Matematyka – zadanka 1. Narysuj trzy wektory różnej długości i o

Matematyka – zadanka
1. Narysuj trzy wektory różnej długości i o różnych kierunkach a następnie
wyznacz ich sumę w sposób konstrukcyjny. Narysuj dwa wektory różnej
długości i o kierunkach prostopadłych i wyznacz w sposób konstrukcyjny
obie możliwe różnice.
2. Dane są punkty A(−2, 1), B(4, 3), C(1, −4). Wyznacz wektory: ~
a=
~ , ~b = AC
~ ,~
~ i zaznacz je w układzie współrzędnych a następnie
AB
c = BC
~
oblicz: a) 2~
a + 3~b − 4~
c, b) ~
a · ~b + ~b · ~
c +~
a·~
c, c) ā = |~~aa| , b̄ = ~b ,
c̄ =
|b|
~
c
|~
c|
3. Barka jest ciągnięta przez 2 identyczne holowniki w ten sposób, że kierunki
ich ruchu 1) są prostopadłe do siebie 2) tworzą kąt 60o . Wiedząc, że
wypadkowa siła działająca na barkę wynosi 10000N , oblicz siły z jakimi
holowniki ciągną barkę w każdym z przypadków
4. Dane są wektory: ~
a = [3, −5], ~b = [2, 3], ~
c = [−3, 3]. Oblicz:
~
2~
a − 3~b + 5~
c = [−1, 2], ~
a · ~b + ~
a ·~
c + ~b · ~
c, ā = ~a , b̄ = b , c̄ = ~c ,
|~
a|
|~b|
|~
c|
|~
a|
|~b|
|~
c|
|ā|, |b̄|, |c̄|. Ponadto narysuj w układzie współrzędnych wektory: ~
a i ~b, ~
c.
5. Dane są wektory: ~
a = [2, −3], ~b = [1, 4], ~
c = [−1, 2]. Oblicz:
~
2~
a − 3~b + 5~
c = [−1, 2], ~
a · ~b + ~
a ·~
c + ~b · ~
c, ā = ~a , b̄ = b , c̄ = ~c ,
|ā|, |b̄|, |c̄|. Ponadto narysuj w układzie współrzędnych wektory: ~
a, ~b, ~
c.
6. Dane są dwa wektory, których kierunki są prostopadłe. Wartość pierwszego
wynosi 6 a drugiego 8. Wyznacz konstrukcyjnie sumę tych wektorów 2
metodami i oblicz jej wartość.
7. Dane są punkty A(−4, 1), B(5, 4) i C(1, −3). Wyznacz wektory ~
a=
~ , ~b = BC
~ ,~
~ i zaznacz je w układzie współrzędnych. Oblicz:
AB
c = CA
1) ~
a + ~b + ~
c i skomentuj ten wynik, 2) ~
a · ~b + ~b · ~
c +~
a ·~
c, 3) |~
a|, |~b|, |~
c|
8. Ciało o masie m = 10kg znajduje się na równi pochyłej o kącie nachylenia
α = 30o . Wyznacz siłę nacisku ciała na równię i siłę „zsuwającą” ciało z
N
równi. Rozkładając odpowiednio ciężar ciała (g = 10 kg
)
9. Narysuj trzy wektory różnej długości i o różnych kierunkach a następnie
wyznacz ich sumę w sposób konstrukcyjny. Narysuj dwa wektory różnej
1
długości i o kierunkach prostopadłych i wyznacz w sposób konstrukcyjny
obie możliwe różnice.
10. Dane są punkty A(−2, 1), B(4, 3), C(1, −4). Wyznacz wektory: ~
a=
~ , ~b = AC
~ ,~
~ i zaznacz je w układzie współrzędnych a następnie
AB
c = BC
~
oblicz: a) 2~
a + 3~b − 4~
c, b) ~
a · ~b + ~b · ~
c +~
a·~
c, c) ā = |~~aa| , b̄ = ~b ,
c̄ =
|b|
~
c
|~
c|
11. Narysuj trzy wektory różnej długości i o różnych kierunkach a następnie
wyznacz ich sumę w sposób konstrukcyjny. Narysuj dwa wektory różnej
długości i o kierunkach prostopadłych i wyznacz w sposób konstrukcyjny
obie możliwe różnice.
12. Dane są punkty A(−3, −4), B(1, 4), C(5, −4). Wyznacz wektory:
~ , ~b = AC
~ ,~
~ i zaznacz je w układzie współrzędnych a
~
a = AB
c = BC
następnie oblicz: a) 4~
a + 3~b − 2~
c, b) ~
a · ~b + ~b · ~
c+~
a·~
c, c) ā = |~~aa| ,
b̄ =
~b
,
|~b|
c̄ =
~
c
|~
c|
13. Rozwiąż trójkąt prostokątny w którym przyprostokątne mają długości 3 i 4
14. Uwowodnij (korzystając
√
o
sin(60 ) = 23
z
własności
trójkąta
równobocznego)
że
15. Oceń które wielkości są wprost które odwrotnie proporcjonalne a między
którymi nie ma żadnej zależności
• szybkość przepływu wody w rurze napełniającej zbiornik i czas napełnienia
tego zbiornika
• szybkość przepływu wody w rurze napełniającej zbiornik i rozmiar zbiornika
możliwy do napełnienia w danym czasie
• szybkość przepływu wody w jakiejś rurze i czas napełnienia jakiegoś
zbiornika
16. W podanym prawie fizycznym opisz do czego jest proporcjonalny potencjał
(V) i jaka jest to proporcjonalność
V =
kQ
r
17. Narysuj dwa wektory mające różne kierunki ale te same wartości. Wyznacz
2
(konstrukcyjnie korzystając z poznanych metod konstrukcji) sumę i różnicę
tych wektorów.
18. Dany jest wektor o długości 5 któy tworzy z poziomem kąt taki któego sinus
wynosi 31 . Wyznacz składową prostopadłą i równoległą tego wektora
19. Z równania soczewki cienkiej
1
1
1
= +
f
x
y
wyznacz ogniskową (f) i uzasadnij, że jest to długość.
20. Zamień jednostki:
1
m
km
km
m
→1
i1
→1
s
h
h
s
21. Narysuj dwa wektory o różnych kierunkach. Jeden z nich pomnóż przez −2
a drugi przez 0.5. Skonstrułuj sumę i różnicę tych wektorów.
22. Dany jest wektor o długości 5 który tworzy z pionem kąt 30o . Wyznacz
składową prostopadłą i równoległą tego wektora.
23. Dane są dwa wektory: ~
a = [−1, −2] i ~b = [3, 5] Oblicz ich sumę, różnicę
i pole równoległoboku opartego na tych wektorach.
24. Narysuj dwa wektory o kierunkach prostopadłych. Jeden z nich pomnóż przez
2 a drugi przez −0.5. Skonstrułuj sumę i różnicę tych wektorów.
25. Dany jest wektor który tworzy z poziomem kąt 30o i jego składowa równoległa
o długości 10. Oblicz długość danego wektora i długość jego składowej
prostopadłej.
26. Dane są dwa wektory: ~
a = [1, −2] i ~b = [−3, 4]. Oblicz ich sumę różnicę
i kąt między nimi.
2
27. Dany jst wzór na energię potencjalną sprężystości: Ep = kx2 . Wyznacz z
niego wydłużenie x i wyprowadź jednostkę. ([k] = N
m , [Ep ] = N m)
28. Składowe; prostopadła i równoległa do powierzchnii; pewngo wektora ~
a mają
√
długości równe odpowiednio: 3 i 3. Wyznacz wektor ~
a (długość i kąt jaki
tworzy z poziomem)
3
2
29. Dany jest wzór na energię kinetyczną: Ek = mv
2 . Wyznacz z niego masę
)
m i wyprowadź jej jednostkę ([Ek ] = N m, [N ] = kgm
s2
30. Dany jest wektor ~
a o długości 10, który tworzy z poziomem kąt 60o .
Wyznacz jego składową prostopadłą i równoległą.
31. Narysuj dowolne dwa wektory o kierunkach wzajemnie prostopadłych i wykonaj konstrukcje sumy i różnicy
32. Rozwiąż trójkąt prostokątny w którym przeciwprostokątna ma długość 10 a
jeden z kątów ostrych ma 30o .
2
33. Ze wzoru F = k rq2 oblicz stałą k i wyznacz jej jednostkę Zamień jednostki:
km
→?
20 m
s
h
34. Narysuj dwa wektory współliniowe i wyznacz ich sumę oraz różnicę. Czy
długość wektora sumy jest zawsze większe niż różnicy?
35. Na klocek o masie 1kg działa siła 1N pod kątem 30o w górę (względem
podłoża). Dokonaj rozkładu tej siły na składowe, prostopadłą i równoległą a
następnie oblicz przyspieszenie klocka (zaniedbując tarcie)
36. Iloczyn skalarny dwóch wektorów o długościach 3 i 4 wynosi 2 oblicz kąt
pomiędzy tymi wektorami. Ile wynosił by ten kąt gdyby iloczyn skalarny był
równy zero.
37. Dwa jednakowe wektory tworzą ze sobą kąt 60o i tworzą figurę której pole
wynosi 10. Wyznacz iloczyn wektorowy tych wektorów i oblicz ich długość.
38. Rozwiąż trójkąt prostokątny w którym jedna z przyprostokątnych ma długość
10 a jeden z kątów ostrych 30o
39. Wyprowadzając wzór na okres drgań wahadła matematycznego przyjmuje się
przybliżenie: sin(x) ≈ x wiedząc, że wartość sin(7o ) wynosi: 0.1219
oblicz jaki błąd względny popełniamy stosując to przybliżenie dla 7o
40. W ruchu jednostajnie przyspieszonym, prostoliniowym zależność prędkości od
czasu jest liniowa. Oblicz przyspieszenie (opóźnienie) w tym ruchu wiedząc,
że w chwili początkowej (t = 0) ciało miało prędkość 10 m
s i zahamowało
po 5s
4