Wyznaczanie momentu bezwładności wahadła fizycznego

Wyznaczanie momentu bezwładności wahadła fizycznego
Cel:
 Analiza ruchu obrotowego bryły sztywnej na przykładzie wahadła fizycznego.
 Doświadczalne wyznaczenie środka masy wahadła fizycznego i porównanie go z
wartością teoretyczną.
 Doświadczalne wyznaczenie momentu bezwładności wahadła fizycznego i
porównanie go z wartością teoretyczną.
Pytania i zagadnienia kontrolne:





Co to jest wahadło fizyczne. Od czego zależy jego okres drgań?
Jak można zmienić położenie osi obrotu wahadła, aby jego okres drgań nie uległ
zmianie?
Jak można teoretycznie i doświadczalnie wyznaczyć środek masy?
Twierdzenie Steinera.
Obliczyć moment bezwładności wahadła wykorzystywanego w ćwiczeniu.
Opis ćwiczenia:
Okres drgań wahadła fizycznego zależy od:
- wartości jego momentu bezwładności I 0 względem osi przechodzącej przez środek masy
S i równoległej do osi obrotu O wahadła,
- masy m wahadła,
- odległości L między osią obrotu a środkiem masy:
T  2π
I 0  mL2
.
mgL
(1)
Dokładna analiza pokazuje, że niezależnie od kształtu wahadła okres drgań nie ulegnie
zmianie, gdy oś obrotu umieścimy w dowolnym punkcie bryły sztywnej, jednakowo
odległym od środka masy
L1  L
(2)
lub w dowolnym punkcie którego odległość od środka masy wynosi
L2 
I0
I
 0 .
mL mL1
(3)
O1
L1
L1
L2
L2
S
L1
L2
0
x1
x2
d
xS
x3
x4
x
Rys. 1. Położenie osi obrotu wahadła fizycznego o
jednakowym okresie obrotu
Rys. 2. Schemat wahadła fizycznego
Rozpatrzmy wahadło fizyczne zawieszone na osi O1 , które składa się z dysku
umocowanego na sztywnym, metalowym pręcie (rys.2). Pręt ma masę M , długość H oraz
promień poprzeczny R  H . Dysk o masie m i promieniu r , umocowany jest w odległości
d od jednego z końców pręta. Dla takiego wahadła, istnieją jeszcze trzy inne położenia osi
obrotu, dla których okres obrotu będzie taki sam. Jeżeli znamy ich odległości x i od jednego z
końców wahadła, możemy na podstawie prostych relacji geometrycznych wyznaczyć
położenie środka masy
x4  x1 x3  x2

2
2
(4)
x  x2
x 4  x1
i L2  3
.
2
2
(5)
xS 
oraz odległości
L1 
Zgodnie z równaniem (3), I 0  mL1 L2 , więc znajomość odległości L1 i L2 pozwala obliczyć
moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez jego środek masy:
I 0  M  m
x 4  x1 x3  x 2
.
2
2
(6)
Wykonanie ćwiczenia rozpoczynamy od wyznaczenia wymiarów geometrycznych i masy
elementów tworzących wahadło – pręta i dysku. Umieszczamy dysk w odległości d od końca
pręta. Obliczamy teoretyczną wartość położenia środka masy
xS 
1
2
MH  md
.
M m
(7)
oraz moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez środek masy wahadła
I 0  I pręta  I dysku 


 121 MH 2  M  12 H  x S   121 m h 2  3r 2  md  x S  .
2
2
(8)
W celu sprawdzenia poprawności obliczeń położenia środka masy podpieramy wahadło w
obliczonej odległości x S od jego końca – wahadło powinno pozostać w stanie spoczynku.
Zawieszamy wahadło zgodnie z instrukcjami prowadzącego zajęcia i dokonujemy pomiaru
jego okresu drgań T0 . Zmieniając położenie osi obrotu o wartość x wyznaczamy zależność
okresu drgań T wahadła od położenia osi obrotu x . Sporządzamy wykres tej zależności i
odczytujemy z niego, dla jakich odległości x i okres drgań ma wartość T0 . Na podstawie
wzorów (4) i (6) wyznaczamy położenie środka masy oraz moment bezwładności wahadła
względem osi przechodzącej przez jego środek masy. Porównujemy te wartości z wartościami
obliczonymi na podstawie wzorów (7) i (8).
Literatura:
1. Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki. Cz. 1, praca zbiorowa pod red. J. Kirkiewicza, WSM,
Szczecin, 2001.
2. Szydłowski H., Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa (dostępne wydania).
3. Resnick R., Halliday D., Walker J., Podstawy fizyki T.1, PWN, Warszawa (dostępne
wydania).
4. Resnick R., Halliday D., Walker J., Podstawy fizyki T.2, PWN, Warszawa (dostępne
wydania).
5. Bobrowski C., Fizyka: krótki kurs, WNT, Warszawa (dostępne wydania).
6. Orear J., Fizyka T.1, WNT, Warszawa (dostępne wydania).