanego sygnału. Na rys. 8 przedstawiono moduł DFT dla tego samego sygnału
co w poprzednim przykładzie, aczkolwiek złożonego ze 128 próbek (dwa razy więcej niż w poprzednim
przykładzie). Na rysunku dają się już rozróżnić oba główne prążki, tak więc zamierzony cel został osiągnięty.
3. Wnioski końcowe.
Jak pokazano na powyższych przykładach rodzaj okna ma znaczący wpływ na jakość DFT, a tym samym na
intensywność przecieku widma. Również zwiększenie ilości próbek sygnału pozytywnie wpływa na poprawę
jakości DFT (redukcję przecieku widma).
(C) 2004 STUDENT.NET.PL :: Wszelkie prawa zastrzeżone