Algebra liniowa z geometria analityczna, Informatyka, Wydzia l PPT

Algebra liniowa z geometria̧ analityczna̧, Informatyka, Wydzial PPT, 2009/10
wykladowca: dr hab. Malgorzata Bogdan
Lista zadań nr. 10
1. Zastosuj kryterium Sylvestera do zbadania, czy poniższe macierze symetryczne lub
hermitowskie sa̧ dodatnio określone:

 

2
0 −1
1 −2
2
 0
2 −1  ,  −2
0
0 
−1 −1
2
2
0 −4


1 −i 0
3 i
1 −2i
 i

1 0 ,
,
.
−i 0
2i
2
0
0 1
2. Znajdź formy biegunowe nastȩpuja̧cych form kwadratowych i napisz ich macierze.
Za pomoca̧ metody Lagrange’a sprowaź formy kwadratowe do postaci kanonicznej i
wyznacz bazy odpowiednich przestrzeni, ortogonalne wzglȩdem form biegunowych:
(a) h : R2 → R, x = [x1 , x2 ], h(x) = x21 − 4x1 x2 − 4x22 ,
(b) h : R3 → R, x = [x1 , x2 , x3 ], h(x) = x21 − 4x1 x2 + 4x1 x3 − 4x23 ,
(c) h : R3 → R, x = [x1 , x2 , x3 ], h(x) = x21 + 2x22 + 4x23 + 4x1 x2 − 2x1 x3 − 6x2 x3 .
3. Które z poniższych wyrażeń definiuja̧ iloczyn skalarny w przestrzeni R2 , (x = [x1 , x2 ], y =
[y1 , y2 ]),
(a) 3x1 y1 − x2 y2 ,
(b) x21 + y12 ,
(c) 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 6x2 y2 ,
(d) x1 y1 + x1 y2 + y1 x2 + 2x2 y2 .
W zadaniach 4 – 9 stosujemy standardowy
iloczyn skalarny w Rn : dla
Pn
x = [x1 , . . . , xn ], y = [y1 , . . . , yn ], < x, y >= i=1 xi yi .
4. Oblicz iloczyny skalarne wektorów (1, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 2, 1), (−1, 1, −1), parami.
Które z tych wektorów sa̧ ortogonalne?
5. Dla jakiego parametru p, wektory (p, 1, 2) i (1, p, 1) sa̧ prostopadle?
6. Unormuj wektory (1, −1), (1, −2, 3, −4).
7. Oblicz odleglośc punktów (1, −1, 2) i (3, 1, 1).
8. Oblicz cosinus ka̧ta pomiȩdzy wektorami (1, 1, 1) i (2, −1, −2). Jaki to ka̧t?
9. Wektory u1 = [2, 1, 3], u2 = [−3, 1, −3], u3 = [−11, −3, −1] tworza̧ bazȩ przestrzeni
R3 .
(a) Niech v1 = u1 , v2 = u2 + au1 , v3 = u3 + bv1 + cv2 . Dobierz wspólczynniki a, b,
c tak, by wektory v1 , v2 , v3 byly parami prostopadle. Sprawdź, że tworza̧ one
bazȩ przestrzeni R3 .
(b) Niech x = [2, −1, 1], y = [1, 1, 2].
– Wyznacz wspólrzȩdne wektorów x i y w bazie u1 , u2 , u3 .
– Wyznacz wspólrzȩdne wektorów x i y w bazie v1 , v2 , v3 .
– Oblicz dugości (normy) wektorów x i y.
– Oblicz ka̧t miȩdzy wektorami x i y.
10. Czy 1n + 2(n − 1) + . . . + n1 ≤ 12 + 22 + . . . n2 ?
11. RW przestrzeni euklidesowej R2 [x] iloczyn skalarny można zdefiniować jako: < f, g >=
1
−1 f (t)g(t)dt.
(a) Wyznacz wielomian stopnia drugiego prostopadly do wielomianów 1 i x.
(b) Wyznacz ka̧t miȩdzy wielomianami x + 1 i x − 2.
12. W przestrzeni euklidesowej R2 [x] iloczyn skalarny można zdefiniować jako: < w, u >=
w(0)u(0) + w(1)u(1) + w(2)u(2).
(a) Oblicz ka̧t, wzglȩdem tego iloczynu skalarnego, miȩdzy wielomianami x + 1 i
x − 2.
(b) Napisz macierz tego iloczynu skalarnego w bazie standardowej 1, x, x2 .
(c) Za pomoca̧ metody Lagrange’a wyznacz bazȩ R2 [x] ortogonalna̧ wzglȩdem tego
iloczynu skalarnego.
13. W przestrzeni euklidesowej R4 dany jest standardowy iloczyn skalarny. Znajdź dwa
wektory o normie równej 1, które sa̧ ortogonalne do trzech nastȩpuja̧cych wektorów:
u1 = [2, 1, −4, 0], u2 = [−1, −1, 2, 2], u3 = [3, 2, 5, 4].
Opracowane na podstawie/dodatkowe zadania w:
I. J. Klukowski, I. Nabialek, Algebra dla studentow, WNT, 2005,
II. Lista zadań z Algebry Liniowej autorstwa prof. K. Bogdana
III. Lista zadań z Algebry Liniowej i Geometrii Analitycznej autorstwa prof. K. Ziȩtak