Simpsons odcinek

CAŁKOWANIE
NUMERYCZNE
całki pojedyncze
Kwadratury interpolacyjne
Kwadratury interpolacyjne
Rozpatrujemy funkcję f(x) ciągłą i ograniczoną w przedziale
domkniętym [a, b].
Przedział [a, b] dzielimy na skończoną liczbę podprzedziałów,
wyróżniając na osi x zbiór punktów:
a  x0  x1  x2  ...  xi  xi 1  ...  xn  b
Punkty xi, i = 0, 1, ..., n tworzą siatkę o stałym kroku (z reguły):
xi 1  xi  h  const
3
Kwadratury interpolacyjne
Kwadratury interpolacyjne
4
Kwadratury interpolacyjne
Z własności całki oznaczonej wynika, że:
xn b

x0  a
n 1 xi 1
f ( x) d x  

f ( x) d x
i  0 xi
Oznaczenie:
i 
xi 1

f ( x) d x
xi
5
Kwadratury interpolacyjne
Istota metody kwadratur interpolacyjnych
Przybliżenie funkcji podcałkowej f(x) w przedziale [xi, xi+1]
lub przedziale odpowiednio poszerzonym wzorem
interpolacyjnym
i 
xi 1

f ( x) d x 
xi
xi 1
 W ( x) d x
xi
W(x) – wielomian interpolacyjny
6
Kwadratury interpolacyjne
Wyprowadzenie wzorów przybliżających wartość
całki w przedziale [a, b]
Wielomian interpolacyjny
I. wzór Newtona
x  xi
q(q  1) 2
W ( x)  yi  qyi 
 yi  ..., q 
2!
h
7
Metoda prostokątów
Metoda prostokątów
Niech:
W ( x)  yi , x [ xi , xi 1 ]
Oznacza to:
f(x) w przedziale [xi, xi+1] jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do pierwszego składnika
f(x) na odcinku [xi, xi+1] zastępujemy linią poziomą
9
Metoda prostokątów
i 
xi 1

f ( x) d x 
xi
xi 1

yi d x
xi
Wprowadzamy podstawienie:
q
x  xi
1
, d q  d x, x  xi  q  0, x  xi 1  q  1
h
h
Otrzymujemy:
i 
xi 1

xi
1
yi d x  h  yi d q  hyi
0
10
Metoda prostokątów
n 1
b
 f ( x) d x   
i 0
a
n 1
i
 h yi
i 0
Wzór prostokątów:
b
n 1
 f ( x) d x  h y
a
i 0
i
11
Metoda prostokątów
Wzór prostokątów z niedomiarem:
n 1
b
 f ( x) d x  h y
i
i 0
a
Wzór prostokątów z nadmiarem
(wyprowadzany z II. wzoru Newtona):
b
n
 f ( x) d x  h y
a
i 1
i
12
Metoda prostokątów
Metoda prostokątów
z niedomiarem
Metoda prostokątów
z nadmiarem
13
Metoda prostokątów
Przykład
Obliczyć wartość całki, korzystając ze wzoru prostokątów:
5
x
2
 2 d x
1
1
 49
3
b

f ( x) d x
f ( x)  x 2  2
a 1
b5
a
14
Metoda prostokątów
Ilość podprzedziałów: n  4
Krok całkowania:
h
b  a 5 1

1
n
4
a  x0  1
x1  x0  h  1  1  2
x2  x0  2h  1  2 1  3
x3  x0  3h  1  3 1  4
x4  x0  4h  1  4 1  5  b
y0 
y1 
y2 
y3 
y4 
f ( x0 )  12  2  3
f ( x1 )  22  2  6
f ( x2 )  32  2  11
f ( x3 )  42  2  18
f ( x4 )  52  2  27
15
Metoda prostokątów
Wzór prostokątów z niedomiarem:
n 1
3
i 0
i 0
h yi  h yi  h( y0  y1  y2  y3 )  1 (3  6  11  18)  38
Wzór prostokątów z nadmiarem:
n
4
i 1
i 1
h yi  h yi  h( y1  y2  y3  y4 )  1 (6  11  18  27)  62
16
Metoda trapezów
Metoda trapezów
Niech:
W ( x)  yi  qyi , x  [ xi , xi 1 ]
Oznacza to:
f(x) w przedziale [xi, xi+1] jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do dwóch pierwszych
składników
18
Metoda trapezów
i 
xi 1

xi
f ( x) d x 
xi 1
 ( y  qy ) d x
i
i
xi
Wykorzystujemy podstawienia jak przy metodzie prostokątów:
1
1
i   ( yi  qyi ) d q  h  yi  yi 1 
2
0
19
Metoda trapezów
b

a
 yi  yi 1 
f ( x ) d x   i  h  

2

i 0
i 0 
n 1
n 1
Wzór trapezów:
b

a
 y0  yn n 1 
f ( x) d x  h 
  yi 
i 1
 2

20
Metoda trapezów
Metoda trapezów
21
Metoda trapezów
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu, korzystając
ze wzoru trapezów:
5
1
1  x  2  d x  49 3
2
Przedział całkowania podzielony, jak w poprzednim zadaniu:
n4
Punkty xi i wartości funkcji w tych punktach yi są identyczne
jak w poprzednim przykładzie
22
Metoda trapezów
 y0  yn n 1 
 y0  y4 3 
h
  yi   h 
  yi  
i 1
i 1
 2

 2

 y0  y4

 3  27

 h
 y1  y2  y3   1 
 6  11  18  50
 2

 2

23
Wzór Simpsona
Wzór Simpsona
Niech:
q(q  1) 2
W ( x)  yi  qyi 
 yi , x  [ xi , xi 1 ]
2!
Oznacza to:
f(x) w przedziale [xi, xi+1] jest przybliżona wielomianem
interpolacyjnym ograniczonym do trzech pierwszych
składników
25
Wzór Simpsona
Przedział [a, b] dzieli się na parzystą ilość podprzedziałów.
Pole pojedynczego trapezu krzywoliniowego:
q(q  1) 2 
h

0    y0  qy0 
 y0  d x   y0  4 y1  y2 
2!
3

x0 
x2
26
Wzór Simpsona
Wzór Simpsona:
b

a
h
f ( x) d x   y0  4 y1  2 y2  4 y3  ...  2 yn 2  4 yn 1  yn 
3
27
Wzór Simpsona
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzednich przykładów, korzystając
ze wzoru Simpsona:
5
1
1  x  2  d x  49 3
2
b

a
h
f ( x) d x   y0  4 y1  2 y2  4 y3  ...  2 yn 2  4 yn 1  yn  
3
h
  y0  4 y1  2 y2  4 y3  y4  
3
1
1
  3  4  6  2 11  4 18  27   49
3
3
28
Kwadratury Gaussa
Kwadratury Gaussa
Rozpatrujemy funkcję f(x) ciągłą i ograniczoną w przedziale
domkniętym [a, b].
Pierwszy krok:
b
Sprowadzenie całki
 f ( x) d x
do postaci znormalizowanej:
a
1
 F ( ) d 
1
30
Kwadratury Gaussa
Normalizacja
Podstawienia:
ba ba
x


2
2
  1  x  a,
ba
dx
d
2
 1 x  b
31
Kwadratury Gaussa
Czyli:
b

a
ba
ba ba 
f ( x) d x 
f

  d    F ( ) d 

2 1  2
2 
1
1
1
ba ba ba 
F ( ) 
f


2
2 
 2
32
Kwadratury Gaussa
Przykład
Całkę sprowadzić do postaci znormalizowanej:
5
2
(
x
  2) d x
1
ba ba
x


2
2
5  1 5  1  3  2
x


2
2
ba
dx
d
2
5 1
dx
d   2d 
2
33
Kwadratury Gaussa
5
2
(
x
  2) d x 
1

1
1

1
 3  2 2  2   2 d   82  24  22  d 




1
F ()  82  24  22
34
Kwadratury Gaussa
Znormalizowaną funkcję podcałkową F() w przedziale
[–1, 1] przybliża się wielomianem stopnia 2n–1
F ()  a0  a1  a22  ...  a2 n12 n1
Następnie obliczamy wartość przybliżoną całki oznaczonej:
1
n
 F ( ) d    F (  ) w
1
i
wi
n
i 1
i
i
– odcięte tzw. punktów Gaussa, i[–1, 1]
– współczynniki nazywane wagami
– ilość punktów Gaussa
35
Kwadratury Gaussa
n
i
wi
2
– 0.57735
0.57735
1.00000
1.00000
4
– 0.86113
– 0.33998
0.33998
0.86113
0.34785
0.65214
0.65214
0.34785
Wagi i odcięte punktów Gaussa dla różnych wartości n
36
Kwadratury Gaussa
Przykład
Obliczyć wartość całki oznaczonej z poprzednich przykładów
kwadraturami Gaussa dla n = 2.
Funkcja podcałkowa po normalizacji:
F ()  82  24  22
37
Kwadratury Gaussa
n
2
 F ( ) w   F ( ) w  F ( ) w  F ( ) w
i 1
i
i
i 1
i
i
1
1
2
2
 812  241  22  w1  822  242  22  w2 
 8(0.57735) 2  24(0.57735)  22  1 
 8(0.57735) 2  24(0.57735)  22  1
 49.33328
38
Kwadratury Gaussa
Przykład
Wyprowadzić kwadraturę Gaussa dla przypadku n = 2.
F ()  a0  a1  a22  a33
Powyższą funkcję całkujemy w przedziale [–1, 1]:
1
1
1
1
2
3

 d  
F
(

)
d


a

a


a


a

3

 0 1 2
1
1 2 1
1

3
4
  a0   a1  a2  a3 
2
3
4

 1
2
 2a0  a2
3

39
Kwadratury Gaussa
1
 F ( ) d   F (  ) w  F (  ) w
1
1
2
2

1
  a0  a11  a212  a313  w1   a0  a12  a222  a332  w2 
 2a0   1  2  a1   12 w1  22 w2  a2   13 w1  32 w2  a3

40
Kwadratury Gaussa
Porównujemy współczynniki przy a0, a1, a2, a3
ze wzorów
skąd:
 i 

w1  w2


 w   w
 1 1 2 2

12 w1   22 w2


13 w1  32 w2

2
0
2

3
0
w1  1 w2  1 1  0.57735 2  0.57735
41