Wykład 1

Wykład 1
Całka podwójna
Niech D oznacza ograniczony prostokąt o krawędziach równoległych do osi układu współrzędnych
tzn.
D = {(x, y) : a ¬ x ¬ b ∧ c ¬ y ¬ d ∧ a, b, c, d ∈ R} =< a ; b > × < c ; d >,
a n – ustaloną liczbę naturalną. Prostokąt D dzielimy na n prostokątów D1 , D2 , . . . , Dn o krawędziach równoległych do osi układu, parami rozłącznych wnętrzach i polach równych odpowiednio
|D1 |, . . . , |Dn | .
Postępując tak dla każdego n ∈ N, otrzymujemy ciąg podziałów prostokąta D.
Rozpatrujemy tylko normalne ciągi podziałów tzn. takie, w których wraz ze wzrostem n długości
przekątnych tworzonych prostokątów dążą do zera.
Załóżmy, że f jest funkcją dwóch zmiennych ograniczoną na prostokącie D i że dany jest pewien
ustalony podział prostokąta D na prostokąty D1 , D2 , . . . , Dn . W każdym prostokącie wybieramy
dowolnie jeden punkt Ak ∈ Dk , k = 1, . . . , n.
Tworzymy sumę całkową Sn funkcji f odpowiadającą temu podziałowi prostokąta D i wybranym
punktom:
Sn =
n
X
f (Ak ) · |Dk | .
k=1
Uwaga 1. Dla funkcji f przyjmującej tylko wartości nieujemne, Sn jest sumą objętości prostopadłościanów o podstawach D1 , D2 , . . . , Dn i wysokościach równych f (A1 ), . . . , f (An ). Wartość
Sn jest więc przybliżeniem objętości bryły ograniczonej od dołu płaszczyzną z = 0, od góry
wykresem funkcji z = f (x, y) i płaszczyznami: x = a , x = b , y = c , y = d
Z
n
∑ f(A k )|D k |
k=1
f(A k )
a
0
d Y
c
Ak
|D k |
b
X
Definicja 1. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostokąta D istnieje ta sama
granica właściwa lim Sn – niezależna od sposobów podziału prostokąta D i wyborów punktów
n→∞
Ak ∈ Dk – to wartość tej granicy nazywamy całką podwójną funkcji f po prostokącie D i
oznaczamy przez
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy lub
f (x, y)dσ.
D
Analiza 2 (ANAL2)
D
dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2015
Jeżeli całka
ZZ
f (x, y)dσ istnieje, to funkcja f jest całkowalna na prostokącie D.
D
Interpretacja geometryczna
ZZ
f (x, y)dσ jest równa
Jeżeli funkcja f jest nieujemna i ciągła w prostokącie D, to wartość
D
objętości bryły ograniczonej od dołu płaszczyzną z = 0, od góry wykresem funkcji z = f (x, y) i
płaszczyznami: x = a , x = b , y = c , y = d.
Z
z = f(x,y)
b
0
c
d
Y
D
a
X
Własności całki podwójnej na prostokącie D =< a ; b > × < c ; d >
Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja f jest ograniczona i ciągła w prostokącie D z wyjątkiem, być
może, skończonej liczby krzywych będących wykresami funkcji jednej zmiennej, to funkcja f jest
całkowalna na D.
Własności całki
1. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w prostokącie D, to dla dowolnej stałej α ∈ R
ZZ
α · f (x, y)dσ = α ·
D
ZZ
f (x, y)dσ
D
2. Jeżeli funkcje f i g są funkcjami całkowalnymi na D, to
ZZ
(f (x, y) + g(x, y))dσ =
D
ZZ
f (x, y)dσ +
D
ZZ
g(x, y)dσ
D
3. Jeżeli D jest sumą dwóch prostokątów D1 i D2 o rozłącznych wnętrzach, zaś f jest całkowalna na D, to jest całkowalna na każdym z prostokątów Dk , k = 1, 2 i
ZZ
D
Analiza 2 (ANAL2)
f (x, y)dσ =
ZZ
D1
f (x, y)dσ +
ZZ
f (x, y)dσ
D2
dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2015
Twierdzenie 2. O zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną Jeżeli funkcja f jest
ciągła na prostokącie D =< a ; b > × < c ; d >, to
ZZ
f (x, y)dxdy =
Zb
a
D
 d

Z
 f (x, y)dy  dx
=
Zd
c
c
 b

Z
 f (x, y)dx dy
a
Definicja 2. Obszarem normalnym względem osi OX nazywamy obszar domknięty
D = {(x, y) : a ¬ x ¬ b , φ1 (x) ¬ y ¬ φ2 (x) , a, b ∈ R, φ1 , φ2 ciągłe w < a; b >}
Y
y = ϕ2 (x)
y = ϕ1(x)
a
0
b
X
Definicja 3. Obszarem normalnym względem osi OY nazywamy obszar domknięty
D = {(x, y) : c ¬ y ¬ d , ϕ1 (y) ¬ x ¬ ϕ2 (y) , c, d ∈ R, ϕ1 , ϕ2 ciągłe w < c; d >}
Y
d
x = Ψ1(y)
x = Ψ2(y)
c
X
0
Definicja 4. Obszarem regularnym nazywamy taki obszar domknięty, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych (względem jednej lub drugiej osi), nie mających wspólnych
punktów wewnętrznych.
Twierdzenie 3. Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze normalnym
D = {(x, y) : a ¬ x ¬ b , φ1 (x) ¬ y ¬ φ2 (x) , a, b ∈ R, φ1 , φ2 ciągłe w < a; b >},
to jest całkowalna w tym obszarze i
ZZ
D
Analiza 2 (ANAL2)
f (x, y)dxdy =
Zb

φZ2 (x)


a

f (x, y)dy  dx

φ1 (x)
dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2015
Twierdzenie 4. Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze normalnym
D = {(x, y) : c ¬ y ¬ d , ϕ1 (y) ¬ x ¬ ϕ2 (y) , c, d ∈ R, ϕ1 , ϕ2 ciągłe w < c; d >}
to jest całkowalna w tym obszarze i
ZZ
D
f (x, y)dxdy =
Zd

ϕZ2 (y)


c

f (x, y)dx
 dy
ϕ1 (y)
Uwaga 2. Całkę podwójną funkcji ciągłej w obszarze regularnym D = D1 ∪ · · · ∪ Dn określamy
jako sumę całek w obszarach normalnych D1 , . . . , Dn .
Analiza 2 (ANAL2)
dr Ewa Stankiewicz-Wiechno 2015