Zapisz jako PDF

Całka Riemanna
Niech
będzie funkcją ograniczoną na
Niech
będzie (skończonym,
gdzie:
Ciąg
,
o wartościach rzeczywistych.
-elementowym) ciągiem:
,
.
nazywamy podziałem odcinka
. Niech
Całka górna
Całką górną z funkcji
i analogicznie
całką dolną
z funkcji
nazywamy
nazywamy infimum z
po wszystkich możliwych podziałach:
Mamy
Średnica podziału. Własności sumy górnej i dolnej
Średnica podziału
średnicą podziału
odcinka
nazywamy liczbę
, równą
(tzn. długość najdłuższego odcinka podziału).
Całka (górna) jako kres (dolny) sumy (górnej) i granica ciągu
Twierdzenie
Niech
— ograniczona na
, o wartościach rzeczywistych oraz
— ciąg podziałów taki, że
. Wtedy:
Dowód
Dla danego podziału , oznaczmy przez
podział z dostawionym punktem
;
zakładamy, że dostawka odbywa się w sposób nietrywialny, tzn. nie pokrywa się z żadnym z
punktów
. Niech
Obliczmy teraz
.
do obliczenia różnicy wystarczy rozpatrzyć odcinek
, bo wkłady od pozostałych odcinków kasują się. Mamy:
[Error parsing LaTeX formula. Error 6: dimension error: 783x63]
(p. RYS. dla ilustracji; powyższa różnica jest równa polu powierzchni zakreskowanego prostokąta).
Podsumowując, mamy więc:
czyli dostawianie punktów w podziale zmniejsza sumę górną.
Oczywista nierówność
Mamy też oczywistą nierówność:
Oznaczmy ten ostatni nawias jako
:
mamy więc:
Teraz rozpatrzmy sytuację, gdy do danego podziału
Mamy:
Mamy więc:
dostawiliśmy
punktów
.
Oznaczmy kolekcję dostawionych punktów
tzn. (%i 2) przepiszmy więc jako
We/xmy teraz dowolne
Weźmy teraz
. Wtedy (z definicji kresu dolnego) istnieje taki podział , że
— inny podział. Mamy:
Weźmy teraz dla wybranego powyżej
jeśli teraz
jako podział . Ostatnią nierówność
następujące :
, to z faktów powyżej wynika
tzn. dla każdego
istnieje takie
, że dla
mamy:
czyli
tzn. pokazaliśmy pierwszą z równości (%i 1). Dla drugiej równości dowód jest analogiczny. CBDO
Nierówność pomiędzy całkami górną i dolną. Funkcje całkowalne w sensie
Riemanna.
Niech będzie dowolną funkcją ograniczoną na
. Niech
będą podziałami odcinka
pokazanych wyżej własności sum górnych i dolnych od razu widać, że
.Z
co można wypowiedzieć jako: każda suma górna jest większa od każdej sumy dolnej. Przechodząc do
granicy z średnicą podziałów dążącą do zera, otrzymujemy następującą nierówność dla całek: górnej
i dolnej:
Stwierdzenie
Dla
— dowolnej funkcji ograniczonej na
zachodzi
Bardzo ważny przypadek, gdy obie te całki są równe, prowadzi do definicji:
Funkcja całkowalna w sensie Riemanna
Niech będzie dowolną rzeczywistą funkcją ograniczoną na
sensie Riemanna, jeśli
W takim przypadku tę wspólną granicę oznaczamy:
. Mówimy, że
jest całkowalna w
.
Sumy wypunktowane i ich związek z całką Riemanna
Wypunktowanie
Niech
— podział odcinka
punktów takich, że
;
. Niech
— zbiór
nazywamy wypunktowaniem.
Suma wypunktowana
Niech — funkcja ograniczona na
wypunktowania nazywamy sumę
. Sumą wypunktowaną funkcji
względem podziału
i
Mamy oczywistą zależność
co — w połączeniu z definicją funkcji całkowalnej w sensie Riemanna — prowadzi od razu do
twierdzenia:
Twierdzenie
Niech
— funkcja ograniczona na
dowolnego ciągu
. Jeżeli
podziałów odcinka
Riemanna jest zbieżny do
.
jest całkowalna w sensie Riemanna, to dla
takiego, że
, ciąg wypunktowanych sum
Jest też w pewnym sensie na odwrót:
Twierdzenie
Niech
— funkcja rzeczywista na
(uwaga: nie musi być ograniczona — to wyjdzie jako element
tezy). Jeżeli dla dowolnego ciągu
podziałów odcinka
takiego, że
, ciąg
wypunktowanych sum Riemanna jest zbieżny do granicy niezależnej od sposobu wypunktowania, to
jest ograniczona i całkowalna w sensie Riemanna.
Dowód
dowodu nie będzie.
Twierdzenie
Niech
— funkcje ograniczone na odcinku
całkowalna na
. Jeśli
są całkowalne na
oraz
Dowód
Mamy:
(ponieważ na dowolnym zbiorze
mamy:
(ponieważ znów, na dowolnym zbiorze
Mamy więc
mamy:
) oraz
).
to
też jest
Jeżeli teraz weźmiemy ciąg podziałów
równe
taki, że
, to skrajne strony nierówności będą
, a to znaczy, że wyrazy w środku są równe i wynoszą:
— a to znaczy, że funkcja
jest całkowalna i że zachodzi wzór (%i 6).
CBDO
Mamy też proste
Twierdzenie
Jeśli
— całkowalna na
, to
(gdzie
const.) też jest całkowalna i zachodzi
Dowód
Wynika to z oczywistego faktu, że na dowolnym zbiorze X mamy, dla
,
analogicznie dla infimum, co prowadzi do natychmiastowego wniosku dla całek.
i
CBDO
Twierdzenie
Jeśli
— całkowalna na
oraz
na
, to
Dowód
Mamy bowiem, z uwagi na nieujemność :
również
otrzymujemy (%i 8).
dla dowolnego podziału
; a że dla funkcji całkowalnej mamy
CBDO
Przykł.
1. Funkcja stała
jest całkowalna. Mamy bowiem:
i skoro tak, to
, to
2.
. — ćw., rachunek z definicji.
3.
; znów ćw. — rachunek z definicji.
Przykł. Kanoniczne przykłady całek:
1. Całka jako pole powierzchni pod krzywą
;
2. Całka jako droga, gdy dana jest prędkość. Dokładniej: Gdy punkt materialny porusza się po
prostej z prędkością
, to droga przebyta na odcinku czasu między
.
Klasy funkcji całkowalnych
Twierdzenie
Jeśli
— ograniczona i monotoniczna na
, to jest całkowalna na
Uwaga
nie musi być ciągła!
Dowód
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że
jest rosnąca. Pokażemy, że
podział
Bierzemy podział
i mamy, ze względu na to, że
jest rosnąca: RYS.:
.
a
jest równa
skąd
Największa różnica wartości funkcji na przedziale
, bo gdyby była równość, to
Niech teraz będzie dana
jest równa
. Zakładamy, że
jest stała, więc jest całkowalna.
. Bierzemy taki podział , aby jego średnica
była mniejsza niż
Wtedy mamy:
tak więc dla danego
znale/xliśmy przedział spełniający warunek (%i 9).
CBDO
Twierdzenie
Jeżeli
jest ciągła na
to jest całkowalna na
.
Dowód
Było twierdzenie mówiące, że jeśli
jednostajnie ciągła:
Szacujemy
:
jest ciągła na zbiorze domkniętym (tu: odcinku
) to jest tam
Dla danego
we/xmy podział o średnicy
takiej, by był spełniony warunek (%i 10) w wersji:
. Wówczas na każdym odcinku
mamy:
i mamy
Zatem różnicę
możemy uczynić dowolnie małą, czyli
jest całkowalna.
CBDO
Uwaga
Nie wszystkie funkcje są całkowalne w sensie Riemanna.
Przykł.
Rozważmy funkcję Dirichleta:
Przypomnijmy sobie, że zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne są rozłożone gęsto w , tzn.
między dowolnymi dwoma liczbami wymiernymi znajduje się liczba niewymierna i na odwrót —
między dowolnymi dwoma liczbami niewymiernymi znajduje się liczba wymierna. Tak więc kresem
górnym funkcji Dirichleta na dowolnym odcinku domkniętym jest 1, a kresem dolnym 0. Biorąc więc
dowolny podział , mamy:
,
. Tak więc na dowolnym odcinku
tak więc całka Riemanna z funkcji Dirichleta nie istnieje.
Związek rachunku różniczkowego i całkowego
Twierdzenie (podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego)
Niech
— funkcja ciągła na
. Wtedy funkcja
jest różniczkowalna oraz zachodzi:
, zdefiniowana przez:
,
.
Dowód
Ponieważ
jest ciągła, to jest całkowalna na
.
Oznaczmy:
Oczywiste jest, że jest funkcją całkowalną nieujemną na
czego mamy: RYS.
Analogicznie otrzymujemy
. Wobec tego
,z
Przypomnijmy sobie definicję ilorazu różnicowego:
Weźmy najsampierw
. Mamy: RYS.
co daje
Oznaczmy tymczasowo:
Mamy:
i po podzieleniu przez
dostajemy
Weźmy teraz przypadek
. RYS. Mamy:
skąd
oraz (pamiętajmy, że
jest dodatnie!)
gdzie
Po podzieleniu przez
otrzymujemy
Weźmy teraz
Dla
i oznaczmy:
(znak
a ponieważ
może tu być dowolny) mamy wtedy
jest ciągła, to przy
obie strony powyższej nierówności dążą do
, tak więc
CBDO
Wnioski
1. Jeśli
dla
2. (
— ciągła na
, to mamy:
— dowolnej funkcji pierwotnej do .
—twierdzenie o wartości średniej w rachunku całkowym). Jeśli
istnieje punkt
— ciągła na
, to
taki, że
Dow. Zastosujmy do funkcji pierwotnej
średniej w rachunku różniczkowym:
twierdzenie Lagrange'a o wartości
co od razu daje wzór (%i 12). CBDO Inny dowód, oparty o własność Darboux.
Twierdzenie (O całkowaniu przez części)
Jeśli
(tzn.
są ciągłe na
) to zachodzi wzór
Dowód
CBDO
Twierdzenie
Jeśli
— całkowalna na
to
też jest całkowalna na
i zachodzi nierówność
Dowód
Dla dowolnego
całkowalna — daje
mamy:
, co — przy założeniu, że
jest
a to znaczy, że zachodzi wzór (%i 13). Do zakończenia dowodu pozostaje więc pokazać, że
całkowalna — co teraz uczynimy. Pokażemy mianowicie, że
Pokażemy najsampierw, że na dowolnym odcinku
mamy:
Pokażemy to, rozważając trzy możliwe przypadki:
1. Na całym odcinku
funkcja
jest nieujemna:
. RYS. Mamy wtedy:
i nierówność (%i 15) zachodzi (mamy w niej równość).
2. Na całym odcinku
funkcja
jest niedodatnia:
. RYS. Mamy wtedy:
i znowu nierówność (%i 15) zachodzi (mamy znów w niej równość).
3. Trzecia i ostatnia możliwość to ta, że zmienia znak na . Wtedy:
oraz
jest
więc tym bardziej
i po dodaniu do obu stron tej nierówności wyrazu
(%i 15) (tym razem ostrą).
otrzymujemy znów nierówność
CBDO Mamy zatem:
[Error parsing LaTeX formula. Error 6: dimension error: 737x69]
Powyższa nierówność znaczy, że
a ponieważ
z założenia jest całkowalna, to zachodzi
więc tym bardziej (%i 14) — a to znaczy, że
jest całkowalna.
CBDO
Twierdzenie (pierwsze twierdzenie o wartości średniej)
Jeśli
— ciągłe na
Dowód
Oznaczmy:
i
jest funkcją nieujemną:
, wtedy istnieje
taki, że
Ponieważ dla dowolnego
mamy:
, to zachodzą też nierówności:
oraz
Jeżeli
takie, że
Ponieważ
. RYS. Weźmy bowiem
ciągła nie jest tożsamościowo równa zeru, to
. Z ciągłości , istnieje taka
jest ciągła na odcinku domkniętym
kres dolny osiąga w
, a kres górny w
Z własności Darboux dla funkcji
pośrednie pomiędzy
Mamy więc
i
, że
dla każdego
, to osiąga na
, gdzie
mamy, że funkcja
.
swoje kresy. Przyjmijmy, że
. Mamy więc
na odcinku
, a w szczególności osiąga wartość
osiąga wszystkie wartości
(w jakimś punkcie ).
a to jest dokładnie równość (%i 16) czyli teza twierdzenia.
CBDO
Twierdzenie (drugie twierdzenie o wartości średniej)
Niech
taki
— ciągłe na
i ponadto
— rosnąca i różniczkowalna w sposób ciągły. Wtedy istnieje
, że
Dowód
Niech
— funkcja pierwotna do
(%i 17). Mamy
czyli dostaliśmy (%i 17).
CBDO
, np.
. Obliczmy lewą stronę równości