Lista 4

Lista 4
Liczby zespolone, przestrzenie liniowe
Zadanie 1 Oblicz
• (2 + 3i) + (5 + 12i), (3 + 4i) − (5 − 7i)
• (3 + 5i)(4 + i), i(3 + 2i), i2 , i3 , i4 , i5
•
3+4i
2−5i
Zadanie 2 Dla z = 3 − 2i zaznacz na płaszczyźnie zespolonej −z, z̄, −z̄, |z|, argz
Zadanie 3 Udowodnij
•
1
(z
2
+ z̄) = re(z)
• z z̄ = |z|2
•
1
(z
2i
− z̄) = im(z)
Zadanie 4 Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiory
• {z ∈ C : re(z) ≤ 0, im(z) ≥ 1}
• {z ∈ C : 3 ≤ |z| ≤ 5}
• {z ∈ C : 3 ≤ |z + 1 + i| ≤ 5}
Zadanie 5 Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby: (1 + i), (1 − i), (1 +
√
3)
Zadanie 6 Oblicz (1 − i)40
Zadanie 7 Czy zbiór A jest podprzestrzenią przestrzeni Rn :
• A = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z}
• A = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + z = 0}
• A = {(x, y, z) ∈ R3 : x > 0}
• A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 5}
Zadanie 8
• Czy wektor (2, 3, 6) jest kombinacją liniową wektorów (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)?
• Czy wektor (2, 3, 6) jest kombinacją liniową wektorów (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)?
• Czy wektor (5, 3, −1) jest kombinacją liniową wektorów (1, 2, 1), (3, 1, 4), (2, 7, 1)?
Zadanie 9 Sprawdź liniową niezależność wektorów:
• (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
• (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5)
• (2, 2, 3, 3), (2, 2, 4, 4), (3, 3, 5, 5)
Zadanie 10 Uzasadnij, że wektory (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) tworzą bazę przestrzeni R3
Krzysztof Majcher
1