WMiI - Algebra - Ćwiczenia Arkusz 1

WMiI - Algebra - Ćwiczenia
Arkusz 1 - GRUPY, PODGRUPY - PODSTAWOWE WŁASNOŚCI
Zadanie 1. Wykaż, że w grupie G dla dowolnych a, b ∈ G zachodzi równość (ab)−1 = b−1 a−1 .
Zadanie 2. Wykaż, że w grupie G dla dowolnego a ∈ G zachodzi równość (a−1 )−1 = a.
Zadanie 3. Sprawdź, czy (G, ∗) jest grupą abelową:
ab
,
5
a
b
d) G = Z, a ∗ b = (−1) b + (−1) a.
a) G = Z, a ∗ b = a + b + 2,
c) G = R \ {−5}, a ∗ b = a + b +
b) G = (1, ∞), a ∗ b = ab − a − b + 2,
√
Zadanie 4. Wykaż, że zbiór G = {a + b 2 : a, b ∈ Q, a2 + b2 > 0} jest grupą ze względu na mnożenie.
Zadanie 5. Sprawdź, że zbiór G = {z ∈ C : |z| = 1} jest grupą względem mnożenia liczb.
Zadanie 6. Niech Zn = {0, 1, . . . , n − 1}. Dla danego n zbuduj tabelki działań +n i ·n
a) n = 2
b) n = 4
c) n = 6
Zadanie 7. Niech n ∈ N. Udowodnij, że zbiór (Zn , +n ) tworzy grupę abelową.
Zadanie 8. Niech n ∈ N i Φ(n) = {k ∈ Zn : (k, n) = 1}. Udowodnij, że zbiór (Φ(n) jest grupą względem
mnożenia modulo n obciętego do Φ(n). Zbuduj tabelki działań w grupach Φ(5), Φ(12).





a


a 
 (−1)


Zadanie 9. Sprawdź, że zbiór macierzy postaci M = 
,
gdzie
a
∈
Z
tworzy grupę abelową







a


0
(−1)
względem mnożenia macierzy.
˜ k̃ ∈ SL(2, C) będą określone następująco:
Zadanie 10. Niech macierze 1̃, ĩ, j,







 1 0 
 i 0 
 0 1 
 0 i







˜
1̃ = 
, ĩ = 
, j = 
, k̃ = 
0 1
0 −i
−1 0
i 0


.

˜ ±k̃, a następnie sprawdź, że para (Q8 , ·) jest
Zbuduj tabelkę mnożenia macierzy w zbiorze Q8 := ±1̃, ±ĩ, ±j,
grupą.
Zadanie 11. Sprawdź, że zbiór Z jest grupą względem działania ∗ określonego w zbiorze Z wzorem



 a + b dla a ∈ 2Z
a∗b = 

 a − b dla a < 2Z
Zadanie 12. Niech A będzie zbiorem wszystkich przedziałów domkniętych < a, b > na prostej, gdzie a 6 b.
Sprawdź, czy A jest grupą względem działania ⊕ określonego w A wzorem
< a, b > ⊕ < c, d >=< a + c, b + d > .
Zadanie 13. Niech X bedzie dowolnym zbiorem. Czy następujące struktury są grupami
a) (P (X), ∩),
b) (P (X), ∪).
Zadanie 14. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Sprawdź, że (P (X), 4), gdzie 4 oznacza różnicę symetryczną określonego wzorem A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A).
Zadanie 15. Udowodnij, że dla dowolnych grup (G1 , ◦), (G2 , ∗) produkt kartezjański G1 × G2 jest grupą
względem działania określonego wzorem
(a1 , a2 ) (b1 , b2 ) = (a1 ◦ b1 , a2 ∗ b2 ).
Zadanie 16. Utwórz tabelkę działania w podanej grupie
1
WMiI - Algebra - Ćwiczenia
a) Z2 × Z2 ,
b) {−1, 1} × Z3 .
Zadanie 17. Wykaż, że w grupie G równość a2 = a zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy a = e.
Zadanie 18. Wykaż, że jeśli dla każdego a ∈ G zachodzi równość a2 = e, to G jest grupą abelową.
Zadanie 19. Rozwiąż równania w grupie (G, ∗)
a) (x ∗ a)−1 = b ∗ a−1 ∗ b2 ,
b) a ∗ (b−1 ∗ x)−1 = a−1 .
Zadanie 20. Wyznacz wszystkie podgrupy grupy Z10 .
Zadanie 21. Wyznacz wszystkie podgrupy grupy Φ(10).
Zadanie 22. Niech H1 , H2 bedą podgrupami grupy abelowej G. Udowodnij, że zbiór
H1 + H2 := {h1 + h2 : h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 }
jest podgrupą grupy G oraz, że podgrupa ta jest najmniejszą (w sensie inkluzji) podgrupa grupy G zawierającą każdą z podgrup H1 , H2 .
Zadanie 23. Niech H1 , H2 będą podgrupami grupy (G, ∗). Która ze struktur tworzy podgrupę grupy (G, ∗).
a) H1 ∪ H2
b) H1 ∩ H2
√
√
Zadanie 24. Niech Q( 3) = {a + b 3 : a, b ∈ Q}. Wykaż, że
√
a) Q( 3) jest podgrupą grupy (R, +),
√
b) Q( 3) \ {0} jest podgrupą grupy (R∗ , ·).
Zadanie 25. Określ, która struktura jest podgrupą grupy M2 (R)
a) Ha = {A ∈ M2 (R) : det(A) ∈ Q},



 1 0
b) Hb = 

 c 1
2





 ∈ M (R) : c ∈ R
.


2

