Sprawozdanie 2 z kursu „Modele matematyczne niezawodności

Sprawozdanie 2 z kursu „Modele matematyczne niezawodności systemów”
termin oddania: przed końcem semestru
1
Wprowadzenie
W tym sprawozdaniu kontynuujemy analizowanie rozkładów, którymi zajmowaliśmy się na sprawozdaniu 1.
Zacznijmy od przypomnienia.
Załóżmy, że obserwujemy komponenty Ki o czasach życia Ti , i = 1, . . . , n. Zmienne Ti są niezależne o
jednakowym rozkładzie. Zakładamy, że Ti należy do rodziny rozkładów wykładniczych z transformowanym
czasem, czyli gęstość zmiennej losowej Ti jest postaci
fλ (t) = λs0 (t)e−λs(t) ,
t ­ 0,
gdzie s(t) jest pewną znaną, rosnącą, różniczkowalną funkcją rosnącą taką, że s(0) = 0 oraz lim s(t) = ∞.
t→∞
Rodzina ta zawiera wiele znanych rozkładów, takie jak rozkład Weibulla, rozkład wykładniczy, rozkład
Gompertza, przesunięty do zera rozkład Pareto i wiele innych.
Podczas ostatniego sprawozdania opracowali Państwo trzy metody generowania obserwacji z tego rozkładu i
określili wydajność tych metod, wskazując, która najlepiej sprawdza się w różnych sytuacjach.
Tym razem spróbujemy zastosować tę metodę do problemów estymacji oraz testowania w pewnym problemie
dotyczącym teorii niezawodności.
1.1
Estymacja funkcji transformacji czasu
Wiemy, że wiele rozkładów da się opisać za pomocą rodziny rozkładów wykładniczych z transformowanym
czasem. Niestety, otrzymując dane, nie zawsze jesteśmy w stanie wskazać postać funkcji transformacji czasu s.
Załóżmy, że pracujemy w laboratorium firmy opracowującej nowy rodzaj baterii do urządzeń mobilnych. W
tym celu przeprowadzono serię testów w kontrolowanych warunkach i pobrano n obserwacji, T1 , . . . , Tn , będących
czasami pracy baterii przy stałym, kontrolowanym obciążeniu. Bez straty ogólności, ponieważ funkcja s jest
dowolna, możemy założyć, że w warunkach laboratoryjnych parametr λ = 1. Naszym pierwszym zadaniem jest
znaleźć estymator funkcji s spełniający założenia rozkładu.
Zauważmy, że intensywność awarii rozkładu o gęstości
fλ (t) = λs0 (t)e−λs(t) ,
t ­ 0,
wynosi dokładnie λs0 (t). Jeśli założymy, że λ = 1 i znajdziemy estymator funkcji intensywności awarii r̂(t), to
całkując go uzyskamy estymator funkcji transformacji czasu
Z t
ŝ(t) =
r̂(u) du.
0
W celu estymacji funkcji intensywności awarii wykorzystamy estymator jądrowy oparty o jądro gaussowskie
K i szerokość okna h
n
1 X K t−Thi:n
r̂(t) =
,
h i=1 n − i + 1
gdzie Ti:n to i-ta statystyka pozycyjna wektora obserwacji T1 , . . . , Tn . Jeśli przez F oznaczymy dystrybuantę
standardowego rozkładu normalnego, estymator funkcji s będzie miał postać
n
X
F t−Thi:n − F −Thi:n
ŝ(t) =
.
n−i+1
i=1
W praktyce n powinno być rzędu około tysiąca obserwacji. Zwróćmy uwagę, że estymator działa dobrze na
przedziale (T1:n , Tn:n ), przykładowo, jego wartość nigdy nie dąży do ∞, gdy t → ∞.
W estymatorze tym wciąż musimy ustalić szerokość okna w estymatorze jądrowym. Często stosuje się tak
zwaną regułę Silvermana. Jeśli przez σ̂ oznaczymy odchylenie standardowe wektora obserwacji T1 , . . . , Tn , to
przyjmujemy
1
h ≈ 1.06σ̂n− 5 .
1
1.2
Estymacja parametru λ
Po opuszczeniu warunków laboratoryjnych, interesuje nas, czy parametr λ jest mniejszy, czy większy, niż
podczas badania. W tym celu pobieramy m obserwacji X1 , . . . , Xm . Stosując metodę największej wiarygodności
otrzymujemy estymator
m
.
j=1 s(Xj )
λ̂ = Pm
Zastępujemy funkcję s jej estymatorem i otrzymujemy
m
=
Pm Pn
j=1 ŝ(Xj )
λ̂ = Pm
j=1
1.3
m
F
i=1
Xj −Ti:n
h
−F
−Ti:n
h
.
n−i+1
Procedura testowania
Jeśli wartość λ jest większa od 1 oznacza to, że jakość produkcji się obniżyła. Jeśli wartość jest mniejsza od 1
oznacza to, że jakość produkcji się poprawiła. Interesuje nas weryfikacja hipotez
H0 : λ = 1,
przeciwko
H1 : λ > 1
na poziomie istotności α.
Załóżmy najpierw, że funkcja s jest znana. Interesuje nas znalezienie rozkładu estymatora
m
λ̂ = Pm
j=1 s(Xj )
Pm
przy hipotezie zerowej. Zauważmy, że s(Xj ) ma rozkład wykładniczy o średniej 1. Oznacza to, że j=1 s(Xj )
P
m
1
ma rozkład gamma o parametrze kształtu m oraz parametrze skali 1. Średnia m
j=1 s(Xj ) ma natomiast
1
rozkład gamma o parametrze kształtu m oraz skali m . Wobec tego, λ̂ ma rozkład odwrotny gamma o parametrze
kształtu m oraz parametrze skali m, IG(m, m).
Duże wartości estymatora λ̂ sprzyjają hipotezie alternatywnej, zatem hipotezę należy odrzucić dla dużych
wartości λ̂. W szczególności, procedura testowa może wyglądać następująco — jeśli λ̂ > q1−α , gdzie qα jest
kwantylem rzędu α rozkładu IG(m, m), hipotezę H0 należy odrzucić. W przeciwnym razie, nie mamy podstaw
do odrzucenia hipotezy.
Niektóre pakiety matematyczne mogą nie mieć zaimplementowanej metody wyznaczania kwantyli rozkładu
odwrotnego gamma, jednakże możemy posłużyć się kwantylem z rozkładu gamma o parametrze kształtu m oraz
1
parametrze skali m
, wystarczy wartość q1−α zastąpić wartością g1α , gdzie gα jest kwantylem rzędu α rozkładu
gamma o odpowiednich parametrach.
Można pokazać, że gdy m, n → ∞, test ten ma również sens, gdy nie znamy funkcji s i zastępujemy ją
zaproponowanym estymatorem ŝ.
2
Zadanie
Rozważmy następującą procedurę dla funkcji s(t) = ta .
1. Wylosuj n = 1000 obserwacji z rozkładu o parametrze λ = 1 oraz funkcji transformacji czasu s(t).
2. Wyznacz estymator ŝ(t) i wykonaj wykres estymatora oraz znanej funkcji s(t). Na jakim przedziale są
„podobne”?
3. Wylosuj mi = 100, i = 1, 2, 3 obserwacji z rozkładów o parametrach λi ∈ {0.5, 1, 2} i tą samą funkcją
transformacji czasu s(t).
4. Oblicz estymatory λ̂i i porównaj z wartościami teoretycznymi. (użyj estymatora funkcji ŝ zamiast wartości
funkcji s)
5. Wykonaj trzy testy hipotez H0 : λi = 1 przeciwko H1 : λi > 1 na poziomie istotności α = 0.05. Które z
hipotez zostały odrzucone? (użyj estymatora funkcji ŝ zamiast wartości funkcji s)
6. (dodatkowe) Narysuj wykres mocy testu.
Powtórz procedurę dla trzech dowolnie wybranych parametrów a. Na podstawie analiz, odpowiedz na pytanie,
czy rozważana procedura jest rozsądna w rozważanym problemie testowania czasu pracy baterii?
2