Edudu.pl - Wartość bezwzględna jako odległość punktów na osi

Ściąga eksperta
Wartość bezwzględna jako odległość punktów na osi liczbowej
Twierdzenie
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x jest równa odległości punktu o współrzędnej x od punktu zerowego na osi OX.
Dane są dwa punkty na osi liczbowej: punkt A, oraz O- punkt zerowy. Liczba |x| jest odległością punktów A i O.
|AO|=|BO| zgodnie z własnością wartości bezwzględnej |x|=|-x|.
Przykład 1.
Rozwiąż równanie: |x|=3
Szukamy takich punktów na osi, których odległość od punktu 0 wynosi 3. Widać, że |x|=3 ⇔ (x=-3 ˅ x=3)
Przykład 2.
Rozwiąż nierówność: |x|<3
Szukamy takich punktów na osi, których odległość od punktu zerowego jest mniejsza od 3.
Tak więc: |x|<3 ⇔ (x>-3 ˄ x<3) ⇔ x∈ (-3,3) Przykład 3.
Rozwiąż |x|= - 1
Równanie to nie ma rozwiązania, gdyż odległość nie może być liczba ujemną.
|x|= - 1 ⇔ x∈∅
Przykład 4.
Rozwiąż |x|= 0
Jest tylko jeden taki punkt na osi liczbowej którego odległość od punktu zerowego wynosi 0. Jest to punkt 0.
Zatem |x|= 0 ⇔ x=0
Przykład 5.
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Strona 1/2
Ściąga eksperta
Rozwiąż |x|> -2
Odległość jest liczbą nieujemną, jest więc zawsze większa od -2, nierówność jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste. |x|> -2 ⇔ x ∈ R
Przykład 6.
Rozwiąż nierówność: |x-2| ≥ 1
Szukamy współrzędnych takich punktów na osi liczbowej , których odległość od punktu 2 jest większa bądź równa 1.
|x-2| ≥ 1 ⇔ x ∈ (-∞,1>ᴗ<3,+∞)
Wnioski:
Jeśli a>0, to
|x|=a ⇔ (x=-a ˅ x=a)
|x|-a ˄ x |x|≤ a ⇔ (x≥-a ˄ x≤a) ⇔ x ∈ <-a,a>
|x|>a ⇔ (x<-a ˅ x>a) ⇔ x ∈ (-∞,a)ᴗ(a,+∞)
|x|≥a ⇔ (x≤-a ˅ x>a) ⇔ x ∈ (-∞,a>ᴗ
www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line
Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)
Strona 2/2