4x4 p4

Metody numeryczne
Laboratorium 5 - Aproksymacja
Zadania
Danych jest sześć punktów:
p1 (1, 2), p2 (2, 3), p3 (3, 10), p4 (4, 13), p5 (5, 25), p6 (6, 37)
1. Napisać skrypt, który dla podanych 6 punktów zastosuje wielomian aproksymacyjny pierwszego
stopnia (prosta: y=a1+a2x).
• Należy utworzyć układ równań (macierz X, wektor niewiadomych A i wektor Y), rozwiązać
go i znaleźć współczynniki a1 i a2.
• Narysować na wykresie prostą aproksymującą.
• Dorysować do wykresu 6 punktów podanych powyżej.
2. Napisać skrypt, który dla podanych 6 punktów zastosuje wielomian aproksymacyjny drugiego
stopnia (parabola: y=a1+a2x+a3x2). Wszystkie kroki postępowania analogicznie jak w zadaniu 1.
Macierz X będzie miała wielkość 3x3. Wektory kolumnowe A i Y będą miały po 3 elementy.
3. Napisać skrypt, który dla podanych 6 punktów zastosuje wielomian aproksymacyjny czwartego
stopnia (krzywa 4-st: y=a1+a2x+a3x2+a4x3). Macierz X oraz wektor Y otrzymać z wykorzystaniem
pętli for. Macierz X będzie miała wielkość 4x4. Wektory kolumnowe A i Y będą miały po 4
elementy.
4. Napisać skrypt, który dla podanych 6 punktów zastosuje wielomian aproksymacyjny dowolnego
stopnia podanego na początku do zmiennej st. Macierz X będzie miała wielkość (st+1)x(st+1).
Wektory kolumnowe A i Y będą miały po st elementów.
Dla 6 punktów stopień wielomianu nie może być większy niż 5.
Jak zbudować układ równań?
Wszystkie układy równań rozwiązujemy: A=inv(X)*Y.
Układ równań w postaci macierzowej dla dwóch niewiadomych a1 i a2
(wielomian 1-st. czyli równanie prostej: y=a1+a2x).
[ ][ ][ ]
n
n
∑ xi
n
i=1
n
n
∑ xi ∑ x 2i
i=1
∗
=
a2
i=1
X
∑ yi
a1
i=1
n
∑ xi y i
i=1
A
Y
[
n
n
n
∑ xi
i=1
n
n
∑ x 2i
i=1
n
][ ] [
a1
n
∑ yi
i=1
n
∑ xi ∑ x 2i ∑ x 3i ∗ a 2 = ∑ x i y i
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
i=1
i=1
∑ x2i ∑ x3i ∑ x 4i
a3
i=1
n
∑ x 2i y i
i=1
]
X
A
Y
Układ równań w postaci macierzowej dla trzech niewiadomych a1, a2 i a3
(wielomian 2-st.: y=a1+a2x+a3x2).
Układ równań w postaci macierzowej dla czterech niewiadomych a1, a2, a3, a4
(wielomian 3-st.: y=a1+a2x+a3x2+a4x3).
[ ][ ][ ]
n
n
i=1
n
i=1
n
n
2
i
∑ xi ∑ x ∑ x
n
n
i =1
n
n
3
i
∑ xi ∑ x 2i ∑ x 3i ∑ x 4i
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i =1
n
a1
∑ yi
a2
∑ xi y i
∗
a3
∑ x3i ∑ x 4i ∑ x 5i ∑ x 6i
a4
X
A
i=1
i=1
i=1
n
=
∑ x2i ∑ x 3i ∑ xi4 ∑ x 5i
i=1
i=1
n
∑ x2i y i
i=1
n
∑ x3i y i
i=1
i=1
Y
Układ równań w postaci macierzowej dla st+1 niewiadomych a1, a2, a3, …, ast+1
(wielomian stopnia st: y=a1+a2x+a3x2+ ... +ast+1x(st))
[
n
∑ xi
n
i=1
n
n
n
∑ x 2i
i=1
n
∑ xi
∑ x 2i
∑ x 3i
∑x
∑x
∑x
i=1
n
i=1
2
i
i=1
n
i=1
3
i
i=1
n
i=1
⋮
n
4
i
∑ x sti
i=1
n
⋯
∑ x sti +1
i=1
n
⋯
∑x
i=1
⋱
n
n
i=1
st +2
i
⋮
n
∑ xist ∑ x ist+1 ∑ x ist+2
i=1
n
⋯
⋯
i=1
st
∑ x st+
i
i=1
][]
[] ] [ ]
n
∑ yi
i=1
n
[]
a1
a2
∗ a =
3
⋮
a st+1
∑ xi y i
i=1
n
∑ x2i y i
i=1
⋮
n
∑ x sti y i
i=1
X
A
Y
Wektory A i Y mają po st+1 elementów. Macierz X ma st+1 wierszy i st+1 kolumn, czyli
(st+1)*(st+1) elementów.
Układ równań w postaci macierzowej dla ss niewiadomych a1, a2, a3, …, ass
(wielomian stopnia ss-1: y=a1+a2x+a3x2+ ... +assx(ss-1))
[
n
n
∑ xi
i=1
n
n
∑ xi
i=1
n
∑ x2i
i=1
n
∑x
i=1
n
∑ x 2i ∑ x 3i
i=1
n
∑ x 3i ∑ x 4i
i=1
⋯
∑ xiss
⋯
i=1
n
⋯
∑ x ss+1
i
i=1
⋱
n
i=1
⋮
n
i=1
X
n
⋯
n
∑ x ss−1
i
i=1
n
i=1
∑ xiss−1 ∑ x ssi ∑ x ss+1
i
i=1
n
i=1
n
⋮
n
2
i
∑ yi
a1
a2
∗ a =
3
⋮
a ss
∑ xi y i
i=1
n
∑ x2i y i
i=1
⋮
n
∑ xiss−1 y i
ss−2
∑ x ss+
i
i=1
i=1
n
i=1
A
Y
n
Układ równań w postaci macierzowej dla dwóch
Potęgi
stojące
przy
∑ x i w odpowiednich
niewiadomych a1 i a2
i=1
(wielomian 1-st., prosta: y=a1+a2x).
wierszach i kolumnach macierzy X i wektora Y
[ ][ ][]
[ ][ ][ ]
n
0 1 ∗ a1 = 0
1 2 a2
1
X
A Y
n
∑ xi
n
n
i=1
n
i=1
i=1
∑ yi
a1
∗
∑ xi ∑ x 2i
i=1
n
=
∑ xi y i
a2
i=1
X
A
Y
n
Układ równań w postaci macierzowej dla trzech
Potęgi
stojące
przy
∑ x i w odpowiednich
niewiadomych a1, a2 i a3
i=1
(wielomian 2-st.: y=a1+a2x+a3x2).
wierszach i kolumnach macierzy X i wektora Y
[
n
n
∑ xi ∑ x
n
i=1
n
n
i=1
n
2
i
][ ] [
n
∑ yi
a1
i=1
n
∑ xi ∑ x 2i ∑ x 3i ∗ a 2 = ∑ x i y i
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
i=1
i=1
∑ x2i ∑ x3i ∑ x 4i
a3
X
i=1
n
∑ x 2i y i
i=1
A
]
Y
n
Układ równań w postaci macierzowej dla
czterech niewiadomych a1, a2, a3, a4
(wielomian 3-st.: y=a1+a2x+a3x2+a4x3).
Potęgi stojące przy
n
2
n
n
3
a1
∑ yi
∑ xi ∑ x 2i ∑ x 3i ∑ x 4i
a2
∑ xi y i
i=1
n
∑ xi
i=1
n
i =1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i=1
n
i =1
n
∗
∑ x2i ∑ x 3i ∑ xi4 ∑ x 5i
a3
∑ x3i ∑ x 4i ∑ x 5i ∑ x 6i
a4
X
A
i=1
i=1
i=1
i=1
n
=
i=1
w odpowiednich
wierszach i kolumnach macierzy X i wektora Y
∑ xi
n
∑ xi
∑ xi
i=1
[ ][ ][ ]
n
n
[ ][ ] []
0 1 2 a1
0
∗
=
1 2 3 a2
1
2 3 4 a3
2
X
A Y
i=1
n
∑ x2i y i
i=1
n
∑ x3i y i
i=1
Y
[ ][ ] []
0
1
2
3
2 3 a1
0
3 4 ∗ a2 = 1
4 5 a3
2
5 6 a4
3
1
2
3
4
X
A
Y