Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję

Lista
Algebra z Geometrią Analityczną
Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
• (N, ∗), (Z, +) (Z, −), (R, ∗), (Q \ {0}, ∗)
• czym jest element neutralny i przeciwny w grupie? , wyznacz te elementy w powyższych grupach.
Zadanie 2 Które z podanych struktur są ciałami:
• (N, +, ∗, 0, 1), (Z, +, ∗, 0, 1), (Q, +, ∗, 0, 1), (R, +, ∗, 0, 1)
• czy dodawanie i mnożenie w ciele muszą być przemienne?
Lizcby zespolone.
Zadanie 3 Wykonaj działania na liczbach zespolonych.
1. (3 + 4i) + (7 − 5i), (2 + i) − (3 + 2i)
2. (1 + i) ∗ (1 − i), (a + bi) ∗ (c + di)
3.
1+2i 2+i 3+8i a+bi
,
, 2i , c+di
3+4i 2−i
Zadanie 4
• Rozwiąż równanie (2 − 3i)x + (1 − i) = ix + 4
• rozwiąż układ równań
x + iy = 1
ix + y = −1
Zadanie 5 Rozwiąż równania
1. x2 + 2x + 3 = 0
2. x2 + ix + 1 = 0
Zadanie 6 Dla wybranej liczby zespolonej z wyznacz i przedstaw na płaszczyźnie zespolonej: z̄, |z|,
Re(z), Im(z), arg(z).
Zadanie 7 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory
1. {z : Re(z) ≥ 4}
2. {z : |z| ≤ 3}
3. {z : 2 ≤ |z| ≤ 3}
Zadanie 8 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory
1. {z : π ≤ arg(z) ≤ 23 π}
2. {z : 0 ≤ arg(z) ≤ π ∧ 2 ≤ |z| ≤ 3}
1
√
Zadanie
9
Przedstaw
w
postaci
trygonometryczne
liczby
zespolone
4,
2i,
i
+
1,
i
−
1,
2
−
2
3i,
√
−3 − 3 3i.
√
Zadanie 10 Oblicz (1 + i)40 , (1 − 3i)30
Zadanie 11 Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że z 6 = 1, przedstaw rozwiązanie na płaszczyźnie zespolonej.
√
Zadanie 12 Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że z 5 = 2 − 2 3i
Zadanie 13
• Przypomni wzór eix = ...
π
• oblicz eiπ , 4ei 2 , e3+iπ , e2+3i
• znajdź x, y takie, że: yeix = 1 + i, yeix = i
Wielomiany.
Zadanie 14
1. Wykonaj dzielenie wielomianu x3 + 4x2 + 6x + 1 przez wielomian 2x2 + 1 .
2. Bez wykonywania dzielenia sprawdź, że welomian x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 jest podzielny przez
x−1
Zadanie 15 Reszta z dzielenia wielomianu f (x) przez x − 1 jest równa 3, a reszta z dzielenia f (x)
przez x − 4 jest równa 5. wyznacz resztę z dzielenia wielomianu f (x) przez (x − 1)(x − 4).
Zadanie 16 Wyznacz krotność pierwiastka x0 wielomianu f (x):
1. f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 1)(x2 − 1), x0 = 1
2. f (x) = 3x5 + 2x4 + x3 − 10x − 8, x0 = −1
Zadanie 17 Wyznacz wymierne pierwiastki wielomianu
15x4 − 11x3 + 17x2 − 11x + 2
Zadanie 18 Wyznacz wielomian f (x) taki, że f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 5.
Zadanie 19 Przedstaw wielomian x4 + 1 jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych
stopnia nie większego niż dwa.
Zadanie 20 Przedstaw wielomian x6 + 1 jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych
stopnia nie większego niż dwa.
Zadanie 21
• Przypomnij definicję funkcji wymiernej, podaj przykłady,
5
3
2
+2x +1
• przedstaw funkcję f (x) = x +3x
jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej, której licznik
x2 +x+2
ma stopień mniejszy niż stopień mianownika.
Zadanie 22
dy,
• Przypomnij które funkcje wymierne nazywamy ułamkami prostymi, podaj przykła-
• przedstaw funkcję f (x) =
2
x2 −4
jako sumę ułamków prostych.
2
Zadanie 23 Przedstaw jako sumę ułamków prostych następujące funkcje wymierne:
x2
x+1
x
1
2
, 2
, 3
, 4
2
− 3x + 2 x + 2x + 1 x − x + x − 1 x + 2x2 + 1
.
Geometria.
Zadanie 24
• Wyznacz współrzędne wektora którego początek i koniec leżą w punktach A =
(3, 7), B = (1, 4). Podaj przykład innego wektora o tych samych współrzędnych, oblicz jego długość.
• Wykonaj działanie [1, 2, 7] + 3[3, 4, 1] − 2[1, 2, 1].
• Wyznacz początek wektora o współrzędnych [3, 7, 1] którego koniec leży w punkcie (1, 3, 2).
• Oblicz [1, 2, 3] ◦ [1, −3, −2], [2, 7] ◦ [14, −4]
• Jaki jest związek iloczynu skalarnego z prostopadłością wektorów.
Zadanie 25 Wyznacz rzut wektora [2, 1, 4] na wektor [1, 1, 1].
Zadanie 26
• Podaj wzór łączący kąt między wektorami z iloczynem skalarnym.
• Podaj kąt między wektorami [2, 3, 4], [2, 1, 1].
Zadanie 27 Niech A = (2, 4), B = (7, 8).
• Znajdź środek odcinka AB.
• Znajdź punkt dzielący odcinek AB w stosunku 3 : 4.
Zadanie 28 Trzy wierzchołki pewnego równoległoboku leżą w punktach o współrzędnych: (1, 1, 2), (1, 6, 1), (3, 2, 5).
Oblicz współrzędne czwartego wierzchołka.
Zadanie 29
• Znajdź współrzędne wektora prostopadłego do prostej o równaniu y = 2x + 4.
• Podaj odległość punktu (1, 2) od płaszczyzny o równaniu x + 2y + 2 = 0.
Macierze.








2 1 1
7 0 1 7 3 7 6
2
1
1
3
2
1
1
3
Zadanie 30 Oblicz: 2 6 5 4 + 3 0 5 0 ,
∗ 3 5 ,
∗ 4 5  +
6 5 4
1 2 3
4 2
1 0 3
4 0 3
4 1
3 2
Zadanie 31
• Napisz przykład macierzy wymiaru [aij ] wymiaru 4 × 5 nad liczbami rzeczywistymi.
Podaj następujące jej elementy a1,2 , a3,3 , a4,5
• Niech A ∈ Rn×m , B ∈ Rk×l . Dla jakich m, n, k, l wykonalne są działania A + B, B + A, A −
B, AB, BA, rA, gdzie ostatnie działanie jest mnożeniem przez skalar?
Zadanie 32 Czy dodawanie macierzy jest łączne i przemienne, czy mnożenie macierzy jest łączne i
przemienne? Podaj odpowiednie przykłady.
Zadanie 33
• Przypomnij kiedy macierz nazywamy diagonalną, górnotrójkątną, trójkątną.
3


 


5 0 0
7 0 0
5 0 0
7 0 0
• Wykonaj obliczenia i sformułuj odpowiednią hipotezę. 0 6 0 0 8 0 , 1 6 0 3 8 0 ,
0 0 7
0 0 9
2 5 7
1 2 9
10 
−1
2 0 0
7 0 0
Zadanie 34 Oblicz 0 5 0 , 0 5 0
0 0 3
0 0 3

2 3
Zadanie 35 Niech A =
1 5
−1
2 0 2 3
. Oblicz A10
0 3 1 5
Przestrzenie liniowe.
Zadanie 36
• Podaj definicje podprzestrzen liniowej.
• Opisz geometrycznie podprzestrzenie przestrzeni liniowej R3 .
• Pokaż, że zbiór {(x, y, 0) : x, y ∈ R} jest podprzestrzenią przestrzeni R3 .
• Pokaż, że zbiór {(x, y, z) : x + y + 2z = 0} jest podprzestrzenią przestrzeni R3 .
• Czy zbiór {(x, y, z) : x + y + 2z = 1} jest podprzestrzenią przestrzeni R3 .
• Czy zbiór {(x, y, z) : x, y, z > 0} jest podprzestrzenią przestrzeni R3 .
Zadanie 37 Pokaż, że zbiór {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + 2y = 0, z − t = 0} jest podprzestrzenią przestrzeni
R4
Zadanie 38 Wektory [3, −2, 5], [0, 1, 1] przestrzeni liniowej R3 przedstaw jako kombinacje liniowe
wektorów:
1. [1, −2, 3], [1, 0, 1], [0, 2 − 1]
2. [1, −2, 3], [1, 0, 1], [−1, −2, 1]
Zadanie 39
• Podaj definicje podzbioru liniowo niezależnego.
• Czy wektory [1, 0, 0], [0, 0, 1] są liniowo niezależne?
• Uzasadnij, że wektory[1, 0], [01], [3, 4] są liniowo zależne.
• Kiedy podzbiór liniowo niezależny jest bazą?
Zadanie 40 Zbadaj liniową niezależność następujących zbiorów;
1. [1, −2, 3], [1, 0, 1], [0, 2, 1] w R3 .
2. x3 + x2 + x + 1, x3 + x2 + x − 1, x3 + x2 − x − 1, x3 − x2 − x − 1 w R[X].
Zadanie 41 Pokaż, że wektory [1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1] stanowi bazę przestrzeni R3 .
Zadanie 42 Znajdź bazę i wymiar następującej podprzestrzeni liniowej rozpiętej na wektorach {[1, 0, 1, 0], [2, 1, 2, 1], [
Funkcje liniowe liniowe
4
Zadanie 43
• Podaj definicję funkcji liniowej.
• Podaj kilka przykładów funkcji liniowych.
• które z podanych funkcji są liniowe: f (x) = 2x, g(x) = 3x + 1, h(x) = x2
• opisz wykresy funkcji Lin(R, R)
• opisz wykresy funkcji Lin(R2 , R)
Zadanie 44 Sprawdź, że podane funkcje są liniowe:
1. f (x, y, z, t) = x ∈ Lin(R4 , R)
2. f (x, y, z, t) = (x, y, z) ∈ Lin(R4 , R3 )
3. f (x, y, z, t) = (x + y + z + t) ∈ Lin(R4 , R)
4. f (x, y, z, t) = (2x + 3y + z, 4y + z − t) ∈ Lin(R4 , R2 )
Zadanie 45 Wyznacz macierze funkcji liniowych z poprzedniego

1

Zadanie 46 Wyraź wzorem funkcję liniową daną macierzą : 4
7
zadania.

2 3
5 6
8 9
Zadanie 47
• Dla pewnej funkcji liniowej g ∈ Lin(R2 , R) zachodzi g(0, 1) = 3, g(1, 0) = 5 podaj
wzór funkcji g
• Dla pewnej funkcji liniowej f ∈ Lin(R3 , R2 ) zachodzi f (1, 2, 0) = (1, 2), f (2, 3, 0) = (0, 1), f (1, 2, 3) =
(2, 1). Podaj macierz funkcji f
Wyznaczniki
Zadanie 48 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując

2
7 1 
7 1
,
, 5
1 5
1 5
1
metodę Sarrusa
 

3 1
7 1 3
5 3 , 1 5 1
2 3
4 3 3
Zadanie 49 Przypomnij na przykładzie metodę Laplace’a obliczania wyznacznika. Dla jakiego wymiaru macierzy można ją stosować?
Zadanie 50 Oblicz wyznaczniki macierzy

2 3
5 5

1 2
5 4
Zadanie 51 Oblicz wyznaczniki

2
0

0
0
stosując metodę Laplace’a
 

7 1 3 3
1 3


3 4
 , 1 5 1 7
3 1 4 3 3 2
4 3 2 1
5 3
macierzy
 
0 0 0
2
5
5 0 0
,
0 3 0 0
0 0 3
0
3
5
0
0
0
0
3
5
5
 
0
7
0
0
,
1 0
3
0
0
5
1
3
0
1
3
2

0
7

2
1
Zadanie 52 Oblicz wyznaczniki macierzy

 

1 2 3
1 0 0
0 5 6 , 4 5 0
0 0 9
7 8 9


1 2 3
Zadanie 53 Niech A = 4 5 6  Oblicz det(A · AT )
7 8 11
Zadanie 54 Oblicz wyznaczniki macierzy

10 
−1
2 0 0
7 0 0
0 5 0 , 0 5 0
0 0 3
0 0 3
2 3
Zadanie 55 Niech A =
1 5
−1
2 0 2 3
. Oblicz det(A10 )
0 3 1 5
Zadanie 56 Oblicz wyznaczniki

 
 
 

5 0 0
7 0 0
5 0 0
7 1 2
5 0 0 · 0 8 0 , 1 6 0 · 0 8 3
0 0 7
0 0 9
2 5 7
0 0 9
Zadanie 57 Uzadadnij, że jeśli macierz kwadratowa ma dwie jednakowe kolumny (wiersze), to jej
wyznacznik jest równy zero.
Odwracanie macierzy, układy równań
Zadanie 58 Wyjaśnij czym są operacje elementarne na wierszach macierzy. Podaj przykłady.
Zadanie 59 Za pomocą operacji elementarnych na wierszach przekształć macierze do postaci górnotrójkątnej.

 

1 2 3
1 2 3
4 5 6 , 2 5 6
3 2 1
1 0 9
Zadanie 60 Oblicz macierz odwrotną do macierzy:
1 2
1 2
,
4 5
1 −1
Zadanie 61 rozwiąż układ równań za pomocą macierzy odwrotnej.
x + 2y = 5
x−y = 9
Zadanie 62 Wyjaśnij związek między wyznacznikiem macierzy a istnieniem macierzy odwrotnej. Jak
nazywamy macierz kwadratową o niezerowym wyznaczniku?
6
Zadanie 63 Wyznacz macierze odwrotne rozwiązując odpowiedni układ równań.


2 3 1
7 1
7 1 
,
, 5 5 3
1 5
1 5
1 2 3
Zadanie 64 Wyznacz macierze odwrotne stosując

2
7 1
2 1 
,
, 5
1 5
4 2
1
Zadanie 65 Wyznacz macierze odwrotne

2
5
1
Zadanie 66 Wyznacz macierz odwrotną

2 0
0 5

0 0
0 0
metodę operacji elementarnych.
 

3 1
1 1 3
5 3 , 5 5 1
2 3
4 2 3
stosując metodę dopełnień algebraicznych
 

3 1
7 1 3
5 3 , 1 5 1
2 3
4 3 3
0
0
3
0
 
0
7


0 1
,
0 0
3
0
1
5
0
0
0
0
3
2

0
0

2
1
Zadanie 67 Uzadadnij, że jeśli macierz kwadratowa mająca dwie jednakowe kolumny (wiersze) jest
nieodwracalna.
Zadanie 68 Przypomnij metodę Cramera rozwiązywania układów równań. Podaj warunki na liczbę
rozwiązań układu.
Zadanie 69 Zbadaj rozwiązania układu równań w zależności od parametru a.


 ax + 3y + z = 5  x + y + 2z = 9
4x + 5y − 3z = 9 , 2x + ay − 3z = 1


3x + 4y + z = 4
3x + 6y − 5z = 0
Zadanie 70 Zapisz za pomocą macierzy

 2x + 3y + 4z
4x + 2y − 7z

3x + 6y + 5z
rozszerzonej układy równań.

= 3
 4x + 3y + 2z = 9
= 9 ,
x + 4y − 3z = 12

= 11
5x + y − 5z = 7
Zadanie 71 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań:
x + 2y = 5
x−y = 9
Zadanie 72 rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa.


 2x + 3y + z = 5  x + y + 2z = 9
4x + 5y − 3z = 9 , 2x + 4y − 3z = 1


3x + 4y + z = 4
3x + 6y − 5z = 0
7
Zadanie 73 Wyznacz zbiór rozwiązań układu równań
2x + 3y + z = 5
4x + 5y − 3z = 9
Zadanie 74 rozwiąż układ równań.


 x + 3y + z = 5  x + 2y + z = 3
4x + y − 3z = 3 , 2x + 3y − 3z = 2


x + 2y + z = 2
3x + y − 4z = 0
Zadanie 75 Zapisz macierzowo układ równań.
7x + 2y = 15
2x − 3y = 11
Zadanie 76 Jakiemu układowi równań odpowiada równanie macierzowe:
1 2 x
7
=
4 5 y
8
Krzysztof Majcher
Krzysztof Majcher
8