1 Przestrzenie unormowane i przestrzenie Bana

1
Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha
Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych
lub zespolonych. Jeżeli E jest dowolnym zbiorem niepustym, to
B(E) = {x : E → K : x − funkcja ograniczona}.
Dla x ∈ B(E), definiujemy normę
∥x∥∞ = sup{|x(t)| : t ∈ E}
(1)
W szczególności jeżeli E = N, to B(E) oznaczamy przez l∞ . Tak więc
l∞ = {(xn ) : (xn ) − ciąg ograniczony},
∥(xn )∥∞ = sup{|xn | : n ∈ N}.
Jeżeli (E, d) jest przestrzenią metryczną zwartą, to przez C(E) oznaczamy
rodzinę wszystkich funkcji ciągłych x : E → K. Tak więc C(E) ⊂ B(E). W
C(E) określamy taką samą normę jak w B(E).
Dla dowolnego p > 0 wprowadzamy przestrzenie
N
l = {(xn ) ∈ K :
p
∞
∑
|xn |p }.
n=1
Jeżeli (xn ) ∈ lp , to
(
∥(xn )∥p =
∞
∑
)1
|xn |
p
p
.
(2)
n=1
Przez c oznaczmy zbiór wszystkich ciągów zbieżnych o wyrazach należących do K, a przez c0 zbiór ciągów zbieżnych do zera o wyrazach z K. W
obu przestrzeniach rozpatrujemy takie normy jak w l∞ .
Jeżeli (X, ∥·∥) jest przestrzenią unormowaną, to X traktujemy jako przestrzeń metryczną jeżeli metrykę zdefiniować wzorem.
d(x, y) = ∥x − y∥.
Jeżeli X jest przestrzenią liniową, a ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2 są dwoma normami
w X, to mówimy, że norma ∥ · ∥1 jest słabsza od normy ∥ · ∥2 i piszemy
∥ · ∥1 ≺ ∥ · ∥2 jeżeli topologia generowana przez pierwszą normę jest słabsza
od topologii generowanej przez drugą. Jeżeli natomiast topologie generowane
przez obie normy są identyczne, to mówimy, że obie normy są równoważne
i piszemy ∥ · ∥1 ∼ ∥ · ∥2 .
1
1. Pokazać, że przestrzenie B(E), C(E), l∞ , lp dla p > 0, oraz przestrzenie
c i c0 są przestrzeniami liniowymi.
2. Udowodnić, że każda z przestrzeni c0 , c, l∞ , lp (p > 0). ma moc i
wymiar równy c.
3. Udowodnić, że jeżeli zbiór E jest skończony, to dim B(E) < ∞, natomiast jeżeli E jest zbiorem nieskończonym, to dim C(E) = c.
4. Załóżmy, że E jest przestrzenią metryczną zwartą nieskończoną. Udowodnić, że dim C(E) = c.
5. Udowodnić, że funkcja zdefiniowana wzorem (1) w przestrzeni B(E)
jest normą. Wywnioskować stąd, że funkcja ta definiuje również normę
w przestrzeniach l∞ , C(E), c0 , c.
6. Pokazać, że dla dowolnego p ∈ [1, ∞) przestrzeń lp z normą zdefiniowaną wzorem (2) jest przestrzenią unormowaną.
7. Udowodnić, że przestrzenie c0 , c, C([0, 1]) oraz przestrzenie lp dla
p < ∞ są przestrzeniami ośrodkowymi.
8. Pokazać, że przestrzeń l∞ nie jest przestrzenią ośrodkową.
9. Pokazać, że wszystkie przestrzenie rozpatrywane w wcześniejszych zadaniach są przestrzeniami Banacha.
10. W przestrzeniach C([0, 1]), B(T ) (T-nieskończony), c0 , c, lp , podać
przykłady ciągu ograniczonego nie zawierającego podciągu zbieżnego.
11. Udowodnić, że jeżeli 1 ¬ p < q ¬ ∞ to lp ⊂ lq , sprawdzić czy włożenie
identycznościowe lp w lq jest odwzorowaniem ciągłym
12. Podaj przykład ciągu (xn ) ∈ c0 takiego, że (xn ) ̸∈ lp dla dowolnego
p ∈ [1, ∞).
13. Czy jest prawdą, że
∩
lp = l1 ?
p>1
14. Pokazać, że jeżeli x ∈ l1 to
∥x∥1 = lim ∥x∥p .
p→1+
15. Podać przykład pokazujący, że jeżeli p ∈ (0, 1), to funkcja
(
∥(xn )∥p =
∞
∑
n=1
nie spełnia warunku trójkąta.
2
)1
|xn |p
p
16. Załóżmy, że p ∈ (0, 1).
(a) Udowodnić, że funkcja
∥(xn )∥p =
∞
∑
|xn |p
n=1
na lp spełnia warunek trójkąta, ale nie jest normą.
(b) Pokazać, że funkcja d : lp × lp → [0, ∞) określona wzorem
d(x, y) = ∥x − y∥p
jest metryką w lp .
(c) Pokazać, że jeżeli d jest metryką w lp zdefiniowaną w poprzednim
punkcie, to odwzorowania zdefiniowane w zadaniu 23 są ciągłe.
(d) Pokazać, że kula K(0, 1) w przestrzeni (lp , d) nie jest zbiorem
wypukłym.
17. Udowodnij, że w dowolnej przestrzeni liniowej można wprowadzić normę.
18. Czy w dowolnej przestrzeni liniowej można wprowadzić normę, w ten
sposób żeby otrzymać przestrzeń Banacha.
19. Udowodnić, że w dowolnej przestrzeni unormowanej nieskończenie wymiarowej istnieje ciąg liniowo niezależny (xn ) taki, że (xn ) nie zawiera
podciągu zbieżnego.
20. Pokazać, że jeżeli X jest przestrzenią liniową a (xn ) ciągiem liniowo
niezależnym w X, to istnieje norma ∥ · ∥ w X taka, że ∥xn ∥ → 0. Czy
założenie o liniowej niezależności ciągu (xn ) jest konieczne.
21. Udowodnić, że dla dowolnej przestrzeni unormowanej (X, ∥ · ∥) istnieje jej uzupełnienie, które jest przestrzenią Banacha. To znaczy, że
istnieje taka przestrzeń Banacha (X̃, ∥ · ∥1 ) że X ⊂ X̃, ∥x∥1 = ∥x∥ dla
dowolnego x ∈ X, oraz X jest gęstą podprzestrzenią X̃.
22. Udowodnić, że z dokładnością do izomorfizmu istnieje dokładnie jedno
uzupełnienie przestrzeni unormowanej.
23. Udowodnić, że w dowolnej przestrzeni unormowanej odwzorowania
X × X ∋ (x, y) 7→ x + y ∈ X,
K × X ∋ (λ, x) 7→ λx ∈ X,
są ciągłe.
3
24. Podaj w R przykład takiej metryki, że oba odwzorowania z poprzedniego przykładu nie są ciągłe.
25. Udowodnij, że kula w dowolnej przestrzeni unormowanej jest zbiorem
wypukłym. Podaj przykład metryki w R i R2 takiej, że żadna kula w
tych przestrzeniach nie jest zbiorem wypukłym.
26. Pokazać, że dwie normy ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2 w przestrzeni liniowej X są równoważne, jeżeli dla dowolnego ciągu (xn ) w X mamy ∥xn ∥1 → 0 ⇔
∥xn ∥2 → 0.
27. Udowodnić, że w przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej każde dwie normy są równoważne.
28. Pokazać, że w dowolnej przestrzeni unormowanej nieskończenie wymiarowej można wprowadzić dwie normy które nie są równoważne.
29. W każdej z przestrzeni z zadania 1 podaj przykład normy która nie
jest równoważna oryginalnej normie z tej przestrzeni.
30. (*) Niech ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2 będą dwoma normami zupełnymi w przestrzeni
liniowej X. Udowodnij, że jeżeli ∥ · ∥1 < ∥ · ∥2 to ∥ · ∥1 ∼ ∥ · ∥2 .
31. Niech X będzie dowolna przestrzenią Banacha. Udowodnić, że jeśli
(xn ) jest takim ciągiem, że
∞
∑
∥xn ∥ < ∞, to szereg
n=1
∞
∑
xn jest zbieżny
n=1
w X.
32. Udowodnić, że jeżeli w przestrzeni unormowanej prawdziwe jest stwierdzenie z poprzedniego zadania, to przestrzeń jest przestrzenią zupełną.
33. Udowodnić, że jeżeli X jest przestrzenią Banacha, to dla dowolnego
ciągu (xn ) w X takiego, że ∥xn ∥ → 0 istnieje podciąg (xkn ) taki, że
szereg
∞
∑
xkn jest zbieżny.
n=1
34. *** Sprawdzić czy jeżeli X jest przestrzenią unormowaną spełniającą
stwierdzenie z poprzedniego zadania, to X jest przestrzenią zupełną?
35. Niech X będzie przestrzenią Banacha i załóżmy, że (xn ) jest takim
ciągiem elementów przestrzeni X, że
∞
∑
∥xn ∥ < ∞. Niech
n=1
Z={
∑
xn : A ⊂ N}.
n∈A
(a) Udowodnić, że Z jest zwartym podzbiorem X.
4
(b) Pokazać, że jeżeli nieskończona ilość elementów ciągu (xn ) jest
niezerowa, to moc(Z) = c.
(c)(**) Udowodnić, że jeżeli wektory (xn ) są liniowo niezależne, to
zbiór Z zawiera c liniowo niezależnych wektorów.
W zadaniach 36-47 zakładamy, że (X, ∥ · ∥) jest dowolną przestrzenią
unormowaną.
36. Niech A będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni X. Udowodnić, że
A=
∩
{A + U ; U otoczenie zera w X}.
37. Udowodnić, że jeżeli E jest podprzestrzenią liniową X, to E jest również podprzestrzenią liniową X.
38. Udowodnić, że jeżeli W jest podzbiorem wypukłym (absolutnie wypukłym) X, to zbiór W jest zbiorem wypukłym (absolutnie wypukłym)
w X.
39. Udowodnić, że jeżeli E jest podprzestrzenią przestrzeni X taką, że
codim(E; X) = 1, to E jest albo domkniętą, albo gęstą podprzestrzenią X.
40. Udowodnić, że jeżeli K jest zwartym a F domkniętym podzbiorem
przestrzeni X, to suma K + F jest domkniętym podzbiorem X.
41. Przy założeniach poprzedniego zadania pokazać, że jeżeli oba zbiory
F, K są zwarte, to zbiór K + F jest zwarty.
42. Pokazać, że w zadaniu 40 założenia, że zbiór K jest zbiorem zwartym,
nie można zastąpić założeniem, że jest on zbiorem domkniętym.
43. Pokazać, że jeżeli E jest dowolną podprzestrzenią przestrzeni X, to dla
dowolnego otoczenia zera U w przestrzeni X mamy U ∩ X ̸= {0}. Czy
jest tak również dla dowolnego zbioru otwartego i niepustego.
44. Udowodnić, że jeżeli E jest podprzestrzenią liniową właściwą X, to
int(E) = ∅.
45. Niech E będzie podprzestrzenią domkniętą X i niech x0 ∈ X \ E. Dla
dowolnego µ > 0 niech
Eµ = {x + λx0 ; |λ| ­ µ}.
Udowodnić, że
∩
Eµ = ∅.
µ>0
5
46. Udowodnić, że dowolna podprzestrzeń skończenie wymiarowa podprzestrzeni liniowo topologicznej jest domkniętym podzbiorem tej przestrzeni.
47. Udowodnić, że jeżeli E jest domkniętą a H skończenie wymiarową
podprzestrzenią X, to E + H jest domkniętą podprzestrzenią X.
48. Udowodnić, że podane przestrzenie są przestrzeniami unormowanymi
ale nie są przestrzeniami Banacha:
(i) X = {x : [0, 1] → R : x przyjmuje skończoną ilość wartości} z
normą
∥x∥ = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]},
(ii) X = {x : [0, 1] → R : x ograniczona i przyjmuje przeliczalną ilość wartości}
z normą taką jak w (i),
(iii) Przestrzeń l2 z normą z l∞ ,
(iv) Przestrzeń l1 z normą z l2 ,
(v) Przestrzeń funkcji ciągłych na [0, 1] z normą
∥x∥ =
∫
1
0
|x(t)|dt.
49. Pokazać, że w żadnej z przestrzeni z poprzedniego zadania nie zachodzi twierdzenie Baire’a to znaczy, że każdą z tych przestrzeni można
przedstawić w postaci sumy iloczynu przeliczalnej ilości zbiorów nigdziegęstych.
50. Niech X = R([a, b]) oznacza przestrzeń złożoną z wszystkich funkcji
całkowalnych w sensie Riemanna. Niech
∥x∥ =
∫
b
a
|x(t)|dt.
Sprawdzić czy ∥ · ∥ jest normą w X.
51. Przy założeniach poprzedniego zadania zdefiniujmy w X relację ∼
przyjmując
x∼y⇔
∫
b
a
|x(t) − y(t)|dt = 0.
(a) Udowodnić, że ∼ jest relacją równoważności w X
(b) Oznaczmy przez X zbiór wszystkich klas abstrakcji tej relacji. Jeżeli x = [x], y = [y] ∈ X, to przyjmujemy x + y = [x + y], oraz
λx = [λx], dla dowolnego λ ∈ K.
Pokazać, że działania te są poprawnie określone i że X jest przestrzenią
liniową z tymi działaniami.
6
(c) Dla dowolnego x = [x] ∈ X przyjmijmy
∥x∥ =
∫
b
a
|x(t)|dt.
Pokazać, że definicja ta jest poprawna, ∥ · ∥ jest normą w X.
(d) Sprawdzić czy przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha.
52. Niech X = C n ([a, b]) będzie przestrzenią wszystkich funkcji klasy C n
na [a, b]. Dla dowolnej funkcji x ∈ X niech
∥x∥0 = sup{|x(t)| : t ∈ [a, b]}.
Pokazać, że funkcje
∥x∥1 = |x(a)| + |x′ (a) + ... + |x(n) (a)| + ∥x(n) ∥0 ,
′
∥x∥2 = ∥x∥0 + ∥x ∥0 + ∥x′′ ∥0 + ... + ∥x(n) ∥0 ,
są normami na X. Udowodnić, że są to normy równoważne i zupełne.
53. Opisać zbieżność generowaną przez normy z zadania 52.
54. (a) Udowodnić, że nie istnieje norma ∥ · ∥ w X = RN taka, że dla
dowolnego ciągu (xn ) w X i (x ∈ X mamy
∀k∈N xn (k) → x(k) ⇔ ∥xn − x∥ → 0.
(b) Zdefiniować metrykę d w przestrzeni z punktu (a) taką, że
∀k∈N xn (k) → x(k) ⇔ d(xn , x) → 0.
55. (*) Niech X = C ∞ ([a, b]). Pokazać, że nie istnieje norma ∥·∥ na X taka,
że dla dowolnego ciągu (xn ) w x zachodzi:∥xn − x∥ → 0 wtedy i tylko
(k)
wtedy gdy ciąg xn jest zbieżny do x(k) jednostajnie dla dowolnego
k ∈ N0 .
56. Niech X oznacza przestrzeń wszystkich funkcji mierzalnych na [0, 1].
Udowodnić, że nie istnieje norma na X taka, że zbieżność według tej
normy pokrywa się ze zbieżnością według miary.
57. Pokazać, że w przestrzeni C(R) wszystkich funkcji ciągłych na zbiorze
liczb rzeczywistych R nie można wprowadzić normy w ten sposób,
żeby zbieżność według tej normy pokrywała się ze zbieżnością niemal
jednostajną. Zdefiniować metrykę dającą tą zbieżność.
7
58. Załóżmy, że (X, ∥ · ∥X ), (Y, ∥ · ∥Y ) są przestrzeniami unormowanymi.
Zdefiniujmy nową normę ∥ · ∥ w X przyjmując:
∥x∥ = ∥L(x)∥Y .
Udowodnić, że
(i) ∥ · ∥ jest normą na X, wtedy i tylko wtedy gdy L jest operatorem
różnowartościowym.
(ii) ∥ · ∥ jest normą słabszą od normy ∥ · ∥X , wtedy i tylko wtedy gdy
L jest operatorem ciągłym.
(iii) ∥ · ∥ jest równoważną normie ∥ · ∥X , wtedy i tylko wtedy gdy L
jest izomorfizmem topologicznym.
59. Podaj przykład przestrzeni Banacha (X, ∥·∥) i ciągu (Xn ) jej domkniętych podprzestrzeni takich, że Xn ⊂ Xn+1 dla dowolnego n ∈ N oraz
∞
∪
Xn nie jest domkniętą podprzestrzenią X.
n=1
8
2
Przestrzenie Hilberta
60. Załóżmy, że (X, M, µ) jest przestrzenią z miarą. Niech
⟨f, g⟩ =
∫
f gdµ;
X
dla dowolnych funkcji f, g ∈ L2 (µ). Udowodnić, że wzór ten określa
iloczyn skalarny w L2 (µ). Uzasadnić, że L2 (µ) z tak określonym iloczynem jest przestrzenią Hilberta.
61. Niech L2 będzie przestrzenią funkcji zespolonych całkowalnych z kwadratem na R. Niech H ∈ L2 będzie funkcją określoną wzorem:


 1
H(t) =
gdy t ∈ [0, 1/2)
−1 gdy t ∈ [1/2, 1)


0
gdy t ̸∈ [0, 1).
Dla dowolnych j, k ∈ Z przyjmijmy
Hj, k (t) = 2j/2 H(2j t − k).
Udowodnić, że {Hj,k }j,k∈Z jest układem ortonormalnym w L2 .
(*) Udowodnić, że jest to układ zamknięty w L2 .
62. Udowodnić, że w żadnej z przestrzeni c0 , c, lp (p ∈ [1, ∞]\{2}), C([a, b])
nie można wprowadzić iloczynu skalarnego generującego normę przestrzeni (tzn. takiego iloczynu skalarnego ⟨·, ·⟩, że
∥x∥ =
√
⟨x, x⟩
dla dowolnego x ∈ X.)
63. Udowodnić, że w nierówności Schwartza równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory x, y są liniowo zależne.
64. Niech x, y, z będą wektorami przestrzeni unitarnej. Udowodnić, że jeżeli
∥x − z∥ = ∥x − y∥ + ∥y − z∥
to istnieje takie λ ∈ [0, 1], że y = λx + (1 − λ)z.
9
65. Niech X będzie przestrzenią unitarną i niech x, y ∈ X. Udowodnić, że
równość
∥x − y∥ = |∥x∥ − ∥y∥|
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0 lub y = λx przy pewnym
λ ­ 0.
66. Udowodnić, że dla dla dowolnych elementów x, y przestrzeni unitarnej
następujące warunki są oczywiste
(a) x⊥y (tzn. ⟨x, y⟩ = 0);
(b) ∥x + λy∥ = ∥x − λy∥ dla dowolnej liczby λ;
(c) ∥x + λy∥ ­ ∥x∥ dla dowolnej liczby λ.
67. Udowodnić, że jeżeli układ {x1 , . . . x n} jest układem ortogonalnym w
przestrzeni Hilberta, to
2
∑
n
∑
n
=
x
∥xj ∥2 .
j
j=1 j=1
Czy implikacja odwrotna jest prawdziwa w Rk (k = 2, 3).
68. W przestrzeni funkcji klasy C 1 wprowadzamy normę
(∫
∥x∥ =
1
0
′
(|x(t)| + |x (t)| )dt
2
2
) 21
Wprowadzić w tej przestrzeni iloczyn skalarny w ten sposób, żeby norma generowana przez ten iloczyn skalarny pokrywała się ze zdefiniowaną wyżej normą.
69. Niech X będzie przestrzenią unitarną. Dla dowolnego zbioru A ⊂ X
określmy
A⊥ = {x ∈ X : ∀y∈A ⟨x, y⟩ = 0}.
Udowodnić, że dla dowolnego zbioru A ⊂ X zbiór A⊥ jest domkniętą
podprzestrzenią X.
70. Udowodnić, że operacja ⊥ zdefiniowana w zadaniu 69 ma następujące
własności
(a) A ⊂ B ⇒ B ⊥ ⊂ A⊥ ;
10
(b) (A ∪ B)⊥ = A⊥ ∩ B ⊥ ;
(c) A ⊂ A⊥⊥ .
71. Niech W będzie wypukłym domkniętym podzbiorem przestrzeni Hilberta X. Udowodnić, że istnieje dokładnie jeden element x0 zbioru W
taki, że
∥w0 ∥ = inf ∥w∥.
w∈W
72. Udowodnić, że dla dowolnego zbioru domkniętego wypukłego W w
przestrzeni Hilberta X dla dowolnego x0 ∈ X istnieje dokładnie jeden
element w zbioru W taki, że
d(x0 , W ) = ∥x − x0 ∥.
73. Niech W = {(x1 , . . . xn ) ∈ Rn :
n
∑
xj = 1}. Znaleźć w W element o
j=1
najmniejszej normie.
74. Niech E będzie domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta X.
Udowodnić, że dla dowolnego x0 ∈ X istnieje dokładnie jeden element
y0 podprzestrzeni E taki, że x0 − y0 ⊥ E. Ponadto
∥x0 − y0 ∥ = inf{∥x0 − y∥ : y ∈ E}.
75. Jeżeli E, F, Y są podprzestrzeniami przestrzeni unitarnej X to piszemy
E ⊕ F = Y jeżeli
(a) E ⊥ F ;
(b) E + F = Y.
Udowodnić, że jeżeli E jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta, to
E ⊕ E ⊥ = X.
76. Udowodnić, że jeżeli E jest domkniętą podprzestrzenią E to istnieje
dokładnie jedna podprzestrzeń domknięta F przestrzeni X taka, że
E ⊕ F = X.
11
77. Udowodnić, że w dowolnej przestrzeni Hilberta X mamy równość
A⊥⊥⊥ = A⊥
dla dowolnego zbioru A ⊂ X.
78. Udowodnić, że w dowolnej przestrzeni Hilberta mamy równość
A⊥⊥ = linA.
79. Udowodnić, że podzbiór A przestrzeni Hilberta X jest liniowo gęsty w
X wtedy i tylko wtedy, gdy A⊥ = {0}.
Uwaga. W zadaniach 80 i 81 symbol dist oznacza odległość danego
elementu przestrzeni od podzbioru tej przestrzeni. Inaczej, jeżeli (X, d)
jest przestrzenią metryczną x0 ∈ X a E jest dowolnym podzbiorem
X, to
dist(x0 , E) = inf{d(x, x0 ) : x ∈ E}.
80. Niech X = L2 ([−π, π]). Obliczyć w tej przestrzeni dist(f, E), jeżeli
E = lin{1, sin t, cos t, sin 2t, cos 2t},
a f (t) = sign(t).
81. Niech X będzie przestrzenią Hilberta funkcji całkowalnych z kwadratem na kwadracie [−π, π] × [−π, π]. Znaleźć w tej przestrzeni
dist(sin(x + y), E) jeżeli E = lin{sin x sin y, cos x cos y, sin x cos y}.
82. Niech X = L2 ([−π, π]) (nad ciałem liczb zespolonych). Obliczyć w tej
przestrzeni dist(f, E). jeżeli
E = lin{e−it , 1, eit }
a f (t) = |t| dla dowolnego t ∈ [−π, π].
12
3
Operatory liniowe i ciągłe
W tym rozdziale zakładamy, że X i Y są dowolnymi przestrzeniami
unormowanymi. Przez L(X, Y ) oznaczamy rodzinę wszystkich operatorów liniowych i ciągłych z X w Y. Dla dowolnego operatora liniowego
L : X 7→ Y definiujemy
∥L∥ = sup{∥L(x)∥ : x ∈ ∥x∥ ¬ 1}
(3)
Przez X ∗ oznaczamy przestrzeń funkcjonałów liniowych i ciągłych na
X. Tak więc X∗L(X, K). W przestrzeni X ∗ rozpatrujemy normę
∥Λ∥ = sup{|Λ(x)| : x ∈ X, ∥x∥ ¬ 1}.
83. Udowodnić, że dla dowolnego operatora liniowego L : X → Y następujące warunki są równoważne:
(a) L ∈ L(X, Y );
(b) L jest ciągły w pewnym punkcie x0 ∈ X;
(c) L jest ciągły w 0;
(d) ∃M ∈R ∀x∈X ∥L(x)∥ ¬ M ∥x∥;
(e) ∥L∥ < ∞;
(f) sup{∥L(x)∥ : x ∈ ∥x∥ < 1} < ∞;
(g) sup{∥L(x)∥ : x ∈ ∥x∥ = 1} < ∞;
84. Udowodnić, że operator liniowy L : X → Y jest operatorem ciągłym
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (xn ) w X takiego, że
xn → 0 w X ciąg (L(xn )) jest zbieżny w Y.
85. Udowodnić, że jeżeli L ∈ L(X, Y ), to
∥L∥ = sup{∥L(x)∥ : x ∈ ∥x∥ < 1} < ∞ = sup{∥L(x)∥ : x ∈ ∥x∥ = 1} < ∞
= inf{M : ∀x∈X ∥L(x)∥ ¬ M ∥x∥}.
86. Udowodnić, że L(X, Y ) z normą zdefiniowaną wzorem (3) jest przestrzenią unormowaną.
87. Udowodnić, że jeżeli przestrzeń Y jest przestrzenią Banacha, to L(X, Y )
jest przestrzenią Banacha.
13
88. Załóżmy, że (an ) ∈ l∞ , oraz p ∈ [1, ∞]. Niech L : lp → lp będzie
operatorem zdefiniowanym wzorem:
L(xn ) = (an xn ).
Udowodnić, że operator L jest poprawnie zdefiniowany oraz, że jest
operatorem liniowym i ciągłym. Znaleźć ∥L∥.
89. Dla dowolnej funkcji x ∈ L1 ([0, 1]) niech Ax będzie funkcją zdefiniowaną wzorem
∫
t
x(s)ds.
Ax(t) =
0
Udowodnić, że
(a) Ax ∈ C([0, 1)) dla dowolnego x ∈ L( [0, 1]);
(b) A jest operatorem liniowym i ciągłym z L1 ([0, 1]) w C([0, 1]).
(c) ∥A∥ = 1.
90. Załóżmy, że funkcja F jest funkcją ciągłą na [0, 1] × [0, 1]. Niech dla
dowolnej funkcji x ∈ C([0, 1]) funkcja L(x) będzie funkcją określoną
wzorem:
∫
1
L(x)(t) =
F (t, s)x(s)ds.
0
Udowodnić, że
(a) Lx jest funkcją ciągłą dla dowolnego x ∈ X;
(b) L jest operatorem liniowym i ciągłym z C([0, 1]) w C([0, 1]);
(c) ∥L∥ = sup
∫
t∈[0,1] 0,1
|F (t, s)|ds.
91. Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K (K = R lub K = C.
Udowodnić, że dla dowolnego funkcjonału liniowego i ciągłego Λ : X →
K następujące warunki są równoważne:
(a) Λ jest funkcjonałem ciągłym;
(b) Ker(Λ) jest domkniętą podprzestrzenią X;
(c) Ker(Λ) = X lub Ker(Λ) nie jest gęstą podprzestrzenią X.
14
92. Niech X będzie przestrzenią unitarną, y ∈ X a Λ : X → K będzie
określone wzorem
Λ(x) = ⟨x, y⟩ .
Udowodnić, że Λ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na X takim,
że ∥Λ∥ = ∥y∥.
93. Niech X będzie przestrzenią Hilberta a Λ funkcjonałem liniowym i
ciągłym na X. Udowodnić, że istnieje dokładnie jedno y ∈ X takie, że
Λ(x) = ⟨x, y⟩
dla dowolnego x ∈ X.
94. Wykorzystując poprzednie zadanie podać ogólną postać funkcjonału
liniowego i ciągłego na:
(a) przestrzeni l2 ;
(b) przestrzeni L2 (µ), gdzie (Ω, Σ, µ) jest dowolną przestrzenią z miarą.
item Niech sk , ck będą funkcjami zdefiniowanymi wzorem
sk (t) = sin(kt), ck (t) = cos(kt).
Niech (αk ), (βk ) będą ciągami liczb rzeczywistych. Podać warunki
konieczny i wystarczające na to by istniał funkcjonał liniowy i ciągły
Λ na L2 ([−π, π]) taki, że równość
Λ(sk ) = αk ,
Λ(ck ) = βk
zachodzi
(a) dla wszystkich k;
(b) dla nieskończenie wielu k.
95. Załóżmy, że (λn ) ∈ l∞ i niech Λ : l1 → K będzie określone wzorem:
Λ((xn )) =
∞
∑
λn xn .
(4)
n=1
Udowodnić, że Λ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na l1 oraz, że
∥Λ∥ = ∥(λn )∥∞ .
15
96. Udowodnić, że jeżeli Λ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na l1 , to
istnieje ciąg (λn ) ∈ l∞ taki, że zachodzi (4).
97. Znajdź ogólną postać funkcjonału liniowego i ciągłego na przestrzeniach lp (p ∈ (1, ∞), c0 , c.
98. Załóżmy, że (λn ) ∈ l1 a Λ jest funkcjonałem określonym na l∞ wzorem
Λ((xn )) =
∞
∑
λn xn .
n=1
Udowodnić, że Λ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na l∞ i ∥Λ∥ =
∥(λn )∥1 . Czy podany wzór daje ogólną postać funkcjonału liniowego i
ciągłego na l∞ ?
16
Zadanie 71. Oznaczmy m = inf ∥w∥. Istnieje taki ciąg (xn ) elementów
w∈W
zbioru W, że ∥xn ∥ → m. Udowodnimy, że ciąg (xn ) jest wówczas zbieżny
do pewnego elementu w0 zbioru W. Wystarczy pokazać, że ciąg ten spełnia
warunek Cauchy’ego. Z prawa równoległoboku - dla dowolnych n, k ∈ N
mamy
xn + xk 2
∥xn − xk ∥2 = 2(∥xn ∥2 + ∥xk ∥2 ) − 4 2
Ponieważ W jest zbiorem wypukłym, więc (xn + xk )/2 ∈ W, . zatem
xn + xk ­ m.
2
Stąd wynika, że
∥xn − xk ∥2 ¬ 2(∥xn ∥2 + ∥xk ∥2 ) − 4m2 → 0
gdy k, n → ∞. Zatem ciąg (xn ) spełnia warunek Cauchy’ego a więc jest
zbieżny do pewnego x0 . Z domkniętości W wynika, że x0 ∈ W a z ciągłości
normy, że ∥x0 ∥ = m.
Załóżmy, że mamy dwa takie różne elementy x1 , x2 ∈ W, że ∥x1 ∥ =
∥x2 ∥ = m. Wówczas ciąg x1 , x2 , x1 , x2 , . . . ma taką własność, że normy
z elementów tego ciągu są stale równe m a więc są zbieżne do m. Z pierwszej części dowodu wynika jednak, że wówczas ciąg ten jest zbieżny. To jest
jednak możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy x1 = x2 .
17