Układy równań liniowych

MiBM; S-I 0 .inż.
dr Krzysztof Żyjewski
18 października 2014
Układy równań liniowych
Informacje pomocnicze
Definicja. Układ równań liniowych
A · X = B,
w którym A jest macierzą kwadratową nieosobliwa (detA 6= 0) nazywa się układem Cramera.
Twierdzenie. Układ Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązanie:

 

det A1
x1
 x2 

1 
 det A2 
 
 . ,
 ..  =
 .  det A  .. 
det An
xn
gdzie wyznaczniki det Aj , j = 1, 2, . . . n otrzymujemy poprzez zastąpienie w macierzy A j−tej
kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Rozważmy teraz ogólna postać układu m równań liniowych z n niewiadomymi postaci:


a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1


 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
,
(U RL)
..
..
..
..

.
.
.
.


a x + a x + . . . + a x = b
m1 1
m2 2
mn n
m
gdzie aij , bi ∈ R dla każdego i ∈ {1, 2, . . . m}, j ∈ {1, 2, . . . n}.
Twierdzenie.(Kroneckera-Capellego)
Układ równań liniowych (U RL) posiada co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy
rz A = rz AU (tzn. rząd macierzy głównej tego układu jest równy rzędowi jego macierzy uzupełnionej). Ponadto, jeśli:
• rz A = rz AU = n to układ dokładnie jedno rozwiązanie(oznaczony);
• rz A = rz AU < n to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (nieoznaczony) zależnych od
n − r, gdzie r = rz A;
• rz A 6= rz AU , to układ ten nie posiada rozwiązań i nazywamy go sprzecznym.
Operacje elementarne w metodzie eliminacji Gaussa
Uwaga! Poniższe operacje elementarne są wykonywane jedynie na wierszach (w przeciwieństwie do operacji elementarnych wykonywanych na macierzach, za pomocą których wyznaczaliśmy
rząd macierzy).
1
dr Krzysztof Żyjewski
MiBM; S-I 0 .inż.
18 października 2014
Operacje elementarne wykonywane na wierszach rozszerzonej macierzy układu równań liniowych
A :
U
• mnożenia dowolnego wiersza przez liczbę różną od 0;
• zamiany między sobą dwóch wierszy;
• dodania do dowolnego wiersza innego wiersza przemnożonego przez dowolną liczbę.
• skreślenie wiersza złożonego z samych zer;
• skreślenie wiersza proporcjonalnego do innego wiersza.
Zadania
1. Stosując wzory Cramera rozwiąż poniższe układy równań
 liniowych:
 x + 3y − 4z = 0
2x + y = −1
2x − y + z = 2
(a)
(b)
−x + 3y = 11

5x
+ y − 3z = −1


 −3x + 5y + 5z = 16
 x + y + 2z = 5
17x − 6z = 15
x+y+z = 6
(c)
(d)


−x + 8y + 6z = 25
 2x + y + z = 3

x + 2y + 3z − 2w =


 x + 2y + 3z = 14

2x − y − 2z − 3w =
3x + y + 2z = 11
(e)
(f)
3x + 2y − z + 2w =



2x + 3y + z = 11

2x − 3y + 2z + w =
6
8
4
−8
2. Korzystając z twierdzenia Kroneckera - Capelliego w podanych układach równań
określić liczbę rozwiązań oraz parametrów równania: 
x − 3y + z = 0





x + y − 4z = 0
 2x + y − z = 1

2x + 2y − 8z = 1
5x − y − z = 2
(a)
(b)



5x + 5y − 20z = 3
x
−
10y + 4z = −1



 x + y + 2z = 1


 7x − 18y − 18z = −30
 x − y + 2z − t = 1

2x − 9y − 18z = −36
2x − 3y − z + t = −1
(d)
(c)
4x − 9y − 6z = −6



x + 7y − t = 4

−7x
+ 9y − 12z = −34


7x + 13y − z = −10


−5x − 9y + 6z = −16


7x + 15y + z = −24
4x − 3y + 15z = 4
(e)
(f)
−6x
− 6y − 10z = 8



−10x − 18y + 12z = −32

11y − 17z = −15


x
+
2y + 3z − 2t + u =


 x + 2y + 3z = 0

3x + 6y + 5z − 4t + 3u =
−x + y − 2z = 1
(g)
(h)
x + 2y + 7z − 4t + u =



x + 5y + 4z = 0

2x + 4y + 2z − 3t + 3u =
2
liniowych
4
5
11
6
dr Krzysztof Żyjewski
MiBM; S-I 0 .inż.
18 października 2014
3. Stosując
układy równań:
 metodę eliminacji Gaussa rozwiązać podane 
x + 2y + z + t = 7
 4x + y + z − t = 10

y + 3z + t = 8
2x − y − z + 4t = 2
(a)
(b)


x − 2y − 2z + 2 = 4
 5x + 5y + 2z + 7t = 1

2x + 3y + 2z − t =


x − 2y + z = 4





 2x + y + z + 2s + 3t =
x+y+z = 1
3x − z + s + t = 3
(c)
(d)
2x − 3y + 5z = 10




y + 4s + t = 1



5x − 6y + 8z = 19

 2x + y + z − 2s + 5t = 8

x
+
y
+
z
+
u
+
v
=
1
x+y+z+t= 4






x−y+z−u+v = 5
2x − y + z = 2
(e)
(e)
x+z+v = 3
4x + y + 3z + 2t = 8






x+y+v = 1
3x − 3y + z − t = 0
4. W zależności od parametru a określ liczbę rozwiązań podanych układów
równań:



x
+ az =


 ax + y + z = 1
 x+y+z = 1

x + 2y + z =
x + ay + z = 1
ax + y + z = 2
(a)
(b)
(c)
x
+ 3y − z =




x + y + az = 1
x + y + az = 4

3x + 8y − z =
3
6
1
4
0
4
5. Producent do wykonania pewnego podzespołu używa czterech różnych elementów. Elementy
te zostały dostarczone w czterech partiach w ilościach uwidocznionych w tabelce:
element
a
b
c
d
kwota do zapłaty
dostawa 1
10
5
5
15
140
dostawa 2
10
10
5
10
135
dostawa 3
5
20
15
5
185
dostawa 4
5
10
10
20
175
Jaka była cena poszczególnych elementów, jeżeli ceny za dostawy zapisane są w ostatniej
kolumnie?
Odpowiedzi:

x = −2,



y = 1,
f)

z = 2,



w = −1.
2. a) brak rozwiązań, b) jedno rozwiązanie, c) nieskończenie wiele rozwiązań, 1 parametr,
d) nieskończenie wiele rozwiązań, 2 parametry, e) brak rozwiązań, f) jedno rozwiązanie, g)
brak rozwiązań, h) nieskończenie wiele rozwiązań, 2 parametry.





x
=
1,
x = a − b + 3,





x = 2,










y = 2a − 1,
x = 1,
y = 0,
y = −a − 2,
3. a)
b)brak rozwiązań, c) y = −1,
d) z = 1,
e) z = −a,




z = −a + 3,







z = 1.
s = 0,
u = a,







t = a.
t = 1
v = b
e) brak rozwiązań.
4. a) a = 1 nieskończenie wiele rozwiązań, dwa parametry, a = −2 brak rozwiązań, a ∈ R \ {−2, 1}
jedno rozwiązanie; b) a = 1 brak rozwiązań, a 6= 1 jedno rozwiązanie; c) a = 5 brak rozwiązań, a-5
jedno rozwiązanie.
5. a = 5, b = 2, c = 7, d = 3.
(
x = −2,
1. a)
y = −3;

11

x = 7 ,
b) y = 43
,
7


z = 5;


x = 3,
c) y = −1,


z=6


x = −3,
d) y = 10,


z = −1;
3


x = 1,
e) y = 2,


z = 3;