Wydział Zarządzania - Algebra liniowa

Wydział Zarządzania - Algebra liniowa - Ćwiczenia
Arkusz 3 - PRZESTRZEŃ LINIOWA
Zadanie 1. Dane są wektory u~1 = [3, −1, 2], u~2 = [−5, 1, −2], u~3 = [2, −8, 4]
Wyznacz wektor
1
a) ~u = 2u~1 − 3u~2 + u~3
2
b) ~u = u~3 − u~2 + 2u~1
c) ~u = −2u~1 + u~2 − u~3
Zadanie 2. Wyznacz wektor ~u = 2u~1 − 3u~2 + 5u~3 , jeżeli
a) u~1 = [−2, 1], u~2 = [0, 2], u~3 = [−1, 3]
b) u~1 = [0, 1, 2], u~2 = [−2, 3, 4], u~3 = [1, −1, 1]
c) u~1 = [4, −2, 0], u~2 = [3, 2, −1], u~3 = [1, 2, 0]
Zadanie 3. Przedstaw wektor ~u jako kombinację liniową wektorów u~1 , u~2 jeżeli
a) u~1 = [−1, 2], u~2 = [0, 1], ~u = [2, −1]
b) u~1 = [1, 3], u~2 = [−1, −2], ~u = [6, 14]
c) u~1 = [0, 1], u~2 = [1, 1], ~u = [−5, −1]
d) u~1 = [1, 0], u~2 = [3, 4], ~u = [−3, −8]
Zadanie 4. Przedstaw wektor ~u jako kombinację liniową wektorów u~1 , u~2 , u~3 jeżeli
a) u~1 = [1, 3, 4], u~2 = [−1, 0, 0], u~3 = [0, 1, 1], ~u = [−3, −4, −6]
b) u~1 = [1, 0, 0], u~2 = [1, 1, 0], u~3 = [1, 1, 2], ~u = [2, −1, 2]
c) u~1 = [1, 1, 1], u~2 = [1 − 1, 1], u~3 = [−1, −1, 1], ~u = [6, 0, 4]
1
d) u~1 = [0, 2, 3], u~2 = [3, 2, 1], u~3 = [1, 3, 5], ~u = [ , −3, −6]
2
Zadanie 5. Zbadaj liniową niezależność wektorów:
a) u~1 = [2, 7], u~2 = [−3, 1]
d) u~1 = [3, −2, −3], u~2 = [2, 1, 1], u~3 = [2, 0, 1]
b) u~1 = [3, 4], u~2 = [−1, 2]
e) u~1 = [1, 1, −1], u~2 = [2, 0, 3], u~3 = [3, 1, 2]
c) u~1 = [1, 3, 1], u~2 = [2, 1, 1], u~3 = [2, 0, 1]
f) u~1 = [1, 2, 3], u~2 = [−4, 5, 0], u~3 = [6, −1, 6]
Zadanie 7. Oblicz iloczyn skalarny następujących par wektorów. Czy podane wektory są ortogonalne?
a) ~u = [2, −4], ~v = [−3, 1]
c) ~u = [0, 2], ~v = [−1, 1]
b) ~u = [1, −2], ~v = [4, 2]
d) ~u = [2, −4, 2], ~v = [−3, 1, 5]
Zadanie 8. Oblicz iloczyn wektorowy następujących par wektorów.
a) ~u = [2, −4, 1], ~v = [3, −1, 5]
c) ~u = [4, −1, 2], ~v = [−1, 4, 3]
b) ~u = [1, −2, 0], ~v = [−2, −1, 0]
d) ~u = [−1, 1, 3], ~v = [4, 2, −1]
Zadanie 9. Oblicz cosinus kąta między wektorami
a) ~u = [0, −1, 3], ~v = [2, 5, −2]
c) ~u = [2, −1, 4], ~v = [2, 1, −2]
b) ~u = [2, 3, 2], ~v = [1, 2, 5]
d) ~u = [0, −1, 3], ~v = [2, 5, −2]
Zadanie 10. Oblicz pole równoległoboku rozpiętego na następujących parach wektorów.
a) ~u = [3, 2, 1], ~v = [−4, 0, −5]
c) ~u = [3, 1, 1], ~v = [2, 3, 1]
b) ~u = [2, 3, 1], ~v = [4, 8, −3]
d) ~u = [4, 2, −3], ~v = [1, 1, 1]
Zadanie 11. Zbadaj, czy wektory leżą na jednej płaszczyźnie.
a) ~u = [1, 2, 3], ~v = [3, 1, −1], w
~ = [1, 1, 1]
c) ~u = [1, 3, −2], ~v = [2, 4, 5], w
~ = [−1, 0, −2]
b) ~u = [3, 0, 1], ~v = [2, 0, 1], w
~ = [0, 1, 1]
Zadanie 12. Oblicz objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach.
a) ~u = [1, 2, 3], ~v = [3, 2, −1], w
~ = [3, 0, 0]
b) ~u = [1, 3, −2], ~v = [2, 4, 5], w
~ = [−1, 0, −2]
c) ~u = [3, 0, 1], ~v = [2, 0, 1], w
~ = [0, 1, 1]