y - Ekonometryczne modele nieliniowe

Ekonometryczne modele
nieliniowe
Wykład 8
Regresja kwantylowa
Literatura
• Bruce Hansen (2009) Econometrics,
rozdział 5
– http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/
• Roger Koenker (2005) Quantile Regression,
Journal of Economic Perspectives
– http://www.econ.uiuc.edu/~roger/research/intro/intro.html
– inne artykuły na jego stronie
2
Własności mediany
• Mediana
θ 0 = med ( y )
P( y ≤ θ 0 ) = P ( y ≥ θ 0 ) = 0,5
• Własności:
3
Estymatory mediany
• Empiryczny kwantyl rzędu ½
n
1
• θˆ0 = arg min ∑ yi − θ
n i =1
θ
• Rozwiązanie równania momentów
1 n
0 = sgn ∑ ( yi − θ )
n i =1
4
Mediana warunkowa
• Mediana y pod warunkiem, że dane jest x
• Regresja liniowa „medianowa”
• Mediana warunkowa y w tym modelu
5
Własności mediany warunkowej
6
Estymator regresji „medianowej”
• Korzystając z własności mediany
warunkowej minimalizujemy:
– Estymator najmniejszych odchyleń bezwzględnych (least
absolute deviations estimator, LAD)
• lub inaczej
jako rozwiązanie
równania momentów:
7
Własności estymatora LAD
• Asymptotyczny rozkład normalny
gdzie
- warunkowa funkcja gęstości,
kiedy
8
Własności estymatora LAD
• Kiedy duża wartość
– dużo obserwacji wokół mediany
– precyzyjniejsze jej oszacowanie
• Kiedy składnik losowy niezależny od x
9
Obliczanie ---------------• Estymator jądrowy f(x) (kernel estimator):
K - jądro
h – pasmo przenoszenia
10
Metody obliczania LAD
• Zadanie programowania liniowego
–Poszukiwane optymalne parametry modelu:
–Zadanie:
- dodatkowo w celu zachowania nieujemności zmiennych decyzyjnych:
11
Własności kwantyli
• Kwantyl zmiennej losowej z rozkładu F(u)
• Kiedy F(u) jest ciągła, to
12
Własności kwantyli
• Jeśli zmienna U ma kwantyl rzędu
, to:
gdzie
13
Kwantyl warunkowy
• Dla dystrybuanty warunkowej
• Kiedy
:
ciągła i silnie monotoniczna:
14
Regresja kwantylowa
• Regresja liniowa
gdzie błąd
to różnica między
a jego kwantylem rzędu
•
15
Estymacja regresji kwantylowej
• Estymator minimalizujący funkcję:
16
Własności estymatora
• Asymptotyczny rozkład normalny
gdzie
lub kiedy
, to:
17
Interpretacja wyników
•
Źródło: Gretl User’s Guide.
18
Interpretacja wyników
Quantile Process Estimates (95% CI)
C
.08
.06
.04
.02
.00
-.02
Źródło: wydruk
w programie Eviews 6.0
-.04
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
1.0
Quantile
CREDIT
0.50
0.25
0.00
-0.25
-0.50
-0.75
-1.00
0.0
0.2
0.4
0.6
Quantile
19
CAViaR
• Ogólny model:
• Specyfikacje:
– Adaptacyjna (adaptive)
20
Literatura dodatkowa
21
CAViaR
• Inne specyfikacje:
22
Zgodny estymator
23