Parametry opisowe zminnej losowej

Parametry opisowe zmiennej losowej
Momenty
wartość oczekiwana
wariancja
współczynnik zmienności
współczynnik asymetrii
współczynnik spłaszczenia
Parametry pozycyjne
moda (dominanta)
kwantyle (w szczeg. mediana)
Def.
I Niech X będzie dyskretną zmienną losową
W = {x1 , x 2 , x 3 ,...},
p k := Pξ ( x k ) = P (= x k ) .
∞
Jeśli
∑x
k
p k < ∞ , to liczbę
k =1
∞
E ( X ) := ∑ x k p k
k =1
nazywamy wartością oczekiwaną (przeciętną, średnią) zmiennej losowej X .
II Niech X będzie ciągłą zmienną losową o gęstości f.
Jeśli ∫ x f ( x ) dx < ∞ , to liczbę
R
E ( X ) := ∫ x f ( x ) dx
R
nazywamy wartością oczekiwaną zmiennej losowej X .
Oznaczenie. E ( X ) = m .
Własności
Niech X 1 , X 2 : Ω → R zmienne losowe.
Jeśli istnieją wartości oczekiwane E ( X 1 ) oraz E ( X 2 ) , to
1. istnieje E ( X 1 + X 2 ) i E ( X 1 + X 2 ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) ,
2. ∀ c ∈ R E (cX 1 ) = cE ( X 1 ) ,
3. ∀ c ∈ R E (c ) = c ,
4. jeśli X 1 ≥ 0 , to E ( X 1 ) ≥ 0 ,
5.
E(X1 ) ≤ E( X 1 ) .
Wniosek
Jeśli X 1 ,..., X n będą zmiennymi losowymi o takiej samej wartości oczekiwanej m oraz
S n = X 1 + ... + X n , to
1. E (S n ) = nm ,
S 
2. E  n  = m .
 n 
Niech X : Ω → R będzie zmienną losową, a m := E ( X ) wartością oczekiwaną tej zmiennej
losowej.
Def.
2
Jeśli istnieje E ( X − m ) < ∞ , to tę liczbę nazywamy wariancją zmiennej losowej X
i oznaczamy
2
D 2 ( X ) := E ( X − m )
( wartość oczekiwana kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej wartości oczekiwanej ).
(
)
(
)
Twierdzenie
( )
D 2 (X ) = E X 2 − E 2 (X ) .
Dowód:
2
D 2 ( X ) = E ( X − m ) = E X 2 − 2mX + m 2 = E X 2 − 2mE ( X ) + m 2 = E X 2 − m 2
(
) (
) ( )
( )
Uwaga
I JeŜeli zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, to
∞
( )
E X 2 = ∑ x k2 p k ,
k =1
∞
D 2 ( X ) = ∑ (x k − m ) p k .
2
k =1
II JeŜeli zmienna losowa X ma rozkład ciągły, to
2
E X 2 = ∫ x 2 f ( x ) dx ,
D 2 ( X ) = ∫ ( x − m ) f ( x ) dx .
( )
R
R
Własności
Jeśli X jest zmienną losową dla której E X 2 < ∞ , to istnieje D 2 ( X ) oraz dla dowolnej
stałej c ∈ R mamy:
1. D 2 ( X ) ≥ 0 ,
2. ∀ c ∈ R D 2 (cX ) = c 2 D 2 ( X ) ,
3. ∀ c ∈ R D 2 ( X + c ) = D 2 ( X ) ,
( )
4. D 2 ( X ) = 0 ⇔ P ( X = c ) = 1 .
Def.
Liczbę σ X := D 2 ( X ) = D( X ) nazywamy odchyleniem standardowym (rozrzutem,
dyspersją) zmiennej losowej X .
Def.
Zmienną losową X nazywamy standaryzowaną, jeśli
E(X ) = 0 i D 2 (X ) = 1 .
Uwaga
Jeśli X : Ω → R zmienna losowa oraz σ X > 0 , to U =
standaryzowaną.
X − E(X )
σX
jest zmienną losową
Momenty
Momenty dzielimy na
• momenty absolutne i względne oraz
• momenty zwykłe i centralne.
Def.
Momentem absolutnym rzędu k nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej
k
X − C , gdzie C ∈ R tzw. punkt odniesienia dla k ∈ N , czyli
(
E X −C
k
).
Def.
Momentem względnym rzędu k ( momentem rzędu k) nazywamy wartość oczekiwaną
k
zmiennej losowej ( X − C ) dla k ∈ N , czyli
(
)
E (X − C ) k .
Def.
Momenty, dla których punkt odniesienia C = 0 nazywają się momentami zwykłymi.
Ozn. mk = E (X k ).
W szczególności m1 = E ( X ) .
Def.
Momenty, dla których punkt odniesienia C = E ( X ) nazywamy momentami centralnymi.
(
)
Ozn. µ k = E ( X − E ( X )) .
k
W szczególności µ 2 = D 2 ( X ) .
Def.
Funkcję ϕ : R → R nazywamy borelowską, jeśli ∀ y ∈ R ϕ −1 ((− ∞; y )) ∈ Β(R ) .
Uwaga
Jeśli ϕ jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale, to ϕ jest borelowska w tym przedziale.
Uwaga
Jeśli X : Ω → R zmienna losowa, ϕ : R → R funkcja borelowska, to złoŜenie ϕ o X : Ω → R
jest zmienną losową.
Twierdzenie
Niech ϕ : R → R będzie funkcją borelowską, X : Ω → R zmienną losową.
I Jeśli X ma rozkład dyskretny oraz
∑ ϕ (x ) p
i
i
< ∞ , to istnieje E (ϕ ( X )) i
i∈I
E (ϕ ( X )) = ∑ ϕ ( xi )pi .
i∈I
II Jeśli X ma rozkład ciągły o gęstości f oraz
∫ ϕ (t ) f (t ) < ∞ , to istnieje E (ϕ ( X )) i
R
E (ϕ ( X )) = ∫ ϕ (t ) f (t )dt .
R
Przy czym całkowalność jednej ze stron implikuje całkowalność drugiej i równość całek.
Def.
Współczynnik zmienności to stosunek V =
σX
E(X )
Miarę tę podajemy w procentach, tzn. V ⋅100% .
.
Asymetria rozkładu
Def.
Mówimy, Ŝe dyskretna zmienna losowa X ma rozkład symetryczny, jeśli
∃ a ∈ R ∀ xi ≤ a ∃ x j ≥ a : P ( X = xi ) = P (X = x j ) (i, j ∈ N ) oraz a − xi = x j − a .
Def.
Mówimy, Ŝe ciągła zmienna losowa X ma rozkład symetryczny, jeśli
∃ a ∈ R ∀ x − punktu ciągłości f zachodzi warunek f (a − x ) = f (a + x ) .
Punkt a nazywamy środkiem symetrii, prostą x = a osią symetrii.
Uwaga
Jeśli zmienna losowa ma rozkład symetryczny, to E ( X ) = a . Zatem dla dowolnego
k = 1,3,5,... µ k = 0 .
Def.
Jeśli rozkład nie jest symetryczny, to nazywamy go asymetrycznym.
Def.
Niech σ X będzie odchyleniem standardowym zmiennej losowej X.
Współczynnikiem asymetrii (skośności) nazywamy wyraŜenie γ 1 =
µ3
.
σ X3
Jeśli γ 1 > 0 (⇔ µ 3 > 0 ) , to mówimy Ŝe asymetria rozkładu jest dodatnia (prawostronna).
Jeśli γ 1 < 0 (⇔ µ 3 < 0 ) , to mówimy Ŝe asymetria rozkładu jest ujemna (lewostronna).
Def.
Współczynnikiem spłaszczenia (kurtozą, ekscesem) nazywamy wyraŜenie γ 2 =
które mierzy stopień koncentracji rozkładu wokół wartości średniej.
µ4
−3,
σ X4