Microsoft PowerPoint - Drgania t\263umione i

Drgania tłumione i wymuszone
Rezonans mechaniczny
Jedną z cech drgań harmonicznych jest stała amplituda.
W drganiach harmonicznych spełniona jest zasada
zachowania energii mechanicznej.
W rzeczywistym przypadku drgań oprócz
siły spręŜystości
F = −kx
działa równieŜ siła oporu ośrodka proporcjonalna do
prędkości drgającego ciała
(układ stopniowo traci energię).
F = −κv
Częstość kołową drgań tłumionych określa równanie:
2
2
ω = ω0 − β
2
gdzie:
ω 0 - częstość kołowa drgań harmonicznych (bez uwzględnienia
oporu ośrodka)
κ
β - stała tłumienia β =
2m
Jeśli tłumienie jest bardzo duŜe, to
2
2
2
ω = ω0 − β < 0
i drgania nie występują (ciało wraca do połoŜenia
równowagi po nieskończenie długim czasie).
Przypadek taki czasem nazywa się pełzaniem.
W szczególnym, granicznym przypadku, gdy:
ω 2 = ω0 2 − β 2 = 0
ciało wytrącone z połoŜenia równowagi, wraca ze
zmniejszająca się do zera prędkością
i zatrzymuje się w nim.
ruch wahadła matematycznego z uwzględnieniem siły tłumiącej,
zaleŜność kąta wychylenia od czasu
Jeśli tłumienie jest małe:
ω 2 = ω0 2 − β 2 > 0
to występują drgania o malejącej amplitudzie.
ruch wahadła matematycznego z uwzględnieniem siły tłumiącej,
zaleŜność kąta wychylenia od czasu
Ciało w takim przypadku porusza się
ruchem drgającym tłumionym.
ZaleŜność połoŜenia od czasu opisuje równanie:
x = x0 e
− βt
sin(ωt + ϕ )
gdzie:
(ωt + ϕ ) - faza drgań
ω
- częstość kołowa drgań ω = ω 0 2 − β 2
2π
okres takich drgań to
T=
a amplituda
A = x 0 e − βt
ω
Drgania wykonywane przez układ mechaniczny
(z tłumieniem lub bez) nazywane
są drganiami własnymi układu.
Na układ mechaniczny moŜe dodatkowo
(oprócz siły spręŜystości i tłumiącej)
działać siła wymuszająca drgania.
Fw = F0 sin (Ωt )
gdzie:
F0 - amplituda siły wymuszającej
Ω - częstość kątowa siły wymuszającej
Jeśli częstość siły wymuszającej drgania jest równa (lub
zbliŜona) do częstości drgań własnych układu występuje
zjawisko rezonansu,
które polega
na zwiększeniu amplitudy drgań.
Im mniejsze tłumienie
tym większy wzrost amplitudy drgań.
W technice zwykle unika się takiej sytuacji, poniewaŜ
występujące wówczas napręŜenia mogą spowodować
zniszczenie układu.
rezonans
A
Ω
zaleŜność amplitudy drgań układu mechanicznego
od stosunku częstości siły wymuszającej do częstości drgań własnych
dla róŜnych stałych tłumienia