docPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody
download 
Reklamacja Transkrypt
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody
Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania Edward Kozłowski e-mail:[email protected] Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Spis treści 1 Szeregi czasowe 2 Etapy budowy modeli matematycznych 3 Matematyczne modele dynamiczne Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym {xt }t∈T gdzie T = {t0 , t1 , ...} . Definicja oparta jest na pojęciu zmiennej losowej xt zależnej od parametru t (czasu). Czasami zakładamy, że odstępy pomiędzy ti i ti+1 są jednakowe. Tym samym mamy do czynienia ze sparametryzowaną rodziną zmiennych losowych. Rozkłady tych zmiennych losowych, a w szczególności ich pierwsze i drugie momenty również mogą zależeć od czasu t. Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników 1 Trend. Czynnik kształtujący ogólną tendencję rozwojową. Czynnik trendu opisywany jest za pomocą nielosowej funkcji ftr (t). Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników 1 2 Trend. Czynnik kształtujący ogólną tendencję rozwojową. Czynnik trendu opisywany jest za pomocą nielosowej funkcji ftr (t). Sezonowość. Czynnik kształtujący okresowe wahania analizowanego zjawiska w ciągu roku. Wyniki działań czynników sezonowych modelujemy za pomocą nielosowej funkcji ϕ(t). Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników 1 2 3 Trend. Czynnik kształtujący ogólną tendencję rozwojową. Czynnik trendu opisywany jest za pomocą nielosowej funkcji ftr (t). Sezonowość. Czynnik kształtujący okresowe wahania analizowanego zjawiska w ciągu roku. Wyniki działań czynników sezonowych modelujemy za pomocą nielosowej funkcji ϕ(t). Cykliczność. Czynnik kształtujący zmiany analizowanego zjawiska pod wpływem długoczasowych cykli o charakterze ekonomicznym, demograficznym lub astrofizycznym, który opisujemy za pomocą funkcji nielosowej ψ(t). Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników 1 2 3 4 Trend. Czynnik kształtujący ogólną tendencję rozwojową. Czynnik trendu opisywany jest za pomocą nielosowej funkcji ftr (t). Sezonowość. Czynnik kształtujący okresowe wahania analizowanego zjawiska w ciągu roku. Wyniki działań czynników sezonowych modelujemy za pomocą nielosowej funkcji ϕ(t). Cykliczność. Czynnik kształtujący zmiany analizowanego zjawiska pod wpływem długoczasowych cykli o charakterze ekonomicznym, demograficznym lub astrofizycznym, który opisujemy za pomocą funkcji nielosowej ψ(t). Losowość. Czynnik kształtujący wahania (fluktuacje) o charakterze losowym. Wyniki działań losowych czynników modelujemy za pomocą zmiennych losowych εt , t = 1, 2, .... Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników 1 2 3 4 5 Trend. Czynnik kształtujący ogólną tendencję rozwojową. Czynnik trendu opisywany jest za pomocą nielosowej funkcji ftr (t). Sezonowość. Czynnik kształtujący okresowe wahania analizowanego zjawiska w ciągu roku. Wyniki działań czynników sezonowych modelujemy za pomocą nielosowej funkcji ϕ(t). Cykliczność. Czynnik kształtujący zmiany analizowanego zjawiska pod wpływem długoczasowych cykli o charakterze ekonomicznym, demograficznym lub astrofizycznym, który opisujemy za pomocą funkcji nielosowej ψ(t). Losowość. Czynnik kształtujący wahania (fluktuacje) o charakterze losowym. Wyniki działań losowych czynników modelujemy za pomocą zmiennych losowych εt , t = 1, 2, .... Trend stochastyczny. Czynnik kształtujący dynamikę o charakterze losowym. W przypadku trendu stochastycznego własności dynamiczne szeregu zmieniają się w czasie. Trend stochastyczny w szeregu czasowym powstaje w wyniku integracji poprzednich zaburzeń. Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników Szereg czasowy opisujemy za pomocą równania stanu xt = λ1 ftr (t) + λ2 ϕ(t) + λ3 ψ(t) + εt dla t = 0, 1, 2, ...., N , gdzie λi = 1, jeżeli i-ty czynnik wpływa na kształtowanie, 0, w przeciwnym razie . Wnioskowanie o istnieniu i-tego czynnika może być oparte na analizie istoty zadania (ma charakter aprioryczny, teoretyczny – w tym celu wykorzystujemy publikacje, ekspertyzy opracowane wcześniej) lub na podstawie analizy statystycznej badanego szeregu (analizie trajektorii i własności badanego zjawiska). Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania (1) Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Identyfikacja szeregu czasowego W oparciu o trajektorię realizacji szeregu szacowanego {xt }t∈T , T = {0, 1, ..., N } należy: 1 określić, które z nielosowych funkcji ftr (t) , ϕ(t), ψ(t) uczestniczą w modelu (1), tzn należy określić wartości parametrów λi , i = 1, 2, 3; Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Identyfikacja szeregu czasowego W oparciu o trajektorię realizacji szeregu szacowanego {xt }t∈T , T = {0, 1, ..., N } należy: 1 określić, które z nielosowych funkcji ftr (t) , ϕ(t), ψ(t) uczestniczą w modelu (1), tzn należy określić wartości parametrów λi , i = 1, 2, 3; 2 skonstruować estymatory dla nielosowych funkcji występujących w szeregu czasowym (1); Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Identyfikacja szeregu czasowego W oparciu o trajektorię realizacji szeregu szacowanego {xt }t∈T , T = {0, 1, ..., N } należy: 1 określić, które z nielosowych funkcji ftr (t) , ϕ(t), ψ(t) uczestniczą w modelu (1), tzn należy określić wartości parametrów λi , i = 1, 2, 3; 2 skonstruować estymatory dla nielosowych funkcji występujących w szeregu czasowym (1); 3 dobrać model opisujący zachowanie funkcji losowej εt oraz dobrać estymatory parametrów rozkładu. Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Budowa modeli matematycznych 1 na podstawie dostępnej informacji dobieramy odpowiednią klasę modeli; Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Budowa modeli matematycznych 1 na podstawie dostępnej informacji dobieramy odpowiednią klasę modeli; 2 wybieramy model próbny; Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Budowa modeli matematycznych 1 na podstawie dostępnej informacji dobieramy odpowiednią klasę modeli; 2 wybieramy model próbny; 3 dokonujemy identyfikacji modelu próbnego; Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Budowa modeli matematycznych 1 na podstawie dostępnej informacji dobieramy odpowiednią klasę modeli; 2 wybieramy model próbny; 3 dokonujemy identyfikacji modelu próbnego; 4 sprawdzamy za pomocą narzędzi statystyki matematycznej czy wybrany model jest poprawny (czy dobrze jest dopasowany do danych empirycznych). Jeżeli jest dobrze dopasowany to jest gotowy do wykorzystania w celu prognoz. W przeciwnym razie, gdy zostanie wykryta niezgodność, to procedurę musimy wykonać od nowa (identyfikacja, estymacja, sprawdzenie); Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Budowa modeli matematycznych 1 na podstawie dostępnej informacji dobieramy odpowiednią klasę modeli; 2 wybieramy model próbny; 3 dokonujemy identyfikacji modelu próbnego; 4 sprawdzamy za pomocą narzędzi statystyki matematycznej czy wybrany model jest poprawny (czy dobrze jest dopasowany do danych empirycznych). Jeżeli jest dobrze dopasowany to jest gotowy do wykorzystania w celu prognoz. W przeciwnym razie, gdy zostanie wykryta niezgodność, to procedurę musimy wykonać od nowa (identyfikacja, estymacja, sprawdzenie); 5 ostatecznym sprawdzianem jest weryfikacja empiryczna. Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Modele deterministyczne i stochastyczne 1 Model, który pozwala dokładnie obliczyć wartość zmiennej zależnej w dowolnym momencie, nazywami modelem deterministycznym. Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Modele deterministyczne i stochastyczne 1 Model, który pozwala dokładnie obliczyć wartość zmiennej zależnej w dowolnym momencie, nazywami modelem deterministycznym. 2 Model, który pozwala wyznaczyć przyszłe wartości z prawdopodobieństwami, nazywamy modelem probabilistycznym lub stochastycznym. W modelach stochastycznych, w odróżnieniu od modeli deterministycznych, przyszłe wartości szeregu czasowego możemy oszacować z pewnym błędem, natomiast nie potrafimy określić ich dokładnie. Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Przykład I. Model wartości kapitału Niech xt oznacza wielkość kapitału w chwili t = 0, 1, 2, ....N , natomiast stopa zwrotu pozbawiona ryzyka wynosi r. Zależności wielkości kapitału od stopy zwrotu możemy przedstawić wzorem xt+1 − xt = r, xt lub w postaci xt+1 = (1 + r) xt . W takim razie wielkość kapitału którym dysponuje inwestor w chwili t, jeżeli w chwili t = 0 posiadał x0 = M, możemy przedstawić w postaci ciągu geometrycznego t xt = M (1 + r) . Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Przykład I. Model wartości kapitału Rysunek przedstawia wartość kapitału dla momentów t = 0, 1, 2, ..., 20 w przypadku, gdy wartość początkowa M = 1000 oraz stopa zwrotu jest stała i wynosi 8%. Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Przykład II. Model autoregresji rzędu k Niech ciąg xt , t 0 jest postaci xt = λ0 + λ1 xt−1 + ... + λk xt−k + εt , gdzie λ0 , ..., λk są parametrami modelu, natomiast {εt }t∈N oznacza gaussowski biały szum – ciąg zmiennych losowych o rozkładzie normalnym N 0, σ 2 . Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Przykład II. Model autoregresji rzędu k Rysunek przedstawia możliwe trajektorie systemu podporządkowane modelowi autoregresji rzędu 2 postaci xt = 0.5 − 0.2xt−1 + 0.3xt−2 + εt dla warunku początkowego x0 = 1, x1 = 0.5, gdzie {εt }t∈T jest ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie normalnym N (0, 4), natomiast T = {2, ..., 20}. Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Zastosowanie modeli matematycznych Modele stochastyczne mają dość szerokie zastosowanie w praktyce. Opisując zachowanie obiektów (systemów technicznych, ekonomicznych, socjoloficznych itp.) za pomocą zmiennych losowych możemy przewidywać (szacować z prawdopodobieństwem) wartości tych systemów bądź wartości zależne od tych systemów. Proste przykłady poniżej pokazują zastosowanie modeli stochastycznych w ekonomii. Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Przykład III. Zastosowanie modeli matematycznych Przedsiębiorstwo produkuje towar oraz sprzedaje po ustalonej cenie p. Popyt na towar jest podporządkowany rozkładowi log-normalnemu LN m, σ 2 . Funkcja kosztów jest liniowa K (y) = k0 + k1 y, gdzie y oznacza wielkość produkcji. Poniżej oszacujemy oczekiwany popyt na dobro oraz oczekiwany zysk ze sprzedaży przy założeniu, że wielkość produkcji jest równa wielkości sprzedaży. Niech zmienna losowa ξ reprezentuje popyt na dobro. Funkcja gęstości rozkładu log–normalnego LN (m, σ 2 ) ma postać ( 2 √1 , x>0 exp − (ln x−m) 2 2σ xσ (2π) . γ(x, m, σ) = 0, x¬0 Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Przykład III. Zastosowanie modeli matematycznych Oczekiwany popyt wynosi ! Z∞ 2 (ln x − m) x √ exp − Eξ = dx. 2σ 2 xσ 2π 0 Aby wyznaczyć powyższą całkę dokonujemy zamianę zmiennych y = ln x x = ey . dx = ey dy Oczekiwany popyt wynosi ! Z∞ 2 σ2 (y − m) 1 √ exp y − dy = em+ 2 . Eξ = 2 2σ σ 2π −∞ Wobec powyższego oczekiwany zysk (przychód minus koszty) ze sprzedaży wynosi E (pξ − k0 − k1 ξ) = (p − k1 ) Eξ − k0 = (p − k1 ) em+ Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania σ2 2 − k0 . Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Przykład IV. Zastosowanie modeli matematycznych Przedsiębiorstwo produkuje dobra niesubstytucyjne, które są sprzedawane po cenach p1 i p2 odpowiednio. Popyty na dobra są stochastycznie niezależne oraz podporządkowane rozkładowi Poissone’a z parametrami λ1 > 0 i λ2 > 0. Funkcje kosztów są liniowe K (ξi ) = k0i + k1i ξi . Poniżej oszacujemyoczekiwane popyty oraz oczekiwany łączny zysk ze sprzedaży. ξ1 Niech ξ = reprezentuje wektor popytów na dobra. Funkcja ξ2 gęstości zmiennej losowej X dla rozkładu Poissone’a z parametrem λ ma postać λn dla n = 0, 1, 2, 3, ... P (X = n) = e−λ n! Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania Szeregi czasowe Etapy budowy modeli matematycznych Matematyczne modele dynamiczne Przykład IV. Zastosowanie modeli matematycznych Oczekiwany popyt dla dobra pierwszego: Eξ1 = ∞ X n=0 ne−λ1 ∞ ∞ X X λn1 λn1 λn = e−λ1 = λ1 e−λ1 1 = λ1 . n! (n − 1)! n! n=1 n=0 Analogicznie Eξ2 = λ2 . Ostatecznie oczekiwany popyt na dobra wynosi Eξ1 λ1 = , Eξ = Eξ2 λ2 natomiast oczekiwany łączny zysk jest równy E (p1 ξ1 − K (ξ1 ) + p2 ξ2 − K (ξ2 )) = p1 Eξ1 − (k01 + k11 Eξ1 ) + p2 Eξ2 − (k02 + k12 Eξ2 ) = (p1 − k11 ) λ1 + (p2 − k12 ) λ2 − k01 − k02 . Edward Kozłowski Matematyczne metody prognozowania
