Algebra abstrakcyjna i liniowa lista 8
Transkrypt
Algebra abstrakcyjna i liniowa lista 8
Algebra abstrakcyjna i liniowa lista 8 - 4 marca 2007 Temat: układy równań liniowych, przekształcenia liniowe, macierz przekształcenia liniowego, obraz i jądro przekształcenia liniowego, wielomian charakterystyczny, wartości i wektory własne. 1. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań liniowych niejednorodnych 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6, 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4, 9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2. Jaki jest rząd macierzy tego układu? 2. Zbadać istnienie i jednoznaczność rozwiązania następującego układu równań liniowych w zależności od wartości parametrów a, b, c: ax + y + z = 1, x + by + z + 1, x + y + cz = 1. 3. Wyznaczyć fundamantalny układ rozwiązań układu jednorodnego, czyli bazę podprzestrzeni rozwiązań układu Ax = 0 dla 2 −1 5 7 A = 4 −2 7 5 . 2 −1 1 −5 4. Niech f : R3 ⇒ R3 . Zbadać czy następujące przekształcenia są liniowe (x = [x1 , x2 , x3 ]T ): (a) (b) (c) (d) f (x) = [x3 , x2 , x1 ]T , f (x) = [x3 , x2 , x1 − 1]T , f (x) = [x1 , x2 x23 ]T , f (x) = [x1 + 2x2 + 3x3 , 3x1 − x2 + 3x3 , 2x1 + 3x2 + 2x3 ]T . 5. Niech V będzie przestrzenią liniową wielomianów rzeczywistych w(t) stopnia ¬ n. Zbadać, czy poniższe odwzorowania są liniowe (w(t) ∈ V): (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) f (w(t)) = w(−t), f (w(t)) = w(t + 1), f (w(t)) = tw(t), f (w(t)) = w(at + b), gdzie a, b ∈ R ustalone parametry, f (w(t)) = w0 (t) (pochodna), f (w(t)) = w(t2 ), f (w(t)) = w(t + 1) − w(t). 6. Niech f (x) = [x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + x3 ]T ), gdzie x = [x1 , x2 , x3 ]T ∈ R3 . Opisać obraz i jądro tego przekształcenia liniowego. Podać macierz tego przekształcenia w bazie standardowej. 1 7. Niech V będzie przestrzenią wielomianów rzeczywistych stopnia ¬ 3. Niech w(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 . Rozważamy dwa przekształcenia liniowe f i g przestrzeni V w przestrzeń V: f (w(t)) = a0 + a1 t + a2 t2 , natomiast przekształcenie g przeprowadza wektory t3 + t2 , t3 + t, t3 + 1, t 3 + t2 + t + 1 na wektory t3 + t, t3 + 1, t3 + t2 + t + 1, 0. Podać macierze przekształceń f i g w bazie standardowej t3 , t2 , t, 1 oraz wyznaczyć ich wielomiany charakterystyczne. Jakie są macierze superpozycji (złożenia) tych przekształceń: f g i gf ? 8. Udowodnić, że macierz kwadratowa jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy gdy nie ma zerowej wartości własnej. 9. Udowodnić, że jeśli det(A) 6= 0 i λ jest wartością własną macierzy A, to 1/λ jest wartością własną macierzy A−1 . 10. Czy prawdą jest, że jeśli λ jest wartością własną macierzy A, to λ2 jest wartością własną macierzy A2 ? A co można powiedzić o wektorach własnych macierzy A i A2 ? 11. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne następujących macierzy: " 3 + i −1 2i 1−i # , 4 −1 −2 2 1 −2 , 1 −1 1 4 −4 2 2 −2 1 . −4 4 −2 4 1 1 2 4 1 , 0 1 4 12. Niech A i B będą macierzami stopnia n. Mówimy, że macierz B jest podobna do macierzy A jeśli istnieje macierz nieosobliwa S taka, że B = SAS −1 . Udowodnić, że macierze A i B mają takie same wartości własne. Skorzystać z wielomianów charakterystycznych. A jaki jest związek między wektorami własnymi macierzy A i B? Skorzystać z definicji. 2 Zadania z podręcznika Antona i Rooresa 13. Wyrazić wektor Ax jako liniową kombinację kolumn macierzy A: A= −3 6 2 5 −4 0 2 3 −1 1 8 3 , −1 x = 2 . 5 14. Zbadaj, czy wektor b należy do podprzestrzeni liniowej rozpiętej na kolumnach macierzy A. Jeśli należy, to przedstaw wektor b jako liniową kombinacje kolumn macierzy A: " (a) A = 1 3 4 −6 # " , b= 1 1 2 (b) A = 1 0 1 , 2 1 3 1 −1 1 3 1 , (c) A = 9 1 1 1 −2 10 # . −1 b = 0 . 2 5 b = 1 . −1 15. Na przykładzie macierzy A sprawdź, że rank(A) = rank(AT ): 1 2 4 0 A = −3 1 5 2 . −2 3 9 2 16. Jakie warunki muszą spełniać b1 , b2 , b3 , b4 , b5 żeby układ równań liniowych miał rozwiązanie: x1 − 3x2 = b1 , x1 − 2x2 = b2 , x1 + x2 = b3 , x1 − 4x2 = b4 , x1 + 5x2 = b5 ? 17. Zbadaj, czy następujące przekształcenia są liniowe: (a) f : M22 → R, gdzie " i. f " ii. f a b c d #! a b c d #! = 3a − 4b + c − d, = a2 + b2 , (b) f : P2 → P2 , gdzie P2 jest przestrzenią wielomianow stopnia ¬ 2: i. f (a0 + aa x + a2 x2 ) = a0 + a1 (x + 1) + a2 (x + 1)2 . ii. f (a0 + aa x + a2 x2 ) = (a0 + 1) + (a1 + 1)x + (a2 + 1)x2 . 3 18. Jako bazę przestrzeni R2 wybieramy wektory: u1 = [−2, 1]T , przekształcenie liniowe f : R2 → R3 będzie takie, że f (u1 ) = [−1, 2, 0]T , u2 = [1, 3]T i niech f (u2 ) = [0, −3, 5]T . Obliczyć f ([2, −3]T ). 19. Niech f : P2 → P3 będzie przekształceniem liniowym określonym wzorem: f (w(x)) = xw(x), gdzie w(x) jest wielomianem stopnia ¬ 2. Które z następujących wielomianów należą do jądra tego przekształcenia: x2 , 1 + x? 0, Które wielomiany należą do obrazu: x + x2 , 1 + x, 3 − x2 ? 20. Niech przekształcenie liniowe f → M22 → M22 będzie zdefiniowane przez następujący wzór: " f (X) = 1 1 0 0 # " X +X 0 0 1 1 # . Wyznacz rząd obrazu i rząd jądra przekształcenia f . 21. Niech przekształcenie liniowe f : R2 → R2 będzie określone wzorem: f ([x1 , x2 ]T ) = [x1 − x2 , x2 + x2 ]T . Wyznaczyć macierz tego przekształecenia w: (a) w bazie jednostkowej e= [1, 0]T , e2 = [0, 1]T (b) w bazie u1 [= 1, 1, ]T , u2 = [−1, 0]T . 22. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy −2 2 3 A = −2 3 2 . −4 2 5 Na tej podstawie wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy: A−1 , 2I? A − 3I, Literatura pomocnicza: 1. J. Klukowski, I. Nabiałek, Algebra dla studentów, WNT, Warszawa 2005. 2. T. Jurlewicz, Zb. Skoczylas, Algebra Liniowa 2, GIS, Wrocław. 3. H. Anton, Ch. Rorres, Elementary linear algebra. Applications version, Wiley 1995. Krystyna Ziętak 4 A+