Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne
Piotr Modliński
20 października 2010
Spis treści
z punktu widzenia dalszego przetwarzania nieprzydatne. Wreszcie ostatnią grupę stanowią funkcje tablicowane, w których postać funkcji podcałkowej jest
aproksymowana za pomocą listy wartości pobieranej
np. z pomiarów. W tej sytuacji także nie ma możliwości określenia postaci analitycznej.
Zamiast robić to analitycznie, w przypadku całki
oznaczonej można wykorzystać do obliczeń komputer. W sposób numeryczny możliwe jest wyznaczenie przybliżonej wartości całki oznaczonej na zadanym przedziale jeśli tylko potrafimy określić wartość funkcji podcałkowej dla konkretnych wartości.
W dalszej części zajmiemy się przykładowymi metodami określania całki, a także oszacowaniem dokładności takiego przybliżenia.
1 Wstęp
1
2 Definicje i oznaczenia
1
3 Kwadratury proste Newtona-Cotesa
3.1 Formuła prostokątów . . . . . . . . .
3.2 Formuła trapezów . . . . . . . . . . .
2
2
2
4 Kwadratury złożone Newtona-Cotesa
4.1 Złożona formuła prostokątów . . . .
4.1.1 Oszacowanie błędu . . . . . .
4.2 Złożona formuła trapezów . . . . . .
4.2.1 Oszacowanie błędu . . . . . .
2
3
3
3
3
5 Uwagi na koniec
4
6 Zadania kontrolne
6.1 Zadanie 1 . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Zadanie 2 . . . . . . . . . . . . . . .
4 2
Definicje i oznaczenia
4
4 Kwadraturą (czy kwadraturą numeryczną) określamy przedstawioną niżej metodę obliczania całek
oznaczonych.
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
1
Wstęp
Wielokrotnie w naukach technicznych występuje konieczność obliczenia całki oznaczonej. O ile jest
to rozwiązanie bardzo wygodne z matematycznego
punktu widzenia, wpisuje się idealnie w analizę funkcji, można snuć teoretyczne rozważania, o tyle jest
często bardzo trudne do wykonania w praktyce. Z
definicji obliczenie wartości całki oznaczonej wymaga wyznaczenia funkcji pierwotnej, a następnie
obliczenie jej wartości na granicy przedziałów. Właśnie to określenie postaci funkcji pierwotnej jest często największym problemem. Najprostszą sytuacją
jest taka, w której po prostu nie potrafimy tej funkcji wyznaczyć. Zdarza się również, że nie jest to
wina naszej niekompetencji, ale funkcja pierwotna
jest w ogóle niemożliwa do wyznaczenia – np. nie
ma postaci analitycznej. Może zdarzyć się, że analityczne obliczenia już po wyznaczeniu funkcji pierwotnej dają bardzo duży błąd numeryczny, zatem są
• I(f ) =
Rb
a
f (x)dx – całka oznaczona
• S(f ) = ni=0 f (xi )Ai – formuła liniowa (kombinacja liniowa wartości funkcji w punktach xi ),
gdzie Ai jest tzw. współczynnikiem formuły liniowej, oraz xi ∈< a, b >
P
• R(f ) = I(f ) − S(f ) – błąd formuły
Można zauważyć wówczas, że I(f ) ≈ S(f ), a przybliżenie jest tym dokładniejsze, im większa jest
liczba n.
Liczbę n nazywamy rzędem kwadratury – kwadratura jest dokładna dla wszystkich wielomianów stopnia mniejszego od n, oraz istnieje wielomian stopnia
n, dla którego nie jest dokładna.
1
3
Kwadratury
Newtona-Cotesa
proste
y
f(x)
Tzw. kwadratury Newtona-Cotesa polegają na przybliżeniu funkcji podcałkowej za pomocą wielomianu
określonego stopnia, czyli:
Z b
f (x)dx ≈
a
Z b
W(x)=f(a)
a
W (x)dx
b
x
a
Rysunek 1: Kwadratura prosta stopnia 0 – formuła
prostokątów
gdzie W (x) jest tzw. wielomianem interpolacyjnym
Lagrange’a funkcji f opartym na równoodległych
węzłach xi = a + ih, gdzie i = 0, 1, . . . , n, zaś
.
h = b−a
n
Dla zastosowań praktycznych (nie wchodząc zbyt
głęboko w teorię) wykorzystywanych na zajęciach
będziemy używali tylko dwóch kwadratur:
by go wyznaczyć1 . Przyjmujemy więc następujące
punkty węzłowe:
x0 = a ⇒ f (x0 ) = f (a)
x1 = b ⇒ f (x1 ) = f (b)
• Kwadraturę stopnia 0 – tzw. formułę prostokątów
Wyznaczamy zatem funkcję liniową i całkujemy ją
na przedziale < a, b >. Powstaje trapez (stąd nazwa
• Kwadraturę stopnia 1 – tzw. formułę trapezów formuły trapezów), którego pole można wyznaczyć
Wykorzystywane są także kwadratury wyższych rzę- prosto ze wzoru:
Z b
Z b
dów (np. rzędu 2 – tzw. formuła parabol wykorzyf (a) + f (b)
W (x)dx =
f
(x)dx
≈
(b − a)
stująca 3 kolejne punkty), oraz metody Monte-Carlo
2
a
a
(opierające się o losowe próbkowanie i szacowanie
pola pod i nad wykresem funkcji), jednak nie bę- Schematycznie rozwiązanie przedstawione zostało na
dziemy się nimi dalej zajmować skupiając się jedynie rysunku 2, gdzie zakreskowano dokładną wartość
całki, natomiast przybliżenie oznaczono kolorem szana dobrym zrozumieniu dwóch najprostszych.
rym.
3.1
Formuła prostokątów
y
Funkcję przybliżamy wielomianem stopnia zerowego,
a więc funkcją stałą. Zgodnie z definicją wykorzystujemy do tego tylko jeden węzeł x0 = a, toteż nasze
przybliżenie ma postać:
Z b
a
f (x)dx ≈
Z b
f(x)
W(x)
f (a)dx = f (a) · (b − a)
a
a
b
x
Schematycznie przedstawiono to na rysunku 1, gdzie
zakreskowano dokładną wartość całki, natomiast Rysunek 2: Kwadratura prosta stopnia 1 – formuła
trapezów
przybliżenie oznaczono kolorem szarym.
Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby wyboru punktu węzłowego dokonać w inny sposób –
np. biorąc środek przedziału, bądź dowolny inny.
4 Kwadratury
złożone
3.2
Newtona-Cotesa
Formuła trapezów
Jak nietrudno zauważyć, metody te są tym skuteczniejsze, im granice całkowania są położone bliżej siebie. Wykorzystując powyższe spostrzeżenie można
Nieznacznie bardziej złożoną kwadraturą jest tzw.
formuła trapezów. W tym przypadku wielomian interpolacyjny jest wielomianem stopnia 1, czyli dowolną prostą. Ponieważ mamy do czynienia z wielomianem stopnia 1, potrzebujemy dwóch punktów,
1
nie będę tego dowodził, jeśli ktoś jest zainteresowany, odsyłam do własności układu równań Cramera
2
wykazać, że jeśli podzielimy przedział < a, b > na gdzie:
m ­ 0 równych części, otrzymamy następującą za- M1 = maxx∈<a,b> |f 0 (x)|
Widać wyraźnie, że zagęszczając podział, popełleżność:
m
X
niany błąd zbiega do zera (limh→0 R(f ) = 0), co poR(f ) ­
Ri (f )
twierdza intuicyjne spostrzeżenia, które poczynilii=1
śmy wyżej. Jeżeli nasza funkcja ma jeszcze lepsze
gdzie: R
R bi
bi
własności, tj. f ∈ C 2 < a, b > (ma ciągłą drugą
Ri (f ) = ai f (x)dx − ai W (x)dx
pochodną na rozważanym przedziale), można oszaai = a + (i − 1)h
cować wielkość błędu znacznie dokładniej, ale poniżbi = a + ih
b−a
sze oszacowanie jest prawdziwe jedynie dla wyboru
h= m
lub bardziej intuicyjnie – suma błędów zrobionych punktów węzłowych pośrodku przedziału:
na wielu małych przedziałach jest mniejsza niż błąd
M2 (b − a) 2
zrobiony na jednym dużym przedziale (będącym
·h
|R(f )| ¬
24
sumą małych).
Powyższe spostrzeżenia wykorzystać można do gdzie:
budowy znacznie dokładniejszych kwadratur – tzw. M2 = maxx∈<a,b> |f 00 (x)|
kwadratur złożonych. Podobnie, jak przy omawianiu
kwadratur prostych, tak i tutaj mamy do czynienia
z różnymi możliwymi podejściami, jednak skupimy
się na dwóch najprostszych – wielomianach stałych 4.2 Złożona formuła trapezów
i liniowych.
Dokładna analogia do złożonej formuły prostokątów
– dla każdego podprzedziału przybliżamy funkcję
podcałkową funkcją liniową wyznaczaną na podsta4.1 Złożona formuła prostokątów
wie wartości funkcji podcałkowej na granicach podDla każdego podprzedziału (długości h) przybliżamy przedziału. Można wyznaczyć następujące przyblifunkcję pewną stałą – wartością funkcji podcałkowej żenie:
liczonej w początku przedziału (lub w dowolnym in!
m
f (a) + f (b) X
nym ustalonym punkcie). Mamy wówczas:
f (ai )
+
S(f ) = h ·
2
m
i=2
X
f (ai )
S(f ) = h ·
i=1
Interpretacja graficzna przedstawiona została na rysunku 4.
Poglądowo przedstawiona została na rysunku 3.
y
y
f(x)
f(x)
a
b
a
x
b
x
Rysunek 3: Kwadratura złożona stopnia 0 – formuła Rysunek 4: Kwadratura złożona stopnia 1 – formuła
trapezów
prostokątów
4.1.1
Oszacowanie błędu
4.2.1
1
Oszacowanie błędu
Zakładając, że funkcja podcałkowa jest klasy C Można wykazać, że jeśli f ∈ C 2 < a, b > to błąd
(czyli ma ciągłą pierwszą pochodną) na przedziale przybliżenia spełnia następującą nierówność:
< a, b > można oszacować, że
M2 (b − a) 2
M1 (b − a)
|R(f
)|
¬
·h
|R(f )| ¬
·h
12
2
3
5
Uwagi na koniec
6.2
Dana jest funkcja f (x) = 0, 001xR 2 ex . Zdefiniujmy
całkę oznaczoną postaci I(f ) = 14 f (x)dx. Proszę
obliczyć wartość całki za pomocą złożonej kwadratury trapezów stosując minimalną liczbę potrzebnych przedziałów tak, aby:
Zbieżność
Z powyższych rozważań (w szczególności z oszacowania błędów) wynika, że ciąg kwadratur
Newtona-Cotesa Sm (f ), gdzie m jest liczbą podprzedziałów, jest zbieżny dla wszystkich funkcji
f ∈< a, b > dla m → ∞ (czyli h → 0), a więc:
lim Sm (f ) = I(f ) =
m→∞
Z b
Zadanie 2
1. wykorzystując teoretyczne oszacowanie błędu
mieć gwarancję, że błąd kwadratury |R(f )| ¬
= 0, 01
f (x)dx
a
Warunek stopu
2. Błąd kwadratury spełniał rzeczywiście zależW praktyce często trudne jest szacowanie iloność |R(f )| ¬ = 0, 01 (na podstawie porówści iteracji niezbędnych do osiągnięcia żądanej
nania z wartością rzeczywistą wyznaczoną anadokładności na podstawie przedstawionych teolitycznie, nie na podstawie oszacowań!)
retycznych oszacowań, lub jest ona silnie za3. Spełniony został warunek stopu w postaci
wyżona (zwłaszcza jeśli nie umiemy dokładnie
|Sm (f ) − Sm+1 (f )| ¬ = 0, 01, gdzie Sm (f )
ograniczyć pochodnych). Aby poradzić sobie z
oznacza wynik kwadratury dla podziału przetym problemem stosuje się często iteracyjne wydziału całkowania na m równych części
konywanie coraz dokładniejszych przybliżeń i
badanie różnic kolejnych, tj. dąży się do tego,
Proszę porównać uzyskaną liczbę przedziałów dla
by:
S (f ) − S
badanych trzech metod definiowania kryterium
m+1 (f ) m
¬
stopu.
Sm+1 (f )
gdzie jest pożądaną dokładnością. Podejście
to wystarcza dla całkowania znakomitej większości funkcji wykorzystywanych w praktyce.
W każdym kolejnym przybliżeniu wykorzystuje
się często wielokrotność liczby używanych podprzedziałów, co umożliwia wykorzystanie w obliczeniach już wykorzystanych wartości.
6
6.1
Zadania kontrolne
Zadanie 1
Proszę obliczyć złożoną formułę prostokątów (dwukrotnie – raz z wyborem punktu węzłowego na początku, drugi raz na środku podprzedziału), oraz
trapezów, a następnie porównać wyniki obliczeń z
wartościami dokładnymi dla następujących zestawów funkcji i przedziałów:
1. f (x) = x2 , x ∈< 0, 1 >
2. f (x) = sin(x), x ∈< 0, π >
3. f (x) = ex , x ∈< 1, 2 >
4. f (x) = x, x ∈< 0, 1 >
Dla jakich przypadków która z kwadratur jest dokładna (dokładniejsza) i dlaczego? Proszę porównać
wyniki obliczeń z teoretycznymi oszacowaniami błędów.
4