danego układu, w rezultacie których otrzymuje się łatwo całkowalne

danego układu, w rezultacie których otrzymuje się łatwo całkowalne równanie różiczkowe.
Każde takie równanie będziemy nazywali kombinacją całkowalną. Najprostszą kombinacją
calkowalną jest równanie postaci dψ/dx = 0 lub dψ = 0, gdzie ψ jest funkcją argumentów
x, y1 , y2 , ... , yn . W tym przypadku całką pierwszą będzie oczywiście ψ = C . Każda kombinacja całkowalna generuję całkę pierwszą. Wśród nich jednank mogą być całki zależne.
Dlatego za każdym razem otrzymując nową całkę pierwszą trzeba sprawdzić, czy jes oniezależna od całek pierwszych znalezionych wcześniej. Przy tym jeżeli mamy k (l < k < n)
całek, to będą one niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy chociaż jeden z wyznaczników
funkcyjnych stopnia k utworzonych z kolumn tablicy
(58)
∂ψ1
,
∂y1
∂ψ1
,
∂y2
...
∂ψ1
,
∂yn
∂ψ2
,
∂y1
∂ψ2
,
∂y2
...
∂ψ2
,
∂yn
.......................
∂ψn
,
∂y1
∂ψn
, ...
∂y2
∂ψn
,
∂yn
nie znika tożsamościowo.
Dowodzi się tego za pomocą takiego samego rozumowiania, jakie przeprowadziliśmy
wyżej dla dowodu warunku niezależności n całek układu (2).
Przykład 1. Rozpatrzmy jeszcze raz układ (5)
dy
= 5y + 4z ,
dx
dz
= 4y + 5z .
dx
Jego rozwiązanie ogólne wyrażają równości (6):
y = C1 e x + C2 e 9x
z = −C1 e x + C2 e 9x .
(Dlaczego?). Rozwiązując układ (6) względem C1 i C2 otrzymujemy
(59)
1
(y − z)e −x = C1 ,
2
1
(y + z)e −9x = C2 .
2
Jest to całka ogólna ukłądu (5). Każda z równości (59) jest całką pierwszą układu (5), a funkcje
stojące z lewej strony tych równości są całkami tego układu. Oczywiście funkcje
(60)
ψ1 = (y − z)e −x ,
ψ2 = (y + z)e −9x .
są także całkami układu (5). Przekonamy się o tym bezpośrednio opierając się na drugim określeniu całki. Znajdując różniczki zupełne funkcji ψ1 i ψ2 otrzymamy
(61)
dψ1 = [dy − dz + (x − y )dx]e −x ,
dψ2 = [dy + dz − 9(y + z)dx]e −9x .
Podstawiając tu zamiast dy i dz ich wartości z rozpatrywanego układu (5) mamy
dψ1 = [5y + 4z − (4y + 5z) + z − y ]e −x dx ≡ 0 ,
(62)
dψ2 = [5y + 4z + 4y + 5z − 9(y + z)]e −9x dx ≡ 0 .
A zatem funkcje ψ1 i ψ2 są całkami układu (5).
184
Całki te można także otrzymać bezpośrednio na drodze przekształceń układu (5). Istotnie,
odejmując drugie równanie układu (5) od równania pierwszego otrzymamy kombinację całkowalną
(63)
d(y − z)
=y −z .
dx
skąd
(64)
y − z = C1 e x
czyli
(65)
(y − z)e −x = C1 .
A zatem
(66)
ψ1 = (y − z)e −x
jest całką układu (5). Dodajając równania układu (5) otrzymamy analogicznie, że
(67)
ψ2 = (y + z)e −9x
jest całką układu (5). Całki ψ1 i ψ2 są oczywiście niezależne. Można się o tym przekonać obliczając
ich jakobian. Jest on równy 2e −10x , a więc nie zeruje się.
Przykład 2. Weźmy pod uwagę układ postaci ogólniejszej
(68)
dy
= p(x)y + q(x)z ,
dx
dz
= q(x)y + p(x)z .
dx
W ten sam sposób co w poprzednim układzie łatwo znajduje się dwie całki pierwsze dla tego
układu. Dodając stronami równania układu (68) otrzymujemy
(69)
d(y + z)
= [p(x) + q(x)](y + z) ,
dx
skąd
(70)
R
y + z = C1 exp( [p(x) + q(x)]dx) .
Odejmując stronami drugie równanie układu (68) od równania pierwszego otrzymujemy
(71)
d(y − z)
= [p(x) − q(x)](y − z) ,
dx
skąd
(72)
R
y − z = C2 exp( [p(x) − q(x)]dx) .
Rozwiązując układ równań (70), (72) względem C1 i C2 otrzymamy dwie niezależne całki
pierwsze układu (68), tj. całkę ogólną. Rozwiązując ten sam układ względem y i z znajdziemy
rozwiązanie ogólne układu (68).
We wskazany sposób można łatwo scałkować np. następujący, na pozór skomplikowany układ
(73)
dy
= (cos ln x)y + (sin ln x)z ,
dx
dz
= (sin ln x)y + (cos ln x)z .
dx
Rozwiązaniem ogólnym tego układu jest
(74)
y = C1 e x sin ln x + C2 e x cos ln x ,
185
z = C1 e x sin ln x − C2 e x cos ln x