Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany przez Unię

Materiały pomocnicze dla studentów I roku do wykładu „Wstęp do fizyki I”
Wykład 1
I. Skalary i Wektory.
Skalar:
Jest to wielkość, którą można jednoznacznie określić za pomocą liczby i jednostek;
a więc mająca jedynie wartość, np. masa, długość, czas, gęstość, energia, temperatura.
Skalary podlegają działaniom zwykłej algebry.
Wektor
Wielkość wektorowa to wielkość, która ma zarówno wartość bezwzględną (moduł) jak i
kierunek oraz zwrot, określający orientację wzdłuż danego kierunku. Graficznie przedstawia
się ją jako strzałkę, która łączy początek (punkt zaczepienia) i koniec;
- kierunek strzałki jest zgodny z kierunkiem wektora,
- „ostrze” strzałki określa zwrot,
- długość strzałki jest proporcjonalna do wartości wektora.
Dotychczas w szkole była podana tylko jedna współrzędna wektora np.F=10 N tzn.
Wersor kierunku jest to wektor jednostkowy
o długości 1, który ma kierunek
długość W praktyce wektory przestawiamy w układzie kartezjańskim. Zamiast
wprowadzamy wektory
jednostkowe wzdłuż osi wybranego, szczególnego
układu współrzędnych; zwykle stosujemy
lub y x
z
.
Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Rozłóżmy dany wektor na jego składowe
2D (w dwóch wymiarach):
y z twierdzenia Pitagorasa (patrz rysunek obok):
x
,
3D (w trzech wymiarach):
y z
z twierdzenia Pitagorasa (patrz rysunek obok):
x
Czyli
Przykład:
Większość działań algebraicznych, które są wykonywane na liczbach rzeczywistych jak
dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę i odwracanie ma swoje odpowiedniki dla
wektorów. Zostały one omówione poniżej na przykładach.
Rachunek na wektorach:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
suma i różnica dwóch wektorów,
mnożenie wektora przez liczbę,
iloczyn skalarny,
iloczyn wektorowy,
dodawanie i odejmowanie wektorów (algebraicznie i graficznie),
rozkładanie wektora na składowe. Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. jest wspierany przez Europejski Fundusz Społeczny w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki ad.1
Dane są dwa wektory
o współrzędnych:
,
.
Ich suma i różnica wynosi odpowiednio
Przykład:
Oblicz sumę i różnicę dwóch wektorów:
,
ad.2
Mnożenie wektora przez liczbę.
gdzie
,a
dowolna liczba.
Przykład:
Przykład fizyczny mnożenia wektora przez liczbę:
a)
b)
ad.3
Iloczyn skalarny dwóch wektorów:
Przykład fizyczny:
, gdzie
kąt zawarty między wektorami
ad.4Iloczyn wektorowy dwóch wektorów:
Liczbowo
, gdzie
kąt zawarty między wektorami
.
Przykłady fizyczne:
a)
b)
ad.5
Dodawanie i odejmowanie wektorów - graficznie
Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Dodawanie wektorów:
a) budujemy równoległobok
b) przesunięcie wektora
y y x
x Odejmowanie wektorów:
Aby odjąć graficznie dwa wektory od siebie
, definiujemy wektor ujemny
jako
wektor o tej samej długości, lecz przeciwnie skierowany niż wektor dodatni. Następnie
dodajemy graficznie
wykorzystując metodę „przesunięcie wektora”. (zadanie 2 –
przykład liczbowy).
Zadanie 1
Wyznacz algebraicznie i graficznie sumę dwóch wektorów
r
F1 = (10, 0, 0)
r
F2 = (0, 5, 0)
, gdzie
Zadanie 2
Wyznacz
algebraicznie i graficznie sumę i różnicę dwóch wektorów
r
a = (5, 7)
r
b = (8, 3)
, gdzie
Zadanie 3
, który jest sumą dwóch wektorów
Jak jest skierowany oraz ile wynosi wartość wektora
prędkości
oraz
umieszczonych względem siebie pod kątem ?
a)
b)
c)
d)
e)
Zadanie 4
Wyznacz sumę dwóch wektorów, które mają taką samą długość
. Co ciekawego zauważyłeś?
i znajdują się pod kątem
Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. jest wspierany przez Europejski Fundusz Społeczny w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Zadanie 5
a) Pod jakim kątem musi płynąć motorówka, aby wypadkowy wektor był prostopadły do
drugiego brzegu rzeki.
VR = 3 m/s (rzeki)
Vm = 5 m/s (motorówki).
b) Zakładając, że szerokość rzeki wynosi L, oblicz, w jakim czasie motorówka
przepłynie przez rzekę.
Zadanie 6
Ułożyć treść zadania tekstowego, którego graficzną ilustracją są wykresy a i b
x (m) 6 4,5 3 t (s) 0 6 8 Zadanie 7
Mamy dwie kule o pędach p1 = (m1V1 , 0, 0), p 2 = (0, m2V2 , 0) , gdzie
m1= 1 kg,
V1 = 2 m/s
m2= 1 kg
V2 = 6 m/s
a) Narysuj pędy w układzie współrzędnych.
b) Oblicz prędkości po zderzeniu niesprężystym.
c) Oblicz wartość pędu przed i po zderzeniu.
d) Jaki kąt tworzy prędkość z osią x?
Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Zadania domowe do wykładu 1
R. Resnick, D. Halliday „Podstawy fizyki” tom1.
Rozdziały przydatne do rozwiązania zadań:
2.1-2.3;
2.6; 2.8; 3-całość; 4.1-4.6
Przykłady:
2.1; 2.5; 2.7; 3.4; 3.6; 3.7; 4.1; 4.2.
Zadania
8 str. 32,
13 str.33,
25, 29 str. 34,
43,48 str. 35,
5 str.54,
13, 17 str.55,
29,36 str.56.
Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki