Zadanie Wyznaczy¢ równanie prostej, która jest wspóln¡ styczn

Zadanie
Wyznaczy¢ równanie prostej, która jest wspóln¡ styczn¡ wykresów funkcji
f (x) = x2 i g(x) = (x − 2)2 + 4.
Rozwi¡zanie
Niech (x1 , f (x1 )) punkt styczno±ci wykresu funkcji f (x),
(x2 , g(x2 )) punkt styczno±ci wykresu funkcji g(x).
Równanie stycznej dowolnej funkcji f (x) w punkcie x0 ma posta¢
y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 )
Obliczamy f 0 (x1 ) = 2x1 ,
g 0 (x2 ) = 2(x2 − 2).
Wstawiamy teraz dane do równania stycznej i otrzymujemy ukªad równa«
(
y − x21 = 2x1 (x − x1 )
y − (x2 − 2)2 − 4 = 2(x2 − 2)(x − x2 ).
Ukªad ten doprowadzamy do postaci
(
y = 2x1 x − x21
y = 2(x2 − 2) x + 3x22 − 6x2 + 8.
Teraz wykorzystujemy fakt »e ma to by¢ wspólna styczna zatem wspóªczynniki przy x oraz wyrazy wolne musz¡ by¢ takie same. Zatem
(
2x1 = 2(x2 − 2)
−x21 = 3x22 − 6x2 + 8.
Rozwi¡zuj¡c ten ukªad otrzymujemy
(
x1 = 1
x2 = 3.
St¡d równanie szukanej stycznej ma posta¢
y = 2x − 1.
1