T = 2Π - LOGIM.EDU.GORZOW.PL :: Strona Główna

TEMAT 31: Wahadło.
Galileusz podobno odkrył izochronizm, czyli stałość okresu względem amplitudy,
wahadła podczas mszy w katedrze w Pizie. Obserwował wtedy gasnące wahnięcia dużego
świecznika, który był zawieszony u sufitu. Amplitudy kolejnych wahnięć stawały się coraz
mniejsze, więc Galileusz zaczął zastanawiać się, czy również czas każdego wahnięcia się
zmniejsza. Z braku zegarka do pomiaru czasu użył własnego pulsu. Zauważył, że czas trwania
każdego wahnięcia, pomimo zmniejszania się wychylenia, pozostaje taki sam. Wykorzystał
swe obserwacje z katedry, skonstruował przyrząd medyczny do mierzenia tętna. Był to
niewielki ciężarek, zawieszony na łańcuszku.
Faktycznie jeśli zawiesimy ciężarek na nici i wyznaczymy ile wynosi okres jednego
pełnego drgania, to w granicach niepewności pomiarowych uzyskamy porównywalne wyniki
dla różnych wychyleń tego samego wahadła. Ważne jest by wychylenia były stosunkowo
niewielkie.
W celu dokonania odpowiednio dokładnych pomiarów możemy postarać się by nić była
stosunkowo cienka, długa i dobrze zamocowana a ciężarek w miarę masywny. Dodatkowo
można zmierzyć czas t trwania kilku n - drgań i wyznaczyć okres na podstawie wzoru:
t – całkowity czas drgań w sekundach,
=
n – liczba wykonanych pełnych drgań.
Schemat i definicja wahadła matematycznego.
Opis schematu:
x – wychylenie chwilowe (zerowe x0 lub max xmax),
A – długość amplitudy,
V – prędkości chwilowe (zerowa V0 lub max Vmax),
Fmax – kierunek siły podczas wychylenia max.
Definicja:
Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na nieważkiej
i nierozciągliwej nici, który po wychyleniu z położenia równowagi wykonuje ruch drgający.
Okres drgań wahadła matematycznego zależy od jego długości i od przyspieszenia
grawitacyjnego. Na Ziemi okres drgań wahadła matematycznego obliczamy za pomocą
wzoru:
T = 2Π√
l – długość wahadła, jednostka: [m];
g – przyspieszenie ziemskie, jednostka: [m/s2];
Okres drgań wahadła nie zależy od amplitudy dla małych kątów wychyleń (<5º).
ZADANIA:
1. Ile razy częstotliwość wahadła o długości 20 cm jest większa od częstotliwości wahadła
o długości 1,2 m?
2. Jak zmieni się częstotliwość i okres drgań wahadła matematycznego, którego długość
zwiększymy 4-krotnie?
3. Jaka jest długość wahadła o okresie 2 s? Na pewnej planecie wahadło o długości 1 m ma
okres wahań równym 1 s. Oblicz przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni tej planety.
4. Wahadło matematyczne o długości 2,45 m wykonało 100 wahnięć w czasie 314 sekund.
Oblicz okres wahań tego wahadła oraz przyspieszenie ziemskie w tym miejscu.