całkowanie numeryczne

Transkrypt

Wprowadzenie
Kwadratury – węzły równoodległe
Kwadratury Gaussa
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
INFORMATYKA
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I
rok akademicki 2012/2013
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
Adam Wosatko
INFORMATYKA
Wzory sumacyjne
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Kiedy stosujemy całkowanie numeryczne?
W przypadkach elementarnych obliczanie wartości całki oznaczonej
odbywa się na podstawie wzoru Newtona-Leibnitza
Zb
f (x) dx = F (b) − F (a)
I (f ) =
a
Powyższy wzór możemy stosować wtedy, gdy znana jest tzw. funkcja
pierwotna F (x) spełniająca związek:
dF (x)
= f (x)
dx
Jeśli wyznaczenie funkcji pierwotnej jest bardzo trudne lub niemożliwe
i/lub funkcja podcałkowa f (x) zadana jest w postaci tablicy, to możliwe
jest stosowanie całkowania numerycznego.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Na czym polega numeryczne całkowanie?
Gdy przedział całkowania jest skończony, wówczas numeryczne
całkowanie polega na zastąpieniu funkcji podcałkowej f (x)
odpowiednim wielomianem interpolacyjnym lub aproksymacyjnym
ϕ(x) zbudowanym na zbiorze n + 1 węzłów o współrzędnych
xi , i = 0, 1, 2, . . . , n .
Wymaga to wówczas całkowania jedynie prostych funkcji bazowych z
wykorzystaniem wzoru na I (f ). W dalszym ciągu omówione zostaną
najprostsze metody całkowania numerycznego wykorzystujące interpolację
(aproksymację) funkcji za pomocą wielomianów algebraicznych.
Podstawiając w miejsce funkcji podcałkowej f (x) wielomian algebraiczny
ϕ(x) = f0 N0 (x) + f1 N1 (x) + · · · + fn Nn (x)
otrzymamy tzw. wzór kwadraturowy.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Kwadratura całkowania
Wzorem kwadraturowym albo krócej kwadraturą nazywamy:
Zb
Zb
f (x) dx ≈
I (f ) =
a
ϕ(x) dx =
n
X
i=0
a
Zb
f (xi )
Ni (x) dx =
a
n
X
wi f (xi ) = S(f )
i=0
w którym
Zb
wi =
Ni (x) dx,
i = 0, 1, 2, . . . , n
a
są tzw. współczynnikami wagowymi (wagami). Wartość wi określa
wielkość udziału rzędnej fi ≡ f (xi ) w wartości całej sumy S(f ) .
Dokładność kwadratury S(f ) jest tym większa, im mniejsza jest różnica
I (f ) − S(f ) nazywana błędem kwadratury.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Rząd kwadratury
Najczęściej stosowaną miarą dokładności jest tzw. rząd kwadratury.
Kwadratura S(f ) jest rzędu r , jeśli
dla wszystkich wielomianów W (x) stopnia mniejszego od r jest
I (W ) = S(W ) oraz
jeśli istnieje taki wielomian W (x) stopnia r dla którego
I (W ) 6= S(W ) .
Można wykazć, że kwadratury interpolacyjne zbudowane na n + 1
węzłach są rzędu co najmniej n + 1 .
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Kwadratury dla węzłów równoodległych
Najprostszymi kwadraturami interpolacyjnymi są kwadratury zbudowane
na węzłach równoodległych, o danych współrzędnych
xi = x0 + i · h, i = 0, 1, 2, . . . , n . Niewiadome współczynniki wi są
obliczane z układu n + 1 liniowych równań algebraicznych, które
otrzymamy na podstawie kwadratury zastosowanej dla wielomianów
Wk (x) = x k , k = 0, 1, 2, . . . , n, dla których I (Wk ) = S(Wk ) .
Zb
I (Wk ) =
x k dx =
n
X
wi xik = S(Wk ),
k = 0, 1, 2, . . . , n
i=0
a
skąd
n
X
i=0
wi xik =
1
b k+1 − ak+1
k +1
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Kwadratury interpolacyjne – układ równań
1 w0
x0 w 0
x02 w0
x0n w0
1 w1 · · · + 1 wn
x1 w1 · · · + xn wn
x12 w1 · · · + xn2 wn
....................
+ x1n w1 · · · + xnn wn
+
+
+
=
=
=
p0
p1
p2
= pn
Powyższy układ równań można zapisać w postaci:


 
b−a
1 1 1 ... 1
w0
1
(b 2 − a2 )
 x0 x1 x2 . . . xn   w1  
2

 2


1
3
3
 x0 x12 x22 . . . xn2   w2  = 
3 (b − a )


 


 .  
..........
. . . . . . . . . .
1
(n+1)
x0n x1n xn2 . . . xnn
wn
− a(n+1)
(n+1) b
Rozwiązaniem tego układu algebraicznych równań liniowych
są wartości wag wi .
INFORMATYKA







Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór prostokątów
Wzór prostokątów
Najprostszym sposobem obliczania przybliżonej wartości S(f ) całki
oznaczonej I (f ) jest zastosowanie aproksymacji funkcji f (x) za pomocą
wielomianu
ϕ(x) = f (x0 ) = const.
Po podstawieniu do wzoru
Zb
Zb
f (x) dx ≈
a
ϕ(x) dx
a
otrzymujemy
Zb
Zb
f (x) dx ≈
I (f ) =
a
f (x0 ) dx = (b − a) · f (x0 ) = S(f ).
a
przy czym w0 = b − a .
INFORMATYKA
(1)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzór prostokątów
Wybór położenia węzła dla wzoru prostokątów
W zależności od wyboru położenia węzła x0 otrzymujemy wzory:
(a) lewych prostokątów, gdy x0 = a
(b) środkowych prostokątów, gdy x0 = (a + b)/2
(c) prawych prostokątów, gdy x0 = b
INFORMATYKA
Wzory sumacyjne
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór trapezów
Wzór trapezów
Jeśli do interpolacji funkcji f (x) zastosujemy interpolację za pomocą
wielomianu liniowego zbudowanego na bazie Lagrange’a, to otrzymamy
wzór kwadraturowy, nazywany wzorem trapezów.
Zb
f (x) dx ≈
I (f ) =
a
Zb
h
Zb h
i
f0 L10 (x) + f1 L11 (x) dx =
a
(2)
i
x −b
x −a i b−a h
+ f (b)
=
f (a) + f (b) = S(f ).
f (a)
a−b
b−a
2
a
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór trapezów
Wagi dla wzoru trapezów
Wagi wi , i = 0, 1 występujące we wzorze trapezów można wyznaczyć
rozwiązując układ równań:
b−a
1 1
w0
= 1 2
2
a b
w1
2 (b − a )
skąd w0 = w1 = 21 (b − a) .
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór Simpsona
Wzór Simpsona
Zastosowanie kwadratowej interpolacji Lagrange’a prowadzi do wzoru
kwadraturowego:
Zb
f (x) dx ≈
a
Zb h
i
f0 L0 + f1 L1 + f2 L2 dx =
a
Zb h
(x − c)(x − b)
(x − a)(x − b)
(x − a)(x − c) i
f0
+ f1
+ f2
dx
(a − c)(a − b)
(c − a)(c − b)
(b − a)(b − c)
a
Ostatecznie kwadratura (wzór) Simpsona przyjmuje postać:
Zb
f (x) dx =
1
h f0 + 4 f1 + f2 = s(f ),
3
h=
a
INFORMATYKA
b−a
2
(3)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór Simpsona
Wagi dla wzoru Simpsona
Dla 3 węzłów równoodległych, tzn. gdy c = 0.5 · (a + b) współczynniki
wagowe wi , i = 0, 1, 2 we wzorze Simpsona oblicza się z układu równań:



 
b−a
1 1 1
w0
 a c
b   w1  =  12 (b 2 − a2 ) 
1
2
2
3
3
a c
b2
w2
3 (b − a )
Po rozwiązaniu tego układu otrzymamy
w0 = w2 =
b−a
,
6
INFORMATYKA
w1 =
2 · (b − a)
.
3
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór Simpsona
Wzór Simpsona
Zb
f (x) dx =
1
h f0 + 4 f1 + f2 = s(f ),
3
h=
b−a
2
a
Uwaga:
Wzór Simpsona jest jest rzędu czwartego, co oznacza, że jest dokładny
nie tylko dla wielomianów stopnia drugiego, lecz także dla wielomianów
stopnia trzeciego tzn. I (W3 ) = S(W3 ) oraz I (W4 ) 6= S(W4 ) .
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzory Newtona-Cotesa
Zastosowanie wielomianów ϕ(x) coraz to wyższych stopni we wzorze
kwadraturowym prowadzi do tzw. wzorów Newtona-Cotesa.
xZn =b
f (x) dx ≈
S(Wk ) =
x0 =a
n
X
wi f (xi ) = S(f )
i=0
Dla wielomianów ϕ(x) kolejnych stopni n wartości współczynników
wagowych wi otrzymuje się z rozwiązania układu równań.
INFORMATYKA
(4)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Zestawienie współczynników wagowych
W poniższej tablicy są zestawione wartości
współczynników wagowych wi :
n
1
w00
1
w10
w20
w30
w40
2
1
4
1
3
1
3
3
1
4
7
32
12
32
7
5
19
75
50
50
75
w50
m
2
6
8
90
19
228
Wartości wag występujące we wzorze (4) obliczane są według wzoru
wi =
wi0
m
Uwaga:
Kwadratury Newtona-Cotesa uzyskane przy zastosowaniu wielomianów
interpolujących ϕ(x) stopni n > 8 ujawniają cechy narastajacej
niestabilności kwadratury interpolacyjnej (3).
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór Gaussa
Do podwyższenia dokładność wzorów kwadraturowych można zastosować
propozycję Gaussa, polegajaca na optymalizacji położenia n węzłów
interpolacyjnych oraz doborze odpowiednich wartości współczynników
wagowych. Można przyjąć, że we wzorze:
Zb
f (x) dx ≈
n
X
wi f (xi )
(5)
i=0
a
niewiadomymi są nie tylko współczynniki wagowe wi ale także
współrzędne węzłów xi . Zatem równanie (5) zawiera 2(n + 1)
niewiadomych.
Kwadratura będzie dokładna gdy f (x) będzie wielomianem co najwyżej
stopnia (2n + 1). Wszystkie niewiadome można wyznaczyć z układu
2n + 2 równań dla n + 1 wag wi
oraz n + 1 węzłów xi , i = 0, 1, · · · , n.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Postać układu równań dla kwadratury Gaussa
Dla funkcji podcałkowej f (x), która przyjmuje postać wielomianu zgodnie
ze wzorem:
Zb
x k dx =
a
n
X
wi xik ,
k = 0, 1, 2, · · · , 2n + 1
i=0
otrzymujemy układ równań:
n
X
i=0
wi xik =
1 k+1
b
− ak+1 , k = 0, 1, 2, · · · , 2n + 1
k +1
(6)
który jest liniowy ze względu na wagi i nieliniowy ze względu na węzły.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór kwadraturowy Gaussa w przedziale wzorcowym
Odwzorowanie przedziału [a, b] na osi x na unormowany przedział
[−1, 1] na pomocniczej osi ξ i odwzorowanie do niego odwrotne można
opisać za pomocą wzorów:
a+b b−a
2x − a − b
⇔ x=
+
ξ
(7)
ξ=
b−a
2
2
co daje wygodny sposób zapisu całki:
Zb
Z1
b−a
a+b b−a
f (x) dx =
f(
+
ξ) dξ
2
2
2
a
−1
oraz wzoru kwadraturowego Gaussa:
Zb
n
a + b b − a b−a X
f (x) dx ≈
w̄i f
+
ξi .
2
2
2
a
i=0
INFORMATYKA
(8)
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Obliczanie współczynników dla wzoru Gaussa
Dla tej postaci wzoru wartości w̄i , ξi można obliczyć z układu równań
Z1
Przykład:
I =
R1
−1
ξ k dξ =
n
X
w̄i ξik ,
k = 0, 1, 2, . . . , 2n + 1.
(9)
i=0
α1 + α2 ξ + α3 ξ 2 + α4 ξ 3 dξ
−1
Wynik ścisły: I = 2α1 + 32 α3 = 2α1 + 0α2 + 23 α3 + 0α4
I = w0 f (ξ0 ) + w0 f (ξ0 ) =
= w0 α1 + α2 ξ0 + α3 ξ02 + α4 ξ03 + w1 α1 + α2 ξ1 + α3 ξ12 + α4 ξ13 =
= (w0 + w1 )α1 + (w0 ξ0 + w1 ξ1 )α2 + (w0 ξ02 + w1 ξ12 )α3 + (w0 ξ03 + w1 ξ13 )α4
w0 + w1 = 2
w 0 ξ0 + w 1 ξ1 = 0
⇒ w0 = w1 = 1
w0 ξ02 + w1 ξ12 = 23
w0 ξ03 + w1 ξ13 = 0
INFORMATYKA
√
ξ0,1 = ±1/ 3
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Tablica węzłów i wag Gaussa
n
0
1
2
3
ξi , i = 0, · · · , n
ξ0 = 0 √
ξ0 = +1/√3
ξ1 = −1/
√ 3
ξ0 = + 0.6
ξ1 = 0 √
ξ2 = − 0.6
ξ0 = +0.86113631
ξ1 = +0.33998104
ξ2 = −0.33998104
ξ3 = −0.86113631
w̄i , i = 0, · · · , n
w̄0 = 2
w̄0 = 1
w̄1 = 1
w̄0 = 5/9
w̄1 = 8/9
w̄2 = 5/9
w̄0 = 0.34785485
w̄1 = 0.65214515
w̄2 = 0.65214515
w̄3 = 0.34785485
Uwaga:
Niezależnie od postaci funkcji f (x)
10 wartości wag wi i węzłów Gaussa ξi są zawsze takie same,
20 zależą tylko od liczby węzłów interpolacji n.
INFORMATYKA
Wzory sumacyjne
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Przykład
Zastosowanie wzorów kwadraturowych dla 1 przedziału
Obliczyć S(f ) =
Rb
f (x)dx gdy f (x) = 4 · x 3 + 5 · x 2 + 1 dla
a
a = −1.0, b = 1.0, co oznacza, że h = b − a = 2, .
Rozwiązanie:
Przykładowy tok postępowania – dwupunktowa metoda Gaussa (n = 1):
Zb
b−a
f (x)dx =
2
Z1
1
f (ξ) dξ ≈
−1
a
b−a X
wi f (ξi ) =
2
i=0
b − ah a + b b − a
f
+
0.5773502692 +
2
2
2
f
i
a+b b−a
−
0.5773502692 = 5.33333
2
2
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Przykład
Wyniki dla prezentowanych wzorów
Wartość dokładna I (f )
=
Wzór
prostokątów:
lewych
środkowych
prawych
Postać kwadratury
trapezów
Simpsona
Gaussa dla n = 1
5.3333
Wartość
S(f ) = h · f (a)
S(f ) = h · f ( a+b
2 )
S(f ) = h · f (b)
= 4
= 2
= 20
S(f ) =
h
2
= 12
S(f ) =
1h
32
S(f ) =
· [f (a) + f (b)]
· [f (a) + 4 · f ( a+b
2 ) + f (b)]
b−a
2
1
P
wi f (ξi )
i=0
INFORMATYKA
= 5.3333
=
5.3333
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Kwadratury złożone
Podział przedziału całkowania na podprzedziały
Bardzo skutecznym sposobem podwyższania dokładności całkowania
numerycznego jest dokonanie podziału przedziału [a, b]
na podprzedziały [aj , bj ], j = 1, 2, . . . , N przy zachowaniu związków:
a1 = a, bN = b, bi = ai+1 , i = 1, 2, . . . , N − 1.
Można zapisać:
bj
Zb
I (f ) =
f (x) dx =
a
N Z
X
f (x) dx = I1 (f ) + I2 (f ) + · · · + IN (f )
j=1 a
j
Każda z całek oznaczonych Ij (f ) , wystepujacych we wzorze różni
się od od całek I (f ) tylko wartościami granic całkowania.
Do obliczania każdego składnika sumy można posłużyć się dowolnym
wzorem kwadraturowym.
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór sumacyjny prostokątów
Metoda prostokątów
Gdy długości wszystkich podprzedziałów [aj , bj ] są sobie równe czyli
bj − aj = H, j = 1, 2 . . . , N, H = b−a
N , to możemy określić wzory
sumacyjne. Przedział całkowania < a, b > dzielimy na N równych
podprzedziałów < x0 , x1 >, < x1 , x2 >, · · · < xn−1 , xn > gdzie
H = (b − a)/N. W każdym z nich stosujemy wzór złożony:
(a) lewych prostokątów
Zb
N
X
f (x)dx ≈ H ·
f (xj−1 ) = H · f0 + f1 + f2 + · · · + fN−1
a
j=1
(b) środkowych (średnich) prostokątów
Zb
N
X
xj − xj−1
) = H · f01 + f12 + f23 + · · · + fN−1 N
f (x)dx ≈ H ·
f(
2
j=1
a
xj−1 +xj gdzie fj−1 j = f
, j = 1, 2, . . . , N,
2
(c) prawych prostokątów
Zb
N
X
f (x)dx ≈ H ·
f xj ) = H · (f1 + f2 + · · · + fN
a
j=1
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Ilustracja metody prostokątów lewych
INFORMATYKA
Wzory sumacyjne
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Algorytm metody prostokątów
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
funkcja [prl , prp , prs ] = MetodaProstokatow (a, b, N)
H = b−a
N
prl = prp = prs = 0
dla j = 0, 1, . . . N − 1 wykonaj
xl = a + j · H, prl = prl + f (xl )
xp = xl + H,
prp = prp + f (xp )
x +x
prs = prs + f (xs )
xs = l 2 p ,
koniec dla
prl = prl · H, prp = prp · H, prs = prs · H
koniec funkcji
Wywołanie funkcji:
[Le, Pr , Sr ] = MetodaProstokatow (a, b, N)
INFORMATYKA
Wzory sumacyjne
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Wzór sumacyjny trapezów
Metoda trapezów
Zb
f (x)dx ≈
N h
i
f
X
fN 1
0
H·
f (xj−1 + f (xj ) = H ·
+ f1 + f2 + · · · +
2
2
2
j=1
a
lub
Zb
f (x)dx ≈ H ·
N−1
X
1
1
f0 +
fj + fN
2
2
j=1
a
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzór sumacyjny Simpsona
Metoda Simpsona
Zb
f (x)dx ≈
a
1
H · ( f0 + fN ) + 4 ( f1 + f3 + · · · + fN−1 )+
3
2 (f2 + f4 + · · · + fN−2 ) ,
przy czym H = (xN − x0 )/N i N musi być liczbą parzystą.
INFORMATYKA
Wzory sumacyjne
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Wzory sumacyjne
Zastosowanie kwadratury Gaussa
Zb
f (x)dx ≈
lpc
N
1 b−a X X
wi f (Xi ).
·
·
2
N
j=1 i=0
a
gdzie
Xi =
xj +xj+1
2
Tablica węzłów Gaussa
Tablica wag
Wywołanie funkcji:
+
xj+1 −xj
2
· ξi
ξ = [ 0.555555555, 0.88888888, 0.555555555 ]
w = [ −0.77459667, 0.0, 0.77459667 ]
[Ga] = MetodaGaussa(a, b, N, tabWag , tabWez)
INFORMATYKA
Wprowadzenie
Kwadratury Gaussa
Przykład – podsumowanie
Oblicz
Zb
S=
f (x)dx,
gdzie
f (x) = 4 · x 4 + 5 · x 3 + 1.
a
Przyjmij a = −5, b = 5, N = 3.
funkcja [y ] = f (x)
y = 4 · x4 + 5 · x3 + 1
3: koniec funkcji
1:
2:
Metoda
prostokątów lewych
prostokątów prawych
prostokątów średnich
trapezów
Simpsona
Gaussa 3pkt
dokładne
INFORMATYKA
Wynik
6465.761317
10632.427984
3302.181070
8549.094650
5051.152263
5009.999985
5010.000000
Wzory sumacyjne

całkowanie numeryczne

Transkrypt

Podobne dokumenty

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Metody numeryczne

Metody Numeryczne Wykład 9 Kwadratury Na poczatku

∫ f (x)dx=∫

Całkowanie numeryczne (wstęp) Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Simpsons odcinek

Calkowanie numeryczne - Instytut Sterowania i Systemów

article.download - Prace Koła Matematyków Uniwersytetu

Wyjątkowa liczba

sA= t Akf?k) (4.321 unttl:[J`u) c.`^-`- `)(.^-1 ,`). tF-J