Analiza - Ciągi i szeregi funkcyjne Ciągi funkcyjne Zadanie 1
Transkrypt
Analiza - Ciągi i szeregi funkcyjne Ciągi funkcyjne Zadanie 1
Analiza - Ciągi i szeregi funkcyjne Ciągi funkcyjne Zadanie 1. Wyznaczyć obszary zbieżności punktowej i funkcje graniczne następujących ciągów funk1 , (c) hn : R → R, cyjnych: (a) fn : R → R, fn (x) = xn , (b) gn : (0, ∞) → R, gn (x) = 1 + nx 2 2 hn (x) = 2n2 xe−n x . Czy zbieżność tych ciągów jest jednostajna na ich obszarach zbieżności punktowej? Określić na jakich zbiorach zachodzi zbieżność jednostajna. Zadanie 2. Wyznaczyć obszar zbieżności punktowej i funkcję graniczną ciągu funkcyjnego {fn } określonego na R wzorem: fn (x) = arc tg nx. Wykazać, że {fn } nie jest zbieżny jednostajnie na R, ale jest zbieżny jednostajnie na każdym zbiorze postaci (−∞, −a] ∪ [a, +∞), gdzie a > 0. Zadanie 3. Wyznaczyć funkcje graniczne i zbadać charakter zbieżności następujących ciągów funk3 gn (x) = 3n x 2 , hn (x) = n x 2 , cyjnych określonych na R : fn (x) = 2n x 2 , n +x n +x 1 + nx q −nx e n n ϕn (x) = x + n , ψn (x) = 1 + |x| . Szeregi funkcyjne ∞ X ln(1 + nx) Zadanie 4. Pokazać, że szereg funkcyjny nxn n=1 jest zbieżny jednostajnie na każdym prze- dziale [a, +∞) dla każdego a > 1. Zadanie 5. Zbadać, czy następujące szeregi funkcyjne są jednostajnie zbieżne na przedziale [0, 1] : ∞ ∞ ∞ xn (1 − x) P P P n , (b) x (1 − x), (c) xn · (1 − x)n . (a) n n=1 n=1 n=1 ( Zadanie 6. Niech fn : [1, +∞) → R, fn (x) = Pokazać, że szereg funkcyjny ∞ X 1 x 0 dla x ∈ [n, n + 1), w pozostałych przypadkach. fn (x) jest zbieżny jednostajnie na przedziale [1, +∞), mimo że nie n=1 ma tu zastosowania kryterium Weierstrassa (majoryzowanie przez szereg liczbowy). Całkowanie i różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych ( Zadanie 7. Niech fn : R+ → R, fn (x) = Sprawdzić, czy lim Z n→∞ 0 +∞ fn (x)dx = 0 lim fn (x)dx. Jeśli nie, to dlaczego? n→∞ ∞ X n=1 +∞ x ¬ π/n, x > π/n. +∞ Z Zadanie 8. Niech f : R → R, f (x) = Z n sin nx; 0; n4 1 . Pokazać, że f jest funkcją ciągłą na R i obliczyć + x2 f (x)dx. 0 Zadanie 9. Niech r > 0 będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego ∞ X an xn i niech f : n=1 (−r, r) → R będzie sumą tego szeregu na (−r, r). Wykazać, że f jest klasy C 1 , a ponadto, dla dowolnego x ∈ (−r, r) mamy: f 0 (x) = ∞ X ∞ X an nxn−1 (różniczkowanie wyraz po wyrazie) oraz n=1 an n+1 x (całkowanie w sensie nieoznaczonym wyraz po wyrazie). n=1 n + 1 1 Z f (x)dx = Szeregi potęgowe (Taylora) Zadanie 10. Znaleźć promienie zbieżności, przedziały zbieżności i wyznaczyć sumy następujących szeregów potęgowych: ∞ ∞ ∞ n+1 2n n n X ∞ ∞ x n(2n + 1) 2n P P xn , (c) X 2 x , (d) X 3 , (e) x . (a) n xn , (b) n n n4 6n n=1 n=1 n=1 n=0 n + 1 n=1 Do sumowania wykorzystać fakty z Zadania 9. Zadanie 11. Funkcja f : R → R jest określona wzorem: f (x) = 1 + 2 · 3x + · · · + n · 3n−1 xn−1 + . . .. Pokazać, że f jest ciągła na przedziale − 31 , 13 i obliczyć całkę Z 1/8 f (x)dx. 0 Zadanie 12. Następujące funkcje rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu podanych punktów: √ (a) f (x) = ln x w otoczeniu punktu x0 = 1, (b) f (x) = x3 w otoczeniu punktu x0 = 1, (c) f (x) = 1 x w otoczeniu punktu x0 = 3. Zadanie 13. Rozwinąć w szereg Maclaurina następujące funkcje: 1 1 1 (a) f (x) = , (b) f (x) = , (c) f (x) = , (d) f (x) = ln(1 + x), 2 x−1 (x − 1) 1 + x3 2 (e) f (x) = e−x , (f) f (x) = sin(x2 ), (g) f (x) = (1 + x)α , α > 0, 4x + 6 x−3 3x + 1 , (j) f (x) = , (k) f (x) = 2 , (i) f (x) = 1−x x−2 2x − 6x + 4 Zadanie 14. Przedstawić wartość całki nięcie z Zadania 13 (k). R1 sin x x 0 (h) f (x) = x · sin x, sin x (l) f (x) = . x dx w postaci szeregu liczbowego. Wykorzystać rozwi- Szeregi trygonometryczne (Fouriera) Zadanie 15. Wywieść z kryterium Diniego następujące kryterium Dirichleta. Niech f : R → R będzie ograniczoną funkcją 2π-okresową, przedziałami monotoniczną, o skończonej liczbie punktów nieciągłości w przedziale [−π, π]. Wówczas jej szereg Fouriera ma sumę f (x0 ), gdy x0 jest punktem ciągłości f, oraz sumę f (x0 + 0) + f (x0 − 0) , 2 gdy x0 jest punktem nieciągłości f. Zadanie 16. Niech f : R → R będzie funkcją 2π-okresową, taką że f (x) = x2 dla x ∈ [−π, π]. Rozwinąć ją w szereg Fouriera i wyprowadzić następujące wzory: ∞ ∞ P P 2 (−1)n−1 π2 1 = , (b) = π12 . (a) (wzór Eulera) 2 n 6 n2 n=1 n=1 Zadanie 17. Niech f : R → R będzie funkcją 2π-okresową, taką że f (x) = |x| dla x ∈ [−π, π]. Rozwinąć ją w szereg Fouriera i wyprowadzić wzór: ∞ X 1 π2 = . 2 8 n=1 (2n − 1) Zadanie 18. Niech f : R → R będzie taką funkcją 2π-okresową, że f (x) = 0; x; π; x ∈ (−π, 0) ∪ {π}, x ∈ [0, π), x = −π. Rozwinąć ją w szereg Fouriera i wyprowadzić wzór w Zadania 17. Koncept, wybór i kod: W.R., A.G.(R.) 2