Zapisz jako PDF

Podstawowe definicje
Funkcja pierwotna
Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji , określonej w przedziale otwartym
lub nieskończonym), jeśli
dla każdego
(skończonym
.
Przykłady
1. Funkcja
jest funkcją pierwotną funkcji
, bo
.
2. Również funkcja
, gdzie jest dowolną stałą, jest funkcją pierwotną funkcji
3. Funkcją pierwotną dla
jest ta sama funkcja .
.
Funkcja pierwotna na przedziale domkniętym
Jeśli funkcja
jest określona w przedziale domkniętym
funkcją pierwotną, jeśli
dla
, to funkcję
nazywamy jej
oraz zachodzi:
i
.
Twierdzenie
Jeśli dwie funkcje i są funkcjami pierwotnymi funkcji w przedziale
domkniętym), to te dwie funkcje różnią się między sobą o stałą.
(otwartym lub
Dowód
Ponieważ zachodzi:
, to — na mocy twierdzenia które było przy pochodnych (wniosek
z wz. Lagrange'a o wart. średniej — funkcje te różnią się o stałą:
.
I odwrotnie, funkcja, która powstaje przez dodanie stałej do funkcji pierwotnej funkcji , jest też
funkcją pierwotną funkcji .
Tak więc wyrażenie:
jest ogólną postacią funkcji pierwotnej funkcji .
CBDO
Całki nieoznaczone
To ostatnie wyrażenie oznaczamy symbolem
czytamy: "całka
po
" i nazywamy je całką nieoznaczoną funkcji . Mamy więc:
Znajdowanie całki nieoznaczonej danej funkcji lub — innymi słowy — znajdowanie funkcji
pierwotnej funkcji nazywamy całkowaniem funkcji . Całkowanie jest więc procesem (prawie)
odwrotnym do różniczkowania. [1]
Funkcje pierwotne funkcji elementarnych
Jak wynika z samej definicji całki nieoznaczonej, każdy wzór na pochodną jakiejś funkcji daje
automatycznie wzór na całkę funkcji otrzymanej po zróżniczkowaniu. Mamy np.: Z wzoru
otrzymujemy
Ze znanych wzorów na pochodne otrzymujemy następujące wzory na funkcje pierwotne:
Ogólne wzory na całkowanie
Załóżmy, że funkcje
i
są ciągłe. Zachodzą wówczas następujące wzory.
1.
Dowód
Mamy bowiem:
CBDO
2.
Dowód
3. (Wzór na całkowanie przez części) Dla
takich, że
są ciągłe zachodzi
Dowód
Zróżniczkujmy obie strony powyższej równości. Mamy:
CBDO
Przykłady
1.
2.
4. (wzór na całkowanie przez podstawienie, lub na zamianę zmiennych w całce):
Uwaga. Krócej ten wzór możemy zapisać, oznaczając
i
. Wtedy mamy:
Dowód
Dowód opiera się na odwróceniu wzoru na różniczkowanie funkcji złożonej. Oznaczmy
. Mamy:
biorąc teraz funkcję pierwotną od obu stron, mamy
CBDO
Przykłady
1.
2.
Przykład 1
Obliczmy całkę:
Zrobimy to za pomocą podstawienia
. Mamy:
Przykład 2
W następującej całce podstawimy
tę całkę liczymy całkując przez części:
, zakładając, że
:
skąd mamy
Uwaga
Poprawność całkowania możemy sprawdzić, różniczkując wynik; po zrobieniu tego powinniśmy
otrzymać funkcję podcałkową.
Uwaga o funkcjach elementarnych
Funkcją elementarną nazywamy funkcję wymierną, trygonometryczną, wykładniczą, lub jedną z
odwrotności tychże. Rozpatrzmy teraz zbiór funkcji, powstałych z elementarnych przez branie ich
sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia albo kombinacji tychże. Pochodną każdej z tych funkcji można
znaleźć, posługując się wzorami na pochodną sumy, iloczynu, ilorazu bądź złożenia funkcji.
Z całkami jest inaczej: Gdy musimy znaleźć funkcję pierwotną funkcji z powyższej klasy, to taka
pochodna może się już nie dać wyrazić przez funkcje elementarne. Tak jest np. z całkami:
czy
,
.
Podkreślmy, że obie te funkcje pierwotne istnieją — zgodnie z powyższym twierdzeniem, że każda
funkcja ciągła posiada funkcję pierwotną. Powyższe funkcje pierwotne istnieją, tyle że się nie
wyrażają przez funkcje elementarne: Pierwsza całka to tzw. funkcja błędu, a druga to całka
eliptyczna. Tak więc nie dla każdej funkcji da się funkcję pierwotną wyrazić przez funkcje
elementarne.
W pozostałej części tego rozdziału będziemy rozważać te klasy funkcji, dla których da się to zrobić.
Rekurencyjne metody obliczania całek
Załóżmy, że mamy jakiś ciąg funkcji
i że chcemy obliczyć całki
Metoda
rekurencyjna polega na obliczeniu całki dla
(lub
) i na umiejętności sprowadzenia
liczenia
tej całki do całki o numerze
(lub wcześniejszej).
Był to ogólny (tak ogólny, że ogólnikowy) przepis; przyjrzyjmy się, jak to się przekłada na praktykę.
Przykład 1
Obliczyć całkę
We wzorze na
wykonajmy całkowanie przez części w następujący sposób:
aby sfinalizować liczenie całki, potrzebujemy jeszcze wyrażenia na
:
Ostatecznie więc
Przykład 2
Weźmy teraz:
Mamy:
Teraz policzmy:
skąd mamy
Całki z funkcji wymiernych
Nazywamy w ten sposób całkę, gdzie funkcją podcałkową jest funkcja wymierna:
gdzie
— wielomiany.
Liczenie całki wykonujemy w kilku krokach.
Będziemy zakładać, że stopień licznika jest niższy od stopnia mianownika. Gdyby tak nie było, to
1. wykonujemy dzielenie wielomianów (z resztą) i możemy zapisać:
gdzie
— wynik dzielenia, a
— reszta, przy czym
. Mamy w ten sposób:
gdzie
jest wielomianem, który umiemy scałkować, zaś w
stopień licznika jest
mniejszy od stopnia mianownika — tak jak dalej potrzeba.
2. Rozkładamy mianownik na czynniki. Niedługo poznamy twierdzenie z algebry, które mówi, że:
Tw. Dowolny wielomian o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się na czynniki stopnia co
najwyżej drugiego, tzn. postaci:
(czynniki liniowe) oraz
(kwadratowe), dla
których
. Uwaga. Liczba z czynnika liniowego jest pierwiastkiem wielomianu; z tw.
Bézout mamy, że jeżeli
przez
jest pierwiastkiem wielomianu
bez reszty, tzn. można zapisać:
wielomianem stopnia o 1 niższego niż
pierwiastkiem wielomianu
, gdzie
. Oraz dokładniej: Jeśli
, to wielomian
można zapisać:
, to wielomian
, gdzie
jest
dzieli się przez
dzieli się
jest
krotnym
bez reszty, tzn.
jest wielomianem stopnia o
niższego niż
. Dla trójmianów kwadratowych nierozkładalnych jest podobnie, ale zagłębienie się w
temat wymaga znajomości liczb zespolonych, więc odkładamy to do czasu, gdy się z nimi
zaznajomimy.
3. rozkład na ułamki proste. Def. Ułamkiem prostym nazywamy wyrażenie postaci
gdzie
.
Uwaga: W mianowniku ostatniego wyrażenia występuje postać kanoniczna trójmian
kwadratowego, który nie ma pierwiastków rzeczywistych.
I teraz!!
4. Tw. Funkcja wymierna
wielomianu
. Tw.(o rozkładzie na ułamki proste): Każda funkcja wymierna:
,gdzie
, daje się zapisać jako suma ułamków prostych, których mianowniki są
czynnikami wielomianu
wyrażenie
jest sumą ułamków prostych, których mianowniki są czynnikami
. Dokładniej: Jeżeli w rozkładzie
na czynniki pojawia się
, to wśród ułamków prostych znajdują się wyrazy:
jeżeli zaś w rozkładzie
na czynniki pojawia się
prostych znajdą się wyrazy:
, to wśród ułamków
Wyznaczenie konkretnych wartości współczynników stojących przy ułamkach prostych odbywa
się przez porównanie obu postaci funkcji wymiernej: Postaci wyjściowej:
otrzymanej z rozkładu na ułamki proste.[2]
, oraz
"Jak to działa", zobaczmy na przykładach.
Przykłady
1. Rozłóżmy na ułamki proste funkcję wymierną
Zgodnie z powyższym twierdzeniem, rozkład na ułamki proste będzie miał postać:
Współczynniki
Mamy:
wyznaczamy, sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika.
[Error parsing LaTeX formula. Error 6: dimension error: 799x42]
co daje równania:
Rozwiązanie tego układu równań daje:
2. Weźmy teraz:
Rozkład na ułamki proste ma postać:
.
Współczynniki
wyznaczamy z porównania obu stron po sprowadzeniu prawej do
wspólnego mianownika, co daje:
skąd otrzymujemy układ równań na współczynniki:
wsp. przy
wsp. przy
wsp. przy
wsp. przy
wsp. przy
Rozwiązując ten układ równań, dostajemy:
co daje rozkład na ułamki proste:
Obliczanie funkcji pierwotnych z ułamków prostych
Twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste sprowadza całkowanie funkcji wymiernej do całkowania
ułamków prostych. Zobaczymy zaraz, jak obliczać funkcje pierwotne z takich ułamków prostych.
1. Zacznijmy od ułamków prostych postaci
2. Gdy mamy ułamek prosty:
sprowadza się do obliczenia dwóch całek
. Podstawiając
, mamy
, to całka nieoznaczona z tego wyrażenia
1. Przy pierwszej całce podstawiamy
i otrzymujemy całkę
,w
której z kolei podstawiamy
i po tym podstawieniu dostajemy całkę
.
Dla
funkcją pierwotną jest
, zaś dla
wyprowadziliśmy już na tę całkę
wzór rekurencyjny
.
2. Przy całce drugiego typu, podstawiamy:
otrzymujemy:
. Mamy:
, skąd
Tymi to sposobami zawsze możemy obliczyć całkę z funkcji wymiernej (oczywiście, jeśli znamy
pierwiastki mianownika
).
Przykłady
Obliczmy teraz dla naprzykładu całki z f. wymiernych (17) i (18).
1. c.d przykładu (17)
2. c.d przykładu (18)
Ostatnią całkę liczymy wykorzystując wzór rekurencyjny
; dla
mamy:
Ostatecznie
Uwaga
Analizując metodę całkowania funkcji wymiernych widzimy, że całka z funkcji wymiernej jest postaci:
gdzie
— stałe, zaś
są funkcjami wymiernymi.
Całki z funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych
Niech
oznacza funkcję trygonometryczną dwóch zmiennych
. Rozważmy całkę:
Oazuje się, że całkę tego typu można sprowadzić do całki z funkcji wymiernej poprzez podstawienie
trygonometryczne. Podstawieniem, które działa zawsze (aczkolwiek często nie jest sposobem
optymalnym ze względu na ilość rachunków) jest podstawienie uniwersalne:
.
Zamiana zmiennych
Musimy wyrazić
przez . Mamy:
skąd
co daje
Mamy dalej
Ponadto:
co daje
Wreszcie, z równości:
mamy
Podstawienie
Ostatecznie mamy wszystko co jest potrzebne do podstawienia:
Przykład
Uwaga o innych podstawieniach trygonometrycznych
Powyższe podstawienie uniwersalne działa zawsze. Prowadzi jednak często do funkcji wymiernej o
dużych stopniach licznika i mianownika. Z tego względu należy je stosować tylko w ostateczności,
jeśli inne podstawienia trygonometryczne nie dadzą się zastosować.
Te inne podstawienia to:
Istnieją przepisy, kiedy takie podstawienia stosować. Nie będziemy ich tu wypisywać
(zainteresowany Czytelnik znajdzie je np. w książce Fichtenholza, t. II).
Całki z wyrażeń typu pierwiastek n-tego stopnia z ilorazu
jednomianów
Całki z wyrażeń typu
Rozpatrzmy teraz całki postaci
(zakładamy tu, że
, bo inaczej problem byłby trywialny), gdzie
jest funkcją
wymierną swoich argumentów. Okazuje się, że takie całki można sprowadzić do całek z funkcji
wymiernych.
Realizuje się to za pomocą następującego podstawienia:
co znaczy, że wyraża się wymiernie przez i w ten sposób otrzymujemy w zmiennej całkę z
funkcji wymiernej, którą liczymy znanymi nam już metodami. Konkretnie, mamy tutaj:
Przykład
Zgodnie z powyższym przepisem, podstawiamy:
i nasza całka przyjmuje postać
Powyższe podstawienie sprowadziło więc całkę do całki wymiernej.
Zachęcam Czytelnika, aby powyższą całkę policzył dalej. Wynik jest następujący:
Całki z wyrażeń typu pierwiastek z równania kwadratowego;
podstawienia Eulera
Całki z wyrażeń typu
; podstawienia Eulera
Ostatnią z omawianych teraz klas całek będą całki
gdzie
jest funkcją wymierną. Całki powyższego rodzaju także wyrażają się przez funkcje
elementarne. Istnieje kilka sposobów obliczania całek (20); my omówimy tu podstawienia Eulera.
Odnośnie trójmianu kwadratowego
zakładamy, iż nie jest on pełnym kwadratem, gdyż
w tym przypadu moglibyśmy wyciągnąć zeń pierwiastek i mieć całkę wymierną.
Pierwsze podstawienie Eulera
Podstawiamy wówczas:
(lub, aby występowało tylko po jednej stronie równości:
). Po
podniesieniu do kwadratu równości (21) wyraz
skasuje się po obu stronach i zostanie
skąd mamy
Widać, że przy tym podstawieniu zarówno (oraz oczywiście , jak i
wyrażają się
wymiernie przez ; w ten sposób doprowadziliśmy całkę (20) do całki z funkcji wymiernej.
Drugie podstawienie Eulera
można stosować w przypadku, gdy
. Wówczas bierzemy:
Jeśli podniesiemy obie strony równości (22) do kwadratu, odejmiemy po obu stronach
przez , to otrzymamy:
i podzielimy
i mamy:
Znów więc ,
oraz
wyrażają się wymiernie przez ; w ten sposób znowu
doprowadziliśmy całkę (20) do całki z funkcji wymiernej. Wreszcie
Trzecie podstawienie Eulera
można stosować w przypadku, gdy trójmian kwadratowy
ma dwa różne pierwiastki
rzeczywiste; oznaczmy je oraz . Wiemy, że w takim przypadku trójmian ten rozkłada się na
czynniki liniowe:
Wtedy podstawiamy:
Podnosząc równość (24) do kwadratu i korzystając z (23), skracamy przez wspólny czynnik
otrzymujemy znów równanie pierwszego stopnia na :
skąd dostajemy:
Uwaga
Może się zdarzyć, że do jakiejś całki można zastosować więcej niż jedno podstawienie Eulera!
i
Zastosowanie podstawień Eulera
Pokażemy teraz, w dowolnej całce postaci (20) można zastosować któreś z podstawień Eulera
(konkretnie, pierwsze lub trzecie). Otóż jeśli trójmian kwadratowy
ma pierwiastki
rzeczywiste, to można zawsze zastosować podstawienie trzecie. Jeśli natomiast trójmian nie ma
pierwiastków rzeczywistych, tzn.
, to
Przykłady
1. Obliczmy całkę
za pomocą pierwszego podstawienia Eulera. Zgodnie z (21) (pierwszym podstawieniem Eulera)
mamy
skąd wyliczamy
i wstawiając do całki wyjściowej, mamy
Tę całkę już łatwo policzyć, dostając (zachęcam Czytelnika, aby uzupełnił te rachunki)
2. Obliczmy całkę
za pomocą drugiego podstawienia Eulera. Zgodnie z (22) (drugim podstawieniem Eulera)
mamy
skąd
i w zmiennej całka przybiera postać
a więc otrzymaliśmy — jak trzeba — całkę z wyrażenia wymiernego. Czytelnika zachęcam do
dokończenia
i sprawdzenia rachunku.
3. Przetestujmy wreszcie trzecie podstawienie Eulera na całce
Zgodnie z (23) i (24) (trzecim podstawieniem Eulera) bierzemy
skąd wyliczamy
i w zmiennej całka przyjmuje postać
więc znów w postaci wymiernej, tak jak powinno być. Znów wykładowca zachęca Czytelnika do
dokończenia
i sprawdzenia rachunków.
1. ↑ Dlaczego prawie? Otóż jeśli weźmiemy jakąś funkcję , scałkujemy ją, a następnie
zróżniczkujemy — to otrzymamy tę samą funkcję . Natomiast jeśli najpierw funkcję
zróżniczkujemy, a potem scałkujemy, to otrzymamy funkcję plus dowolna stała — więc coś
bardzo podobnego, ale jednak nie to samo.
2. ↑ Gdy wszystkie ułamki proste są odwrotnościami wielomianów pierwszego stopnia, to
współczynniki można wyznaczyć znacznie prościej.