Algebra II - Lista 2 2 rok - matematyka 1

Algebra II - Lista 2
2 rok - matematyka 1-go stopnia
Zadanie 2.1. Które
√ z następujących zbiorów są ciałami liczbowymi:
√
a) K1 = {a + b √2 | a, b ∈ Q}.
g) K7 = {a + b √5 | a, b ∈ Q}.
3
2 | a,√
b ∈ Q}.
h) K8 = {a + b√3 5 | a,√b ∈ Q}.
b) K2 = {a + b√
3
3
c) K3 = {a + b √2 + c 4 | a, b, c ∈ Q}. i) K9 = {a + b 3 5 + c 3 25 | a, b, c ∈ Q}.
d) K4 = {a + b√ 3 | a, b ∈ Q}.
3
e) K5 = {a + b√
3 | a,√
b ∈ Q}.
3
f) K6 = {a + b 3 + c 3 9 | a, b, c ∈ Q}.
√ Zadanie 2.2. W ciele Q 2 rozwiązać równania:
√ √
a) x2 + 4 − 2 2√x + 3 − 2 2 = 0, b) x2 − x − 3 = 0,√
c) x2 + x − 7 +
d) x2 − 2x + 1 −
√6 2 = 0, √
√ 2 = 0,
2
e) x + 1 − 3 2 x + 4 − 2 = 0,
f) x2 + −1 + 8 2 x + 28 + 7=0.
Zadanie 2.3. Rozwiązać układ równań x + 2z = 1, y + 2z = 2, 2x + z = 1
a) w ciele Z3 , b) w ciele Z5 .
Zadanie 2.4. Niech K będzie ciałem, f ∈ K [x] będzie wielomianem nierozkładalnym. Pokazać, że
K [x] / (f ) jest ciałem.
Zadanie 2.5. Sprawdzić, że wielomian f = x3 + x + 1 ∈ Z2 [x] jest nierozkładalny nad ciałem Z2 .
Wypisać wszystkie elementy ciała reszt z dzielenia przez x3 + x + 1 w pierścieniu Z2 [x].
Zadanie 2.6. W ciele opisanym w zadaniu 2.5 obliczyć:
a) (1 + x) + x + x2 , b) (1 + x) x + x2 , c) x4 , d)
1
x,
e)
1
1+x+x2 ,
f)
x2
1+x .
Zadanie 2.7. Pokazać przykład takiego ciała L i jego dwóch podciał K1 i K2 , że suma K1 ∪ K2
nie jest podciałem ciała L.
Zadanie 2.8. Wykazać, że jedynymi podciałami ciała Q
Zadanie 2.9. Pokazać, że ciała Q
√ √ 2 są Q i Q 2 .
√ √ 2 i Q 3 nie są izomorficzne.
Zadanie 2.10. Udowodnić, że charakterystyka ciała jest własnością algebraiczną, tj. że zachowuje
się przy izomorfizmach.
Zadanie 2.11. Udowodnić, że ciało K na charakterystykę 2 wtedy i tylko wtedy, gdy 1 = −1 w K.
√ √ 5 jest ciałem ułamków dla Z 5 .
√ √ Zadanie 2.13. Udowodnić, że Q 5 jest ciałem ułamków dla Z 1+2 5 .
Zadanie 2.12. Udowodnić, że ciało Q
Zadanie 2.14. Skonstruuj ciała o 4, 8, 9, 16, 25, 27 elementach.
mgr Magdalena Sobolewska