Całkę oznaczoną Riemanna funkcji f w przedziale oznaczamy

Całki oznaczone Całkę oznaczoną Riemanna funkcji f w przedziale ,
oznaczamy symbolem: . Funkcję nazywamy funkcją podcałkową, a końce i przedziału granicami całkowania. Należy zwrócić uwagę, że całka oznaczona Riemanna jest liczbą (jeśli tylko istnieje), a całka nieoznaczona jest zbiorem funkcji. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej: Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale , to jest polem obszaru ograniczonego wykresem funkcji , osią odciętych i prostymi
i . Funkcja ma całkę oznaczoną na przedziale , (jest całkowalna w sensie Riemanna), jeżeli spełnia jeden z warunków: 1) jest ciągła na przedziale , , 2) jest ograniczona na , i ma w tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości, 3) jest monotoniczna i ograniczona na , . Podstawowe własności całki oznaczonej Riemanna: Twierdzenie 1. Jeżeli jest funkcją całkowalną na przedziale , i jeżeli , to Twierdzenie 2. Jeżeli i są całkowalne na ,
to: ·
gdzie jest dowolną stałą. Twierdzenie 3. (o wartości średniej) Jeżeli jest funkcją ciągłą na przedziale ,
x
·
, to istnieje taki punkt xœ ,
1
, że MB Całki oznaczone
Wyrażenie 1
nazywane jest wartością średnią funkcji f na przedziale , . Twierdzenie 4. Jeżeli jest funkcją całkowalną na przedziale , oraz dla każdego œ ,
nierówność §
§ , to: spełniona jest Twierdzenie 5. (wzór na całkowanie przez części) Jeżeli funkcje u i v mają na przedziale , ciągłe pochodne ’ i ’, to: Twierdzenie 6. (wzór na całkowanie przez podstawienie) Jeżeli funkcja jest ciągła na zbiorze wartości funkcji mającej ciągła pochodną ’ na przedziale , b
, to: , i jeżeli a
Twierdzenie 7. (Newtona‐Lebnitza) Jeżeli jest dowolną funkcją pierwotną funkcji ciągłej na przedziale ,
, to: Całki niewłaściwe Jeżeli całkujemy funkcję na przedziale nieograniczonym to mówimy o całce niewłaściwej pierwszego rodzaju. Jeżeli funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale , dla każdego , to jej całkę niewłaściwą na przedziale , ∞ określamy następująco: lim
Gdy powyższa granica istnieje i jest właściwa, to całkę nazywamy zbieżną, w przeciwnym wypadku – rozbieżną. Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale ∞, : lim
2
MB Całki oznaczone
Definiując całkę niewłaściwą 1 na przedziale ¶, ¶ , dzielimy ten przedział na dwa dowolne podprzedziały rozpatrujemy osobno całki: i
∞, oraz , ∞ i . Jeżeli obie całki są zbieżne, to mówimy, że całka 1 jest zbieżna, przy czym: Jeżeli przynajmniej jedna z tych całek jest rozbieżna, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna. Jeżeli funkcja podcałkowa nie jest funkcją ograniczoną w skończonym przedziale całkowania to mówimy o całce niewłaściwej drugiego rodzaju. Jeżeli funkcja jest nieograniczona na lewostronnym sąsiedztwie punktu i całkowalna na przedziale ,
dla każdego 0
, to jej całkę niewłaściwą na przedziale , określamy jako: lim
. Gdy powyższa granica istnieje i jest właściwa, wtedy całkę nazywamy zbieżną, a w przeciwnym wypadku rozbieżną. Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą na przedziale , funkcji nieograniczonej na prawostronnym sąsiedztwie punktu : lim
. Jeżeli przedział , zawiera dokładnie jeden punkt œ , , na którego sąsiedztwie funkcja jest nieograniczona, to całkę niewłaściwą funkcji na przedziale , definiujemy następująco: lim
lim
. Całka ta jest zbieżna, gdy zbieżne są obie całki niewłaściwe. 3
MB