CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Zad.1 Zbadać zbieżność punktową i

CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
Zad.1 Zbadać zbieżność punktową i jednostajną następujących ciągów funkcyjnych:
0 dla x ≤ n,
(a) fn : R → R, fn (x) =
1 dla x > n;
(b) fn : [0, +∞) → R, fn (x) = n ln(1 + nx );
(sprawdzić na przedziale [0, c], gdzie c > 0)
(c) fn : [− 21 , 1] → R, fn (x) = xn ;
(sprawdzić na przedziale [− 12 , c], gdzie 0 < c < 1)
(d) fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn − xn+1 ;
(e) fn : [0, 1] → R, fn (x) = xn − x2n ;
(f) fn : (0, +∞) → R, fn (x) = ne−nx ;
(g) fn : (0, +∞) → R, fn (x) =
1
;
x+n
xn
,
1+xn
na przedziałach [0, 1 − ε], [1 − ε, 1 + ε], [1 + ε, +∞);
√
(i) fn : [0, +∞) → R, fn (x) = n 1 + xn ;
(h) fn (x) =
(j) fn : R → R, fn (x) =
sin nx
;
n
(k) fn : R → R, fn (x) = sin nx ;
(l) fn : R → R, fn (x) =
(m) fn : R → R, fn (x) =
nx2 +3
;
2n
q
x2 +
1
;
n2
√
2
(n) fn : [0, +∞) → R, [fn : (δ, +∞) → R, δ > 0] fn (x) = x ne−nx .
Zad.2* Udowodnić, że suma dwóch jednostajnie zbieżnych ciągów funkcji ciągłych jest ciągiem
jednostajnie zbieżnym. Udowodnić to samo dla iloczynu przy założeniu, że a ≤ x ≤ b. Pokazać, że
twierdzenie jest fałszywe dla przedziałów otwartych, biorąc pod uwagę:
1
1
fn (x) = x(1 − ), gn (x) = 2 .
n
x
Zad.3* Dany jest ciąg funkcji ciągłych f1 , f2 , . . . w przedziale [a, b] i funkcja ciągła f : [a, b] → R.
Udowodnić, że na to, by ten ciąg był jednostajnie zbieżny do funkcji f potrzeba i wystarcza, aby
warunek limn→∞ xn = x pociągał za sobą limn→∞ fn (xn ) = f (x).
Zad.4 Znaleźć sformułowania kryteriów Dirichleta i Abela zbieżności szeregów funkcyjnych i rozwiązać co najmniej po jednym przykładzie wykorzystującym te kryteria.
Zad.5 Określić obszary zbieżności szeregów i przedyskutować ich jednostajną zbieżność:
P∞ 2n sinn x
P∞ 3 n
(a)
(g)
,
n=1
n=1 n x ,
n2
P∞ n
P∞ √n
x
(h)
(b)
n=1 2 sin 3n ,
n=1 xn ,
P∞ (−1)n 1−x n
P∞ h x(x+n) in
(c)
,
(i)
,
n=1 2n−1 1+x
n=1
n
P∞ −n(x2 +sin x)
P∞
xn
(d)
,
(j)
n=1 e
n=1 1+x2n ,
P∞ (−1)n
P∞
1
(e)
(k)
n=1 x+2n ,
n=1 (1+nx)2 .
P∞
nx
(f)
n=1 1+n5 x2 ,
P
1
Zad.6* Niech ∞
n=1 an będzie zbieżny (an > 0 dla każdego n ≥ 1). Pokazać, że
P∞
1
(a)
n=1 x−an jest jednostajnie zbieżny na dowolnym przedziale domkniętym i ograniczonym K ⊂
R \ {a1 , a2 , . . .};
P∞ cos nx
(b)
jest jednostajnie zbieżny na R.
n=1 an
Zad.7 Wyznaczyć promienie zbieżności następujących szeregów potęgowych i zbadać zbieżność szeregów na krańcach przedziału zbieżności:
P∞ xn
P∞ (x−1)2n
(a)
(e)
,
n=1 n+1 ,
n=1 n9n
P∞ n
P∞ n!
n
(f)
(b)
n=1 n (x + 3) ,
n=1 x ,
P∞
P∞
(x−3)2n
n n n
(c)
(g)
n=1 (2 + (−1) ) x ,
n=1 (n+1) ln(n+1) ,
P∞ n2 n2
(d)
·x ,
n=1 2
R1
P
(−1)n+1
1
Zad.8* Korzystając z równości 0 xn = n+1
znaleźć sumę szeregu ∞
n=1 3n−2 .
Zad.9 Obliczyć sumę szeregu
P∞ (−1)n n2 x2n+1
P∞ 2 n
(d)
,
(a)
n=1
n=1 n x ,
(2n+1)!
P∞ (−1)n x2n+1
P∞ (−1)n−1 x2n
,
(b)
(e)
n=1
2n+1
n=1 n(2n−1) ,
P∞ xn
P∞ xn
(c)
xn+1
n=1 n ,
(f)
−
n=1 n+1
n
P
P
(−1)n
π
Z przykładu (b) wywnioskować, że ∞
a z przykładu (c), że ∞
n=1 2n+1 = 4 , P
n=1
n
a
(x
−
x
)
,
jeżeli
Zad.10 Znaleźć promień zbieżności szeregu f (x) = ∞
0
n=0 n
(a) f (x) =
(b) f (x) =
1
, x0 = −1 ,
x2 +2x+2
1
, x0 = 0 ,
x4 +3x2 +2
(c) f (x) =
1
, x0
x2 −x−6
=1,
Zad.11 Rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu x0 następujące funkcje:
(a) f (x) =
2x4 −3x3 +8x2 −9x+8
, x0
(2x−3)(x2 +4)
=0,
(b) f (x) = ln(4 + 3x − x2 ), x0 = 2 ,
(c) f (x) = arcsin x, x0 = 0 ,
(d) f (x) = arctg x+3
,
x−3
(e) f (x) =
1
, x0
(x−1)2
= 0.
(−1)n−1
n
= ln 2.