Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.

Macierze
Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy
równań.
Marek Skarupski
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Układy Cramerowskie
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych:
AX = B,
w którym A jest macierzą kwadratową i nieosobliwą.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Układy Cramerowskie
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych:
AX = B,
w którym A jest macierzą kwadratową i nieosobliwą.
Skoro A jest nieosobliwa, to istnieje macierz A−1 oraz
X = A−1 B.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Wzroy Cramera
Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej
AX = B,
w którym mamy n niewiadomych x1 , x2 , ..., xn .
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Wzroy Cramera
Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej
AX = B,
w którym mamy n niewiadomych x1 , x2 , ..., xn .
Niech będzie, że det(A) 6= 0.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Wzroy Cramera
Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej
AX = B,
w którym mamy n niewiadomych x1 , x2 , ..., xn .
Niech będzie, że det(A) 6= 0. Oznaczmy przez det(Ai ) wyznacznik
macierzy, w której i-ta kolumna została zastąpiona kolumną wyników B.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Wzroy Cramera
Rozpatrzmy układ równań dany w formie macierzowej
AX = B,
w którym mamy n niewiadomych x1 , x2 , ..., xn .
Niech będzie, że det(A) 6= 0. Oznaczmy przez det(Ai ) wyznacznik
macierzy, w której i-ta kolumna została zastąpiona kolumną wyników B.
Układ taki ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem
xi =
det(Ai )
,
det(A)
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
i = 1, ..., n.
Przykład
Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań:


=1
x − y − z
(1)
3x + 4y − 2z = −1


3x − 2y − 2z = 1.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Przykład
Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań:


=1
x − y − z
(1)
3x + 4y − 2z = −1


3x − 2y − 2z = 1.
Pozliczmy wyznacznik macierzy współczynników:
1
det(A) = 3
3
−1
4
−2
−1
−2
−2
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Przykład
Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań:


=1
x − y − z
(1)
3x + 4y − 2z = −1


3x − 2y − 2z = 1.
Pozliczmy wyznacznik macierzy współczynników:
1
det(A) = 3
3
−1
4
−2
−1
−2 = −8 + 6 + 6 + 12 − 4 − 6 = 6.
−2
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Przykład
Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczymy rozwiązanie układu równań:


=1
x − y − z
(1)
3x + 4y − 2z = −1


3x − 2y − 2z = 1.
Pozliczmy wyznacznik macierzy współczynników:
1
det(A) = 3
3
−1
4
−2
−1
−2 = −8 + 6 + 6 + 12 − 4 − 6 = 6.
−2
Teraz liczymy wyznaczniki det(Ax ), det(Ay ), det(Az ), w których w
miejsce odpowiednio kolumny pierwszej, drugiej i trzeciej wstawiamy
kolumnę wyników:


1
 −1  .
1
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Przykład - c.d.
1
det(Ax ) = −1
1
−1
4
−2
−1
−2
−2
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Przykład - c.d.
1
det(Ax ) = −1
1
−1
4
−2
−1
−2 = −8 + 2 − 2 + 4 − 4 + 2 = −6,
−2
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Przykład - c.d.
1
det(Ax ) = −1
1
−1
4
−2
−1
−2 = −8 + 2 − 2 + 4 − 4 + 2 = −6,
−2
1
det(Ay ) = 3
3
1
−1
1
−1
−2
−2
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Przykład - c.d.
1
det(Ax ) = −1
1
−1
4
−2
−1
−2 = −8 + 2 − 2 + 4 − 4 + 2 = −6,
−2
1
det(Ay ) = 3
3
1
−1
1
−1
−2 = 2 − 6 − 3 − 3 + 2 + 6 = −2,
−2
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Przykład - c.d.
1
det(Ax ) = −1
1
−1
4
−2
−1
−2 = −8 + 2 − 2 + 4 − 4 + 2 = −6,
−2
1
det(Ay ) = 3
3
1
−1
1
−1
−2 = 2 − 6 − 3 − 3 + 2 + 6 = −2,
−2
1
det(Az ) = 3
3
−1
4
−2
1
−1
1
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Przykład - c.d.
1
det(Ax ) = −1
1
−1
4
−2
−1
−2 = −8 + 2 − 2 + 4 − 4 + 2 = −6,
−2
1
det(Ay ) = 3
3
1
−1
1
−1
−2 = 2 − 6 − 3 − 3 + 2 + 6 = −2,
−2
1
det(Az ) = 3
3
−1
4
−2
1
−1 = 4 + 3 − 6 − 12 − 2 + 3 = −10.
1
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Przykład - c.d.
Korzystając ze wzorów Cramera otrzymujemy rozwiązanie układu równań:
−6
det(Ax )
=
= −1,
det(A)
6
det(Ay )
−2
1
y=
=
=− ,
det(A)
6
3
det(Az )
−10
5
z=
=
=− .
det(A)
6
3
x=
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Wnioski z twierdzenia Cramera
W twierdzeniu Cramera była mowa o przypadku, kiedy det(A) 6= 0.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Wnioski z twierdzenia Cramera
W twierdzeniu Cramera była mowa o przypadku, kiedy det(A) 6= 0.
Jeśli det(A) = 0, ale choć jeden z wyznacznikow det(Aj ) 6= 0, to
układ jest sprzeczny.
Jeśli det(A) = det(A1 ) = ... = det(An ) = 0, to układ ma
nieskończenie wiele rozwiązań.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Układ równań macierzowych
Układem równań macierzowych nazywamy układ postaci:


A1,1 X1 + A1,2 X2 + ... + A1,n Xn = B1
,
...


Am,1 X1 + Am,2 X2 + ... + Am,n Xn = Bm
gdzie wszystkie występujące tu elementy są macierzami.
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Układ równań macierzowych
Układem równań macierzowych nazywamy układ postaci:


A1,1 X1 + A1,2 X2 + ... + A1,n Xn = B1
,
...


Am,1 X1 + Am,2 X2 + ... + Am,n Xn = Bm
gdzie wszystkie występujące tu elementy są macierzami.
Przy rozwiązywaniu takich układów można posłużyć się m.in. metodą
podstawienia, tzn. z wyznaczamy z jednego rówania postać wybranej
niewiadomiej macierzy i wstawiamy do drugiego równania. Należy jednak
pamiętać o tym, że mnożenie macierzy nie jest przemienne!
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Literatura
Bronsztejn, I.N. Siemiendiajew Matematyka. Poradnik
Encyklopedyczny, wyd. siódme, PWN, Warszawa 1986
Mostowski, Stark Elementy algebry wyższej, Biblioteka
Matematyczna 16. PWN, Warszawa 1974
Rietsch, E. An introduction to Scilab from a Matlab User’s Point of
View, ver. 5.2, 2010, on-line:
https://wiki.scilab.org/Tutorials?action=AttachFile&do=get&target=
Scilab4Matlab.pdf
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Podziękowania
Dziękuję za uwagę
Marek Skarupski
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.