MK05 Atom Wodoru

Rozdział 5
Atom Wodoru
5.1 Zastosowanie równania Schrödingera
do rozwiązania zagadnienia Atomu
wodoru
5.2 Rozwiązanie równania Schrödingera
dla atomu wodoru
5.3 Liczby kwantowe
5.4 Efekt Zeemana
5.5 Spin
5.6 Uogólniona zasada nieokreśloności
5.7 Prawdopodobieństwa przejść. Reguły
wyboru
5.8 Superpozycja stanów
Werner Heisenberg
(1901-1976)
Atom współczesnej fizyki jest reprezentowany jedynie poprzez równanie różniczkowe
cząstkowe w abstrakcyjnej przestrzeni w wielu wymiarach, z równania można wyprowadzić
wszystkie jego cechy. Atom nie ma bezpośrednio żadnych materialnych cech a jego
zrozumienie, w tradycyjny, oparty na zmysłach sposób, jest niemożliwe.
- Werner Heisenberg
Przygotowanie Marek Szopa, na podstawie Rick Trebino, Georgia Tech, www.physics.gatech.edu/frog/lectures
5.1: Zastosowanie równania Schrödingera
do rozwiązania zagadnienia Atomu wodoru
Z elektrostatyki wiemy, jaka jest energia potencjalna układu elektronproton :
V (r ) = −
e2
4πε 0 r
Wykorzystamy trójwymiarowe, bezczasowe równanie Schrodingera.
 ∂ 2ψ ( x, y, z ) ∂ 2ψ ( x, y, z ) ∂ 2ψ ( x, y, z ) 
ℏ2
1
−
+
+

 = E −V (r )
2
2
2
2 m ψ ( x, y , z ) 
∂x
∂y
∂z

Dla atomów wodoropodobnych, takich jak (He+ or Li++), e2 należy
zastąpić przez Ze2 (Z jest liczbą atomową).
We wszystkich przypadkach, dla większej dokładności, m należy
zastąpić masą zredukowaną µ.
Współrzędne sferyczne
Potencjał siły centralnej V(r)
zależy od odległości protonu
od elektronu.
Z powodu takiej (sferycznej)
symetrii zagadnienie należy
przetransformować do
współrzędnych sferycznych:
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ
r = x2 + y2 + z 2
z
θ = cos
r
y
ϕ = tan −1
x
−1
( kąt zenitalny )
( kąt azymutalny )
Równanie
Schrödingera we
współrzędnych
sferycznych
Równanie Schrödingera
przetransformowane do
współrzędnych
sferycznych ma
następującą postać:
1 ∂  2 ∂ψ 
1
∂ 
∂ψ 
1
∂ 2ψ 2µ
+ 2 ( E − V )ψ = 0
r
+ 2
 sin θ
+ 2 2
2
2
r ∂r  ∂r  r sin θ ∂θ 
ℏ
∂θ  r sin θ ∂ϕ
Rozwiązanie w rozseparowanych
zmiennych
Funkcja falowa ψ zależy od 3 zmiennych r, θ, φ. Jako taka może być
potencjalnie bardzo skomplikowana.
Bądźmy jednaj optymistami i załóżmy, że dla ψ możliwe jest
rozdzielenie (separacja) zmiennych, tzn. że jest ona iloczynem
trzech funkcji jednaj zmiennej:
ψ (r , θ , φ ) = R(r ) f (θ ) g (φ )
Pochodne ψ ze względu na poszczególne zmienne są więc:
∂ψ
∂R
= fg
∂r
∂r
∂ψ
∂f
= Rg
∂θ
∂θ
∂ 2ψ
∂2g
= Rf
2
∂φ
∂φ 2
To założenie znacznie upraszcza sprawę, a co najważniejsze działa!
5.2: Rozwiązanie równania
Schrödingera dla atomu wodoru
Rozwiążmy więc równanie Schrodingera zakładając separowalność ψ :
1 ∂  2 ∂ψ 
1
∂ 
∂ψ 
1
∂ 2ψ 2µ
+ 2 ( E − V )ψ = 0
r
+ 2
 sin θ
+ 2 2
2
2
r ∂r  ∂r  r sin θ ∂θ 
ℏ
∂θ  r sin θ ∂ϕ
∂ψ
∂R
Podstawmy:
= fg
∂r
∂r
∂ψ
∂f
= Rg
∂θ
∂θ
∂ 2ψ
∂2g
= Rf
2
∂φ
∂φ 2
fg ∂  2 ∂R 
Rg ∂ 
∂f 
Rf ∂2 g 2µ
+ 2 (E −V )Rfg = 0
r
+ 2
 sinθ  + 2 2
2
2
r ∂r  ∂r  r sinθ ∂θ 
∂θ  r sin θ ∂φ
ℏ
Mnożąc obie strony przez −r2 sin2θ / R f g:
∂f  1 ∂2 g
sin2 θ ∂  2 ∂R  2µ 2 2
sinθ ∂ 
−
r
 − 2 r sin θ (E −V ) −
 sinθ  =
R ∂r  ∂r  ℏ
f ∂θ 
∂θ  g ∂φ 2
Rozwiązanie równania Schrödingera
dla atomu wodoru
sin2 θ ∂  2 ∂R  2µ 2 2
sinθ ∂ 
∂f  1 ∂2 g
−
r
 − 2 r sin θ (E −V ) −
 sinθ  =
R ∂r  ∂r  ℏ
f ∂θ 
∂θ  g ∂φ 2
Lewa strona równania zależy tylko od r i θ a prawa tylko od φ.
Lewa strona nie może się zmienić jak zmieniamy φ .
Prawa strona nie może się zmienić jak zmieniamy r lub θ.
Żeby równanie było spełnione obie strony muszą więc być stałą
niezależną od żadnej zmiennej.
Oznaczmy tą stałą przez −mℓ2
d 2g
2
=
−
m
ℓ g
2
dφ
równanie azymutalne
ℓ , choć również
Jak wiemy rozwiązaniem tego równania są funkcje ℓ
sin i cos je spełniają. Pamiętamy jednak, że
= cos ℓ + sin ℓ
Rozwiązanie równania Schrödingera
dla atomu wodoru
Równanie azymutalne
d 2g
2
=
−
m
ℓ g
2
dφ
ℓ
Jest spełnione przez
dla dowolnej wartości mℓ.
Jednak aby rozwiązanie miało sens musi być jednowartościową funkcją φ:
g (φ ) = g (φ + 2π )
Konkretnie:
Więc:
g (φ = 0 ) = g (φ = 2π )
eimℓφ
e 0 = e 2πimℓ
Aby ten warunek był spełniony mℓ musi być liczbą całkowitą
(dodatnią, ujemną lub zerem).
Rozwiązanie równania Schrödingera
dla atomu wodoru
sin2 θ ∂  2 ∂R  2µ 2 2
sinθ ∂ 
∂f  1 ∂2 g
−
r
 − 2 r sin θ (E −V ) −
 sinθ  =
R ∂r  ∂r  ℏ
f ∂θ 
∂θ  g ∂φ 2
Teraz przyrównajmy lewą stronę do −mℓ2:
sin2 θ ∂  2 ∂R  2µ 2 2
sinθ ∂ 
∂f 
2
θ
θ
−
r
−
r
sin
(
E
−
V
)
−
sin

 2

 = −mℓ
R ∂r  ∂r  ℏ
f ∂θ 
∂θ 
Po przekształceniu i podzieleniu przez sin2(θ) mamy:
mℓ
∂ 
∂f 
1 ∂  2 ∂R  2µr 2
1
r
 + 2 (E − V ) = 2 −
 sinθ 
∂θ 
R ∂r  ∂r  ℏ
sin θ f sinθ ∂θ 
2
Teraz lewa strona zależy tylko od r, a prawa tylko od θ. Możemy
zastosować jeszcze raz tą samą metodę!
Rozwiązanie równania Schrödingera
dla atomu wodoru
1 ∂  2 ∂R  2µr 2
mℓ
1 ∂ 
∂f 
(
)
r
+
E
−
V
=
−
sin
θ




R ∂r  ∂r  ℏ2
sin2 θ f sinθ ∂θ 
∂θ 
2
Tym razem przyjmijmy, że obie strony są równe stałej: ℓ(ℓ + 1).
1 ∂  2 ∂R  2 µ
r
+ 2
2
r ∂ r  ∂r  ℏ

ℏ 2 ℓ (ℓ + 1) 
E − V −
 R = 0 równanie radialne
2
2µ r


2
mℓ 
1 d 
∂f  
 sinθ  + ℓ(ℓ +1) − 2  f = 0
sinθ dθ 
sin θ 
∂θ  
równanie zenitalne
Tym sposobem rozseparowaliśmy równanie Schrödingera na trzy
równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu, jednej zmiennej.
Rozwiązanie równania radialnego
Równanie to nazywamy równaniem stowarzyszonym Laguerre’a
a jego rozwiązania R funkcjami stowarzyszonymi Laguerre’a.
Funkcji tych jest nieskończenie wiele dla n = 1, 2, 3, …
Załóżmy, że stan podstawowy ma n = 1 i ℓ = 0. Poszukajmy rozwiązań.
Równanie radialne jest:
1 d  2 dR  2 µ
r
 + 2 (E −V ) R = 0
2
r dr  dr  ℏ
Pochodna
ma dwa składniki:
d 2 R 2 dR 2 µ 
e2 
 R = 0
+
+ 2  E +
2
dr
r dr ℏ 
4πε 0 r 
Rozwiązanie równania
radialnego dla
−r /a
Podstawmy rozwiązanie R( r ) = Ae 0
A jest stałą normalizacyjną
n = 1, l = 0
a0 jest stałą o wymiarze długości.
Po zróżniczkowaniu i podstawieniu do równania radialnego dostajemy.
d 2 R 2 dR 2 µ 
e2 
 R = 0
+
+ 2  E +
2
dr
r dr ℏ 
4πε 0 r 
⇒
 1 2µ   2µe 2
2 1
 2 + 2 E+
 = 0
−
2

a

ℏ
a0  r
 0
  4πε 0 ℏ
Aby to równanie było spełnione dla dowolnego r, oba wyrażenia w
nawiasach muszą być równe zeru.
Po przyrównaniu do zera i rozwiązaniu
drugiego wyrażenia względem a0:
4πε 0 ℏ 2
a0 =
µe 2
Po przyrównaniu do zera i rozwiązaniu
pierwszego wyrażenia względem E:
ℏ2
e2
E=−
=−
= − E0
2
2 µ a0
8π e0 a0
Ale a0 znamy jako promień Bohra, a E jako
energie stanu podstawowego atomu Bohra!
Energie Atomu
wodoru Bohra
(dla przypomnienia)
2
e
Klasyczna
E
=
−
formuła dla
8πε 0 r
energii:
2 2
oraz: rn =
4πε 0 n ℏ
2
=
a
n
0
me 2
Tak więc energie stanów
stacjonarnych są:
e2
e2
En = −
=−
8πε 0 rn
8πε 0 a0 n 2
lub:
En = − E0/n2
gdzie E0 = 13.6 eV.
4πε 0 ℏ 2
a0 ≡
me 2
Główna
liczba
kwantowa n
1 ∂  2 ∂R  2 µ
r
+ 2
2
r ∂ r  ∂r  ℏ

ℏ 2 ℓ (ℓ + 1) 
E − V −
R = 0
2
2µ r


Równanie radialne ma wiele rozwiązań, po jednym dla każdej
dodatniej całkowitej wartości n.
Skwantowana energia wyraża się wzorem znanym z prac Bohra:
E0
− µ  e2  1

 2 = − 2
En =
2  4πε 0 ℏ  n
n
Energia ujemna oznacza, że elektron i proton są trwale związane.
5.3: Liczby kwantowe
W wyniku rozwiązanie otrzymujemy 3 liczby kwantowe:
n: Główna liczba kwantowa
ℓ : Liczba kwantowa pędu orbitalnego
mℓ: Magnetyczna liczba kwantowa
Liczby kwantowe spełniają następujące ograniczenia:
n = 1, 2, 3, 4, . . .
ℓ = 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1
mℓ = − ℓ, − ℓ + 1, . . . , 0, 1, . . . , ℓ − 1, ℓ
Równoważnie:
n>0
ℓ<n
|mℓ| ≤ ℓ
Poziomy energetyczne:
E0
En = − 2
n
Radialne funkcje falowe atomu wodoru
Kilka
pierwszych
funkcji
radialnych Rnℓ
Indeksy przy
R oznaczają
wartości
n i ℓ.
wielomiany
stowarzyszone
Laguerre’a
Rozwiązania równań azymutalnego i
zenitalnego
d 2g
= −mℓ g
2
dφ
2
1 ∂  2 ∂R  2µr 2
mℓ
1 ∂ 
∂f 
r
 + 2 (E −V ) = 2 −
 sinθ 
R ∂r  ∂r  ℏ
sin θ f sinθ ∂θ 
∂θ 
2
Rozwiązania równania azymutalnego są postaci:
e im ℓφ
Rozwiązania równań azymutalnego i zenitalnego są
związane ponieważ oba zawierają tą samą liczbę mℓ.
Zazwyczaj grupuje się te rozwiązania w funkcje znane jako
harmoniki sferyczne:
Y (θ , φ ) = f (θ ) g (φ )
harmoniki sferyczne
Znormalizowane
harmoniki
sferyczne
( , )
Rozwiązania równań azymutalnego i
zenitalnego
Radialna funkcja falowa R i harmonika sferyczna Y wyznaczają
gęstość prawdopodobieństwa opisywanych stanów kwantowych.
Pełna funkcja falowa ( , , ) zależy od n, ℓ, i mℓ.
Funkcja falowa ma postać:
ψ nℓm (r , θ , φ ) = Rnℓ (r ) Ynℓm (θ , φ )
ℓ
ℓ
Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa
Funkcje falowe mogą być wykorzystane do obliczania rozkładów
prawdopodobieństwa elektronów.
"Pozycja" elektronu jest rozproszona po całej przestrzeni i nie jest
dobrze zdefiniowana.
Radialną funkcję falową R(r) możemy wykorzystać do obliczania
radialnego rozkładu prawdopodobieństwa elektronu.
Prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w różniczkowym
elemencie objętości dτ jest:
dP = ψ * ( r , θ , φ ) ψ ( r , θ , φ ) dx dy dz
Gdzie ten element objętości we współrzędnych sferycznych jest
dany wzorem:
dx dy dz = r 2 sin θ dr dθ dφ
Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa
Na chwilę weźmiemy pod uwagę tylko zależność radialną
Po scałkowaniu po wszystkich wartościach θ i φ:
π
P (r ) dr = r R*(r ) R (r ) dr ∫ f (θ ) sin θ dθ
2
2
0
∫
2π
0
g (φ ) dφ
2
Całki po θ i φ są stałymi.
Zatem radialna gęstość prawdopodobieństwa to P(r) = r2 |R(r)|2 i
zależy tylko od n i ℓ.
P(r ) dr = r R(r ) dr
2
2
Radialny
rozkład
prawdopodobieństwa
R(r) i P(r) dla najniżej
leżących stanów w
atomie wodoru.
Zauważmy, że Rn0 ma
w r = 0 maksimum!
Jednak czynnik r2
redukuje w tym
miejscu prawd. do
zera Tym niemniej
jest niezerowe prawd.
że elektron jest
wewnątrz jądra.
Funkcje rozkładu prawdopodobieństwa
Gęstość prawdopodobieństwa dla trzech różnych stanów
elektronowych w atomie wodoru.
Liczba kwantowa ℓ orbitalnego momentu
pędu.
Poziomy energetyczne są zdegenerowane ze względu na ℓ (energia
nie zależy od ℓ).
Dla oznaczenie różnych wartości liczby ℓ używamy liter:
ℓ=
0
1
2
3
4
5...
litera =
s
p
d
f
g
h...
Stany atomowe nazywamy zazwyczaj poprzez podanie dwu liczb
kwantowych n i ℓ.
Na przykład stan o n = 2 i ℓ = 1 nazywamy stanem 2p.
Liczba kwantowa ℓ orbitalnego
momentu pędu.
Występuje w częściach R(r) i f(θ) funkcji falowej.
Klasycznie orbitalny moment pędu jest równy
=
× " oraz L = m vorbital r.
Kwantowomechanicznie jednak,
L wiąże się z ℓ poprzez:
L = ℓ(ℓ + 1)ℏ
A w stanie ℓ = 0,
=
0(1)ℏ = 0
Tan wynik jest niezgodny z
semiklasycznym „planetarnym”
modelem Bohra elektronów krążących
wokół jądra L = nħ, gdzie n = 1, 2, …
W mechanice kwantowej nie
istnieją takie jak te orbity
klasyczne.
Z warunków brzegowych
równania azymutalnego na g(φ)
wynika, że mℓ jest liczba całkowitą
związaną z z-tą składową L:
Lz = mℓ ℏ
Na przykład dla ℓ = 2:
L = ℓ(ℓ + 1)ℏ = 6ℏ
Tylko niektóre orientacje
dopuszczalne
są
Ponadto (za wyjątkiem kiedy ℓ = 0)
nie znamy Lx i Ly!
Magnetyczna liczba
kwantowa mℓ
Szkic dowodu, że ‹L2› = ℓ(ℓ+1)ħ2
W związku, z symetrią sferyczną atomu, możemy zakładać, że
wszystkie składowe momentu pędu mają takie same wartości
średnie:
Lx
Ale, jak wiemy
&
=
2
= Ly
2
= Lz
2
ℓ%
Średniując po wszystkich wartościach mℓ
(zakładamy, że są tak samo prawdopodobne) mamy:
L2 = 3 Lz 2
 ℓ

2 2
= 3  ∑ mℓ ℏ  (2ℓ + 1) = ℓ (ℓ + 1)ℏ 2
 mℓ =− ℓ
 ℓ
bo:
∑
n = −ℓ
m 2 = ℓ(ℓ + 1)(2ℓ + 1) / 3
5.4: Efekt Zeemana
Holender, Pieter Zeeman w 1896
zaobserwował, że linie spektralne
emitowane przez atomy w polu
magnetycznym rozszczepiają się
na szereg poziomów.
Nukleon
Gdyby elektron traktować jako
ładunek krążący wokół jądra to
wytwarza on prąd ' = ()/(+. Jeśli
okres tego ruchu jest dany przez
, = 2. //, to:
1
2
1
' = − = − 345 = −
6
7
8
Pętla z prądem ma moment magnetyczny :
− /
µ = IA =
.
2.
2
−
=
2
/
e
µ=−
L
2m
gdzie L = mvr jest
wielkością
orbitalnego
momentu pędu
µ=−
Efekt Zeemana
e
L
2m
Energia potencjalna pola
magnetycznego jest równa:
VB = − µ ⋅ B
Jeśli pole magnetyczne ma tylko składową z, to i moment
magnetyczny µ ma tylko składową z :
e
e
µz = −
Lz = −
(mℓ ℏ) = − µ B mℓ
2m
2m
gdzie 9: =
1ħ
inazywa się magnetonem Bohra
Efekt Zeemana
Widzimy, że pole magnetyczne
rozszczepia poziomy mℓ.
Energia potencjalna jest
skwantowana i również zależy
od magnetycznej liczby
kwantowej mℓ.
Aby rozwiązać równanie
Schrödingera z polem
magnetycznym trzeba wprowadzić
nowy człon do energii:
VB = − µ z B = − µ B mℓ B
µ z = − µ B mℓ
Po przyłożeniu pola magnetycznego, poziom 2p atomu wodoru
ulega rozszczepieniu na trzy poziomy o różnej energii oddalone od
siebie o ∆E = µBB ∆mℓ.
mℓ
Energia
1
E0 + µBB
0
E0
−1
E0 − µBB
Efekt
Zeemana
Energia
Poziomy
przejścia z 2p
do 1s, również
ulegają
rozszczepieniu
przez pole
magnetyczne
Eksperyment Sterna Gerlacha
Wiązka atomów w stanie ℓ = 1 przechodzi przez niejednorodne pole
magnetyczne skierowane w kierunku osi z.
ekran
atomy p
VB = − µ z B
źródło
atomów
Fz = −(dVB / dz ) = µ z (dB / dz ) = − µ B mℓ ( dB / dz )
Stan o mℓ = +1 będzie odchylany w dół, stan mℓ = −1 w górę, a stan
mℓ = 0 nie będzie odchylany.
5.5: Spin
S
W 1925, holenderscy doktoranci
Samuel Goudsmit i George Uhlenbeck,
zapostulowali, że elektrony muszą
mieć wewnętrzny moment pędu
a, co za tym idzie i moment magnetyczny.
Nie byłoby z tym problemu gdyby nie obliczenia Paula
Ehrenfesta, który pokazał, że powierzchnia takiego elektronu
musiałaby wirować z prędkością nadświetlną!
Aby wyjaśnić obserwacje eksperymentalne, Goudsmit i
Uhlenbeck zaproponowali że elektrony muszą mieć
wewnętrzną spinową liczbę kwantową s = ½.
Spin
Elektron obdarzony spinem reaguje na pole
magnetyczne podobnie jak elektron orbitalny.
S
Magnetyczna spinowa liczba kwantowa ms
może przyjmować tylko dwie wartości, ms = ±½.
Podobnie jak dla & , również Sz = ms ħ.
Spin elektronu jest albo „do góry” (ms = +½)
albo „w dół” (ms = −½) lecz nigdy jego cały
moment magnetyczny µS nie jest
skierowany wzdłuż osi z, gdyż
S = s ( s + 1) ℏ = 3 / 4 ℏ
Notacja bra-ket dla atomu wodoru
Za pomocą notacji bra-ket możemy łatwo i skrótowo zapisać dany
stan atomu wodoru. Jako, że liczby n, ℓ, mℓ, i ms całkowicie
determinują stan kwantowy, możemy zapisać stan atomu jako:
ψ nℓm m = n ℓ mℓ ms
ℓ
s
Nie ma potrzeby zapisywania wielkości spinu s, gdyż ona zawsze
jest dla elektronów równa ½.
Szczególna postać funkcji falowej określona przy pomocy funkcji w
wielu przypadkach nie jest istotna i można ją pominąć.
W notacji bra-ket możemy również zapisać funkcję zespolenie
sprzężoną:
ψ n*ℓm m = n ℓ mℓ ms
ℓ
s
Ile wynoszą Sx i Sy?
Mechanika kwantowa mówi, że
niezależnie jak byśmy się starali to nie
możemy ich jednoczesnie zmierzyć!
S
Jeśli by się to nam udało,
uzyskalibyśmy ±½ ħ, tak jak dla Sz.
Ale wtedy ten pomiar zaburzyłby
pomiar Sz, która to wielkość
pozostałaby nieznana!
Całkowity spin jest S = s ( s + 1) ℏ = 3 / 4 ℏ = ( 12 ) 2 + ( 12 ) 2 + ( 12 ) 2 ℏ ,
więc byłoby kuszące stwierdzenie, że każda współrzędna
elektronu jest albo „do góry” (+½ ħ) albo „w dół” (ms = −½ ħ).
Ale tak nie jest! Te składowe są niemożliwe do wyznaczenia.
Jak dalej zobaczymy, nieokreśloność każdej z tych pozostałych
składowych jest równa ich maksymalnej możliwej amplitudzie
(½ ħ)!
5.6: Uogólniona zasada nieokreśloności
Zdefiniujmy komutator dwu operatorów A i B:
[ A, B ] ≡ AB − BA
Jeśli <, : = 0 to mówimy, że < i : komutują z sobą. Uogólniona
zasada nieokreśloności pomiędzy obserwablami < i : ma postać:
∆A ∆B ≥
1
2
∫
Ψ * [ A, B ] Ψ
Gdzie ∆< i ∆: są nieokreślonościami tych obserwabli. Jeśli < i :
komutują z sobą, to odpowiadające im wielkości fizyczne można
mierzyć jednocześnie. W przeciwnym wypadku nie można.
∂
∂
Przykład:  p, xɵ  Ψ ≡ pxɵ − xɵ p Ψ =  −iℏ  ( xΨ ) − x  −iℏ  Ψ


∂x 
∂x 


∂x
∂Ψ  
∂Ψ 

x
i
=  −iℏ Ψ − iℏx
−
−
ℏ
 
 = −i ℏΨ
∂x
∂x  
∂x 

Zasada
nieokreśloności
 p, xɵ  = −iℏ
czyli:
więc:
∆
p
∆
x
≥
ℏ
/
2


Heisenberga
(
)
Nieokreśloność momentu pędu i spinu
Jak już widzieliśmy, całkowity moment pędu, jego >-ta składowa i spin
mogą być mierzone jednocześnie. Z kolei ?-owa i @-owa składowe nie
mogą. Oto dlaczego. Okazuje się, że:
 Lx , Ly  = iℏLz
∆A ∆B ≥
Korzystając z:
 S x , S y  = iℏS z
i
1
2
∫
Ψ * [ A, B ] Ψ
Widzimy, że:
∆Lx ∆Ly ≥
1
2
∫
Ψ *iℏLz Ψ =
1
2
∫
Ψ *iℏ(mL ℏ)Ψ =
mL ℏ 2
2
A zatem uzyskaliśmy zasadę nieokreśloności pomiędzy ?-ową i @ową składową momentu pędu (o ile ≠ 0). Taka sama zasada
obowiązuje dla pozostałych par składowych oraz dla spinu.
Dwa rodzaje nieokreśloności w
mechanice kwantowej
1. Niektóre wielkości, mogą być zmierzone z dowolną precyzją ale
ich pomiar zaburza pomiar innych, np. B i +, " i ?, Lx i Ly,, Sx i Sy.
Jeśli zmierzymy precyzyjnie jedną wielkość to zasada
nieokreśloności nie pozwoli nam zmierzyć dokładnie drugiej,
która z nią nie komutuje. Na przykład, energię można zmierzyć
jedynie z dokładnością ħ /2∆t, gdzie ∆t jest czasem naszego
pomiaru, bo CBC+ ≥ %⁄ .
2. Jest jeszcze jeden rodzaj nieokreśloności związany z
nierozróżnialnością obiektów kwantowych o tych samych
zestawach liczb kwantowych. Według tej zasady, jeśli dwa
obiekty są w dokładnie tym samym stanie kwantowym – mają
identyczne zestawy liczb kwantowych, np.: |GH IH ℓH JH 〉 =
|G I ℓ J 〉 to ich rozróżnienie jest niemożliwe.
Wszystkie atomy w stanie podstawowym są nierozróżnialne.
5.7: Prawdopodobieństwa
przejść. Reguły
wyboru
Poziomy energetyczne
(bez pola magnetycznego)
zależą od głównej liczby
kwantowej n.
Elektrony mogą przechodzić
z dowolnego stanu n na
dowolny inny.
Jakie znaczenie mają tu
pozostałe liczby kwantowe ℓ
i mℓ ?
Aby obliczyć prawdopodobieństwa
przejścia elektronu z jednego
stanu do innego można
wykorzystać funkcję falowe
Reguły wyboru
Prawdopodobieństwo jest
proporcjonalne do średniego
momentu dipolowego
∫
d = Ψ er Ψ p
*
k
gdzie Ψp oraz Ψk
są początkowym i
końcowym stanem
elektronu
Dopuszczalne przejścia:
Electrony absorbując lub emitując fotony mogą zmieniać swój
stan tak aby ∆ℓ = ±1 oraz ∆mℓ = 0, ±1.
Przejścia zabronione:
Inne przejścia są możliwe lecz
dużo mniej prawdopodobne
∆G = dowolne
∆I = ±1
∆ Q = 0, ±1
5.8: Superpozycja stanów
Energia
Atom może być w stanie stacjonarnym ale
może też być w stanie zwanym superpozycją
(sumą) stanów stacjonarnych. Będąc w stanie
superpozycji atom porusza się…
E2 stan
wzbudzony
∆E = hν
E1 stan
podstawowy
Ψ (r , t ) = a1ψ 1 (r ) exp(−iE1t / ℏ) + a2ψ 2 (r ) exp(−iE2t / ℏ)
gdzie |ai|2 jest prawdopodobieństwem, że atom
znajduje się w stanie i.
Ciekawe jest, że prawdopodobieństwo znalezienia
atomu a takim stanie oscyluje w czasie:
Ψ (r , t ) = a1ψ 1 (r ) + a2ψ 2 (r ) +
2
2
2
2 Re[a1ψ 1 (r )a2*ψ 2* (r )]cos[( E2 − E1 )t / ℏ ]
Oscylacje mają częstość proporcjonalną do różnicy energii stanów
stacjonarnych.