16. Definicja i własności funkcji pierwotnej, całki nieoznaczonej.

Jakub Kowalski, Agata Grabowicz
16. Definicja i własności funkcji pierwotnej, całki nieoznaczonej.
Def funkcji pierwotnej.
Niech f będzie funkcją określona na przedziale 𝒫. Mówimy że funkcja 𝐹: 𝒫 → ℝ jest funkcją
pierwotną funkcji f w przedziale 𝒫 gdy F jest funkcja różniczkowalną oraz F’(x) = f (x) dla x∊𝒫.
Przykłady.
1.Funkcja sin x jest funkcją pierwotną funkcji cos x, bo (sin x)’ = cos x
1
1
2. Funkcja 3 𝑥 3 , jest funkcją pierwotną funkcji 𝑥 2 , bo (3 𝑥 3 )′ = 𝑥 2 .
3.Funkcją pierwotną dla 𝑒 𝑥 jest ta sama funkcja 𝑒 𝑥 , bo (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥 .
Twierdzenie.
Niech 𝒫 będzie przedziałem otwartym oraz niech 𝐹: 𝒫 → ℝ będzie funkcją pierwotną funkcji f w
przedziale P. Wówczas funkcja 𝐹1 : 𝒫 → ℝ jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale 𝒫 wtedy i
tylko wtedy, gdy F− 𝐹1 jest funkcją stałą (w 𝒫).
(Inaczej Jeśli dwie funkcje 𝐹 𝑖 𝐹1 określone na P o wartościach rzeczywistych są funkcjami
pierwotnymi funkcji 𝑓: 𝒫 → ℝ to różnią się o stałą.)
Własność.
Niech 𝒫 będzie przedziałem otwartym oraz α, β ∈ ℝ. Jeśli 𝐹1 , 𝐹2 : 𝒫 → ℝ są funkcjami pierwotnymi
odpowiednio funkcji 𝑓1 , 𝑓2 w przedziale 𝒫, to α𝐹1 + β𝐹2 jest funkcją pierwotną funkcji α𝑓1 + β𝑓1 w
przedziale 𝒫.
𝛼
𝑓1 𝑥 𝑑𝑥 + 𝛽
𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 =
[𝛼𝑓1 𝑥 + 𝛽𝑓2 𝑥 ] 𝑑𝑥
Uwaga .
Odpowiednik tej własności dla iloczynu funkcji nie zachodzi.
Uwaga.
Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale P taką, że f(x) > 0 dla x ∈ P. Wprost z definicji
funkcji pierwotnej mamy
(a) Funkcja F(x) = ln f(x), x ∈ P jest funkcją pierwotną funkcji
𝑓′
𝑓
(b) Funkcja F(x) = 2 𝑓(𝑥) , x ∈ P jest funkcją pierwotną funkcji
w przedziale P.
𝑓′
𝑓
Własność.
Niech P będzie przedziałem, 𝑥0 ∈ P będzie takim punktem, że zbiory
𝑃1 = {x ∈ P : x ≤ 𝑥0 }, 𝑃2 = {x ∈ P : x ≥ 𝑥0 } są przedziałami. Niech f : P → ℝ. Jeśli
(i) 𝐹1 : 𝑃1 → ℝ jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale 𝑃1 ,
(ii) 𝐹2 : 𝑃2 → ℝ jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale 𝑃2 ,
(iii) 𝐹1 (𝑥0 ) = 𝐹2 (𝑥0 ),
to funkcja F : P → ℝ określona wzorami F(x) = 𝐹1 (x) dla x ∈ 𝑃1 i F(x) = 𝐹2 (x) dla x ∈ 𝑃2
jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P.
Jakub Kowalski, Agata Grabowicz
Własność.
Jeśli funkcja ma funkcje pierwotną w przedziale P to f spełnia w P własność Darboux.
Definicja całki nieoznaczonej.
Niech P będzie przedziałem oraz f funkcją określoną na P. Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną w
przedziale P, to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale P nazywamy całką
nieoznaczoną funkcji f w przedziale P i oznaczamy 𝑓 𝑑𝑥 lub 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐
,𝑐 𝜖 ℝ
Jeśli funkcja f nie ma funkcji pierwotnej w przedziale P, to mówimy, że funkcja ta nie ma całki
nieoznaczonej w tym przedziale
Własność.
1. Jeżeli funkcja f ma funkcję pierwotną w 𝑎, 𝑏 i 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) to zachodzi:
′
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)
2. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w 𝑎, 𝑏 i 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) to:
𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑐,
𝑐 ∈ℝ
Twierdzenie. (o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji ciągłej)
Jeśli 𝒫 jest przedziałem, to każda funkcja ciągła 𝑓: 𝒫 → ℝ ma funkcję pierwotna w przedziale 𝒫.
Przykład (funkcja nieciągła posiadająca funkcję pierwotną)
1
1
Niech 𝑓 𝑥 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 dla x ≠ 0 oraz 𝑓 0 = 0. Wówczas 𝑓 posiada funkcję pierwotną
1
𝐹: ℝ → ℝ określoną wzorami 𝐹 𝑥 = 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 dla x ≠ 0 oraz 𝐹 0 = 0. Funkcja 𝑓 nie jest jednak
funkcją ciągłą w punkcie 0.
Podstawowe wzory rachunku całkowego:
𝑥 𝛼 +1
𝑥 𝛼 𝑑𝑥 =
+ 𝐶 𝑤 0, ∞ , 𝑔𝑑𝑦 𝛼 𝜖 ℝ \{−1}
𝛼+1
𝑥 𝛼 +1
𝑥 𝛼 𝑑𝑥 =
+ 𝐶 𝑔𝑑𝑦 𝛼 𝜖 ℕ
𝛼+1
1
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶 𝑔𝑑𝑦 𝑥 𝜖 (𝑜, ∞)
𝑥
1
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 −𝑥 + 𝐶 𝑔𝑑𝑦 𝑥 𝜖 (− ∞, 0)
𝑥
𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
𝑎 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
+𝐶
𝑙𝑛𝑎
𝑔𝑑𝑦 𝑥 𝜖 ℝ
𝑔𝑑𝑦 𝑥 𝜖 ℝ, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
𝑔𝑑𝑦 𝑥𝜖 ℝ
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶
𝑔𝑑𝑦 𝑥 𝜖 ℝ
1
𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝜋
𝜋
𝑔𝑑𝑦 𝑥 𝜖 − + 𝑘𝜋, + 𝑘𝜋 , 𝑘 𝜖 ℤ
2
2
Jakub Kowalski, Agata Grabowicz
1
𝑑𝑥 = −𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 𝑔𝑑𝑦 𝑥 𝜖 𝑘𝜋, 𝜋 + 𝑘𝜋 , 𝑘 𝜖 ℤ
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
1
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 𝑔𝑑𝑦 𝑥 𝜖 ℝ
1 + 𝑥2
1
𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 𝑔𝑑𝑦 𝑥 𝜖 (−1, 1)
1 − 𝑥2
Twierdzenie. Jeśli funkcje 𝑓 i 𝑔 mają funkcje pierwotne w przedziale 𝒫, to funkcje 𝑓 + 𝑔 oraz 𝛼𝑓,
gdzie α ϵ ℝ, mają całki nieoznaczone w przedziale 𝒫 oraz
𝑓 ± 𝑔 𝑑𝑥 =
𝑓 𝑑𝑥 ±
𝛼𝑓 𝑑𝑥 = 𝛼
𝑔 𝑑𝑥
𝑓 𝑑𝑥
Twierdzenie. (o całkowaniu przez części)
Niech 𝒫 będzie przedziałem oraz niech 𝑓, 𝑔 będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale 𝒫. Jeśli
funkcja 𝑓𝑔′ ma w przedziale 𝒫 całkę nieoznaczoną, to funkcja 𝑓′𝑔 ma w przedziale 𝒫 całkę
nieoznaczoną oraz
𝑓′𝑔 𝑑𝑥 = 𝑓𝑔 −
𝑓𝑔′ 𝑑𝑥
Przykład.
𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑔 𝑥 = 𝑥 2 𝑔′ 𝑥 = 2𝑥
= 𝑥2 𝑒 𝑥 −
𝑓′ 𝑥 = 𝑒 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥
𝑥2 𝑒 𝑥 − 2
𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2 𝑥𝑒 𝑥 −
2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑢 𝑥 = 𝑥 𝑢′ 𝑥 = 1
=
𝑣′ 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑣 𝑥 = 𝑒 𝑥
𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 𝑥 + 𝑐
Twierdzenie. (o całkowaniu przez podstawianie)
Niech 𝒫 oraz 𝒬 będą przedziałami oraz niech φ: 𝒬 → ℝ będzie funkcją różniczkowalną taką, że
𝜑 𝒬 ⊂ 𝒫. Jeśli funkcja 𝑓 ma w przedziale 𝒫 całkę nieoznaczoną, to funkcja 𝑓 ∘ 𝜑 ∗ 𝜑′ ma w
przedziale 𝒬 całkę nieoznaczoną oraz
𝑓 ∘ 𝜑 𝑥 ∗ 𝜑′ (𝑥) 𝑑𝑥 =
Przykład.
x 2 dx
t = x3 + 5
=
=
x3 + 5
dt = 3x 2 dx
𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ∘ 𝜑(𝑥)
1
1
1
dt = ln t = ln x 3 + 5 + c
3t
3
3