Wartości i wektory własne, formy kwadratowe, macierze symetryczne

Algebra - zestaw 10 - 4-10 I 2017
Wartości i wektory własne, formy kwadratowe i macierze symetryczne
Zadanie
1. Wyznaczyć
wartości
dla macierzy:⎤
⎡
⎤
⎡ własne⎤i wektory własne ⎡
[
]
[
]
1 −1 1
2 0 1
3 4 −5
3 5
−3 2
a) ⎣−1 −1 2⎦, b)
, c) ⎣0 3 1⎦, d)
, e) ⎣8 7 −2⎦,
4 2
2 0
3
0 1
0 6 2
2 −1 8
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
[
]
[
]
0 1 0
1 −1 −1
1 −3 1
−7 1
0 −1
0 ⎦, i)
f) ⎣0 0 1⎦, g)
, h) ⎣1 1
, j) ⎣−3 1 −1⎦,
2 −5
5 4
0 −1 0
3 0
1
1 −1 5
Zadanie 2. Za pomocą równania Cayley’a-Hamiltona wyznaczyć macierze odwrotne do
macierzy z zadania 1.
Zadanie 3. Pokazać, że wartości własne macierzy mogą się zmienić jeśli od jednego wiersza odejmiemy wielokrotność innego. Uzasadnić, że jeśli 𝜆 = 0 jest wartością własną wyjściowej macierzy, to jest też wartością własną macierzy dowolnej tak powstałej macierzy.
Zadanie 4. Wiemy, że wartości własne macierzy 𝐴𝑇 są tożsame z wartościami własnymi
macierzy 𝐴. Pokazać (podać przykład),
[ że]odpowiadające im wektory własne się różnią.
0 1
Zadanie 5. Uzupełnić macierz 𝐴 =
, jeśli wartości własne macierzy 𝐴 to 4 i 7.
⋅ ⋅
⎡
⎤
0 1 0
Zadanie 6. Uzupełnić macierz ⎣0 0 1⎦ wiedząc, że jej wielomian charakterystyczny
⋅ ⋅ ⋅
ma postać −𝜆3 + 4𝜆2 + 5𝜆 + 6.
Zadanie 7. Niech 𝐴 ∈ 𝑀 (3, 3) ma wartości własne 1, 2, 4. Jaki jest wyznacznik (𝐴−1 )𝑇 ?
Zadanie 8. Bez obliczania wartości własnych wyznaczyć sumę wartości własnych i
iloczyn wartości własnych dla macierzy:
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
2 1 1 3
1
3 1
2 3 0
⎢−1 2 1 1 ⎥
⎥
⎣
⎦
⎣
a)𝐴 = −1 2 1 , b)𝐵 = 0 −2 1⎦, c)𝐶 = ⎢
⎣ 0 3 4 −5⎦.
−1 5 2
2 3 −2
−2 4 6 1
Zadanie 9. Korzystając z wzorów Viete’a wskazać wymiar, wyznacznik, rząd i ślad
macierzy, której wielomian charakterystyczny ma postać:
2
𝜑(𝜆) = −𝜆9 + 3𝜆8 + 𝜆5 + 2𝜆4 − 𝜆 + .
3
Zadanie 10. Pokazać, że jeśli 𝐴 jest macierzą Markowa, to 𝜆 = 1 jest wartością własną
tej macierzy.
Zadanie 11. Dana jest macierz formy kwadratowej. Podać wzór odwzorowania, określającego
⎡ tę formę: ⎤
⎡
⎤
[
]
0 −3 2
4 1
0
2 1
a) ⎣−3 −1 1 ⎦, b)
, c) ⎣1 −2 2 ⎦.
1 −1
2
1 −4
0 2 −1
Zadanie 12. Wyznaczyć macierz i zbadać określoność formy kwadratowej zadanej
wzorem:
a) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦;
b) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦 2 + 4𝑥𝑦;
c) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥2 + 𝑦 2 + 4𝑧 2 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥𝑧;
d) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑥2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 + 32 𝑥𝑦 + 32 𝑥𝑧;
e) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣) = −2𝑥2 − 2𝑦 2 − 3𝑧 2 − 4𝑣 2 + 2𝑥𝑧 + 4𝑥𝑣 − 6𝑧𝑣;
f) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑣) = 𝑥2 + 2𝑦 2 + 𝑧 2 + 4𝑣 2 + 2𝑥𝑦 + 8𝑦𝑣;
g) 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 + 2𝑥𝑦;
h) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 9𝑦 2 + 3𝑧 2 − 6𝑥𝑦;
i) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑥𝑧 − 6𝑦𝑧;
j) 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −2𝑥2 − 5𝑦 2 − 3𝑧 2 − 4𝑥𝑦 + 6𝑦𝑧.
1
2
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski