x - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona Główna

Zajęcia nr 17 (TM6). – Monotoniczność funkcji.
Robert Malenkowski
1. Zagadnienia teoretyczne.
1.1.
Monotoniczność funkcji.
Funkcję f : X  R nazywamy rosnącą, jeśli dla dowolnych argumentów
x1 , x2  X spełniony jest warunek: jeśli x1  x2 , to f ( x1 )  f ( x2 ) .
Analizując wykres funkcji, przedział, na którym funkcja jest rosnąca to zbiór argumentów, dla
których wraz z ich wzrostem wzrastają wartości (wykres „rośnie”.
Funkcję f : X  R nazywamy malejącą, jeśli dla dowolnych argumentów
x1 , x2  X spełniony jest warunek: jeśli x1  x2 , to f ( x1 )  f ( x2 ) .
Analogicznie do poprzedniej definicji, przedział, na którym funkcja jest malejąca to zbiór
argumentów, dla których wraz z ich wzrostem maleją wartości (wykres „opada”).
Funkcję f : X  R nazywamy stałą, jeśli dla dowolnego argumentu x  X
przyjmuje ona tę samą wartość c taką, że f ( x)  c .
Analizując wykres funkcji, przedział, na którym funkcja jest stała to zbiór argumentów, dla
których funkcja przyjmuje tę samą wartość – wykres jest równoległy do osi y.
Funkcja niemalejąca to funkcja rosnąca lub stała,
natomiast funkcja nierosnąca to funkcja malejąca lub stała.
Zajęcia nr 17 (TM6). – Monotoniczność funkcji.
Robert Malenkowski
Przykłady. Wyznaczamy przedziały monotoniczności funkcji f przedstawionych
na rysunkach.
Funkcja jest rosnąca na przedziałach:
 2,1 , 1, 4
Funkcja jest malejąca na przedziałach:
 4,  1 ,
 1,1
Ta funkcja jest nierosnąca: przedziałami
maleje
i
przedziałami
jest
stała,
precyzyjnie:
Funkcja stała w przedziałach:
 3,2 ,  1,0 , 1,2
oraz malejąca w przedziałach:
 2,1 i 0,1
1.2.
Wartość największa i najmniejsza funkcji
Analizując wykresy funkcji, można określać wartość największą i najmniejszą
funkcji. Funkcja może nie przyjmować tych wartości, może również
przyjmować każdą z nich nieskończenie wiele razy. Sytuację obrazują
przykłady:
Funkcja przedstawiona na rysunku obok przyjmuje wartość
największą równą 1 dla każdego x   2,1 . Przyjmuje,
więc wartość największą nieskończenie wiele razy.
Wartość najmniejszą osiąga dla
x5
i wynosi ona
f (5)  5 . Wartość najmniejsza jest osiągana jeden raz i
wynosi –5.
Zajęcia nr 17 (TM6). – Monotoniczność funkcji.
Robert Malenkowski
Ta funkcja osiąga wartość największą równą 4, ale nie osiąga
wartości minimalnej, ponieważ wykres dąży do   .
Wykres po prawej to funkcja, która osiąga wartość
najmniejszą równą  2 dwukrotnie dla x  2 i dla
x  1 . Nie osiąga jednak wartości największej (nie jest
określona dla –4 i dla 4).
Zajęcia nr 17 (TM6). – Monotoniczność funkcji.
Robert Malenkowski
2. Zadania do samodzielnego rozwiązania:
1. Funkcja dana jest za pomocą tabelki:
x
y
-3
a
-2
0
-1
b
0
-3
1
-4
2
-5
3
-6
Wskaż a i b tak, aby funkcja była malejąca:
a. a  1, b  2
b. a  1, b  2
c. nie można wskazać a i b
d. a  1, b  0
2. Maksymalny przedział, w którym funkcja h jest
stała (rysunek obok), to:
a.
 2,2
b.
3,5
c.
 1,1
d. 1,3
3. Funkcja f ( x)  x  2 jest:
a. stała
b. nierosnąca
c. rosnąca
d. malejąca
4. Jaką wartość najmniejszą przyjmuje
funkcja przedstawiona na wykresie?
a. 2
b. 3
c. 7
d. nie osiąga wartości największej
Zajęcia nr 17 (TM6). – Monotoniczność funkcji.
Robert Malenkowski
5. Wskaż zdanie prawdziwe (rysunek obok):
a. funkcja rosnąca na przedziale  2,2
b. funkcja
malejąca
na
przedziale
 4,2
c. funkcja stała na przedziale  6,2
d. funkcja rosnąca na przedziale 1, 6 