Ocena ryzyka kredytowego

Marcin Studniarski
http://math.uni.lodz.pl/ marstud/
[email protected]
Ocena ryzyka kredytowego
(semestr letni 2013/14)
1
Informacje wstepne
¾
Celem tego rozdzia÷
u jest powtórzenie pewnych wiadomości z mojego wyk÷
adu z
Ryzyka inwestycji …nansowych, g÷
ównie w celu ustalenia oznaczeń i terminologii.
Treść tego rozdzia÷
u nie bedzie
¾
przedmiotem odrebnych
¾
pytań egzaminacyjnych,
ale jej znajomość jest niezbedna
¾
do zrozumienia dalszej cześci
¾ wyk÷adu.
W ramach tego wyk÷adu rozwaz·amy ryzyko kredytowe, które wynika
z moz·liwości niedotrzymania warunków kontraktu przez osobe¾ lub instytucje,
¾
której udzielono kredytu.
1.1
Podzia÷ryzyka kredytowego
1. Ryzyko niedotrzymania warunków - ryzyko niedokonania przez druga¾
strone¾ p÷atności wynikajacych
¾
z kontraktu.
2. Ryzyko wiarygodności kredytowej - moz·liwość zmiany wiarygodności
kredytowej drugiej strony.
1.2
Przestrzeń probabilistyczna
Niech bedzie
¾
dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nalez·acym
¾
do tzw. klasy zdarzeń F,
gdzie F
2 . Zak÷
adamy, z·e F jest -cia÷
em podzbiorów , tzn. spe÷
nia
nastepuj
¾ ace
¾ warunki:
S1. F =
6 ;.
S2. Jez·eli A 2 F, to nA 2 F.
S1
S3. Jez·eli Ai 2 F dla i = 1; 2; :::, to i=1 Ai 2 F.
Z powyz·szych warunków wynika, z·e do F nalez·a¾ zdarzenia:
(zdarzenie
pewne) i ; (zdarzenie niemoz·liwe).
Najmniejsze -cia÷
o zawierajace
¾ wszystkie zbiory otwarte w Rn nazywamy
-cia÷
em zbiorów borelowskich w Rn i oznaczamy B(Rn ).
Prawdopodobieństwem nazywamy dowolna¾ funkcje¾ P : F ! R spe÷
niajac
¾ a¾ warunki:
A1. P (A) 0 dla kaz·dego A 2 F,
A2. P ( ) = 1,
1
A3. Jez·eli Ai 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz Ai \ Aj = ; dla i 6= j, to
!
1
1
[
X
P
Ai =
P (Ai ):
i=1
(1)
i=1
Przestrzenia¾ probabilistyczna¾ nazywamy trójk¾
e ( ; F; P ), gdzie jest
dowolnym zbiorem, F jest -cia÷
em podzbiorów , a P jest prawdopodobieństwem określonym na F.
1.3
Zmienne losowe
Niech ( ; F; P ) bedzie
¾
przestrzenia¾ probabilistyczna.
¾ Zmienna¾ losowa¾ (wektorem losowym) o wartościach w Rn nazywamy odwzorowanie X : ! Rn
takie, z·e dla dowolnego zbioru borelowskiego A w Rn zbiór X 1 (A) nalez·y do
F.
Moz·na wykazać, z·e X jest zmienna¾ losowa¾ wtedy i tylko wtedy, gdy dla
kaz·dego uk÷adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy
X
1
(( 1;
1]
:::
( 1;
n ])
2 F:
Uwaga. Jeśli
jest zbiorem skończonym i F = 2 , to kaz·da funkcja
! Rn jest zmienna¾ losowa.
¾
Rozk÷
adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X : ! Rn nazywamy funkcje¾ PX : B(Rn ) ! R dana¾ wzorem
X:
PX (B) := P (X
1
(B)) dla B 2 B(Rn ):
(2)
Mówimy, z·e zmienna losowa X ma rozk÷
ad dyskretny, jez·eli istnieje taki zbiór
przeliczalny S Rn , z·e PX (S) = 1.
Uwaga. Jeśli
jest zbiorem skończonym i F = 2 , to moz·na przyjać
¾
S := X( ) (zbiór skończony) i wtedy
PX (S) = PX (X( )) = P (X
1
(X( ))) = P ( ) = 1:
Zatem kaz·da zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk÷ad dyskretny.
1.4
Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk÷
adzie dyskretnym
Wartościa¾oczekiwana¾(lubśrednia)
¾ zmiennej losowej X : ! R o rozk÷adzie
dyskretnym, przyjmujacej
¾ skończenie wiele wartości, nazywamy liczbe¾
X
EX :=
xi P (X = xi );
(3)
i2I
gdzie X( ) = fxi gi2I , I – skończony zbiór indeksów, a P (X = xi ) jest skróconym zapisem wyraz·enia P (f! 2 : X(!) = xi g).
2
Wartościa¾ oczekiwana¾ wektora losowego X = (X1 ; :::; Xn ) : ! Rn , gdzie
wszystkie zmienne losowe Xi przyjmuja¾ skończenie wiele wartości, nazywamy
wektor
EX := (EX1 ; :::; EXn ):
(4)
1.5
Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku
ogólnym
W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :
! R mówimy, z·e ma ona
wartość oczekiwana,
¾ jez·eli jest ca÷
kowalna, tzn.
Z
jXj dP < 1:
Wówczas wartościa¾ oczekiwana¾ zmiennej losowej X nazywamy liczbe¾
Z
EX :=
XdP:
(5)
De…nicja (5) jest uogólnieniem de…nicji (3). W ogólnym przypadku do zde…niowania wartości oczekiwanej wektora losowego uz·ywamy wzoru (4) przy za÷
oz·eniu, z·e wszystkie wspó÷
rzedne
¾
maja¾ wartość oczekiwana.
¾
Twierdzenie 1. Niech X i Y bed
¾ a¾zmiennymi losowymi na o warto´sciach
w R. Za÷ó·zmy, ·ze istnieja¾ warto´sci oczekiwane EX i EY . Wówczas:
(a) Je´sli X 0, to EX 0.
(b) jEXj E jXj.
(c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto´s´c oczekiwana aX + bY i
E(aX + bY ) = aEX + bEY .
1.6
(6)
Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej
Niech X : ! R bedzie
¾
zmienna¾ losowa.
¾ Jeśli E (X EX)2 < 1, to te¾ liczbe¾
nazywamy wariancja¾ zmiennej losowej X i oznaczamy
Var X = D2 X := E (X
EX)2 :
(7)
Wariancje¾ moz·na inaczej zapisać nastepuj
¾ aco:
¾
Var X = E(X 2 )
(EX)2 :
(8)
Ze wzorów (7) i (3) wynika, z·e jeśli X przyjmuje skończona¾ ilość wartości
xi , i 2 I, to
X
Var X =
P (X = xi )(xi EX)2 :
(9)
i2I
W÷
asności wariancji. Jeśli X jest zmienna¾ losowa,
¾ dla której E(X 2 ) < 1, to
istnieje Var X i spe÷nia warunki
(a) Var X 0.
3
(b) Var( X) = 2 Var X ( 2 R).
(c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R).
(d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta÷
a z
prawdopodobieństwem 1.
Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek
z wariancji:
p
Var X:
(10)
X = DX =
1.7
Niezalez·ność zmiennych losowych
Zmienne losowe X1 ; :::; Xn o wartościach w R, określone na zbiorze , gdzie
( ; F; P ) jest przestrzenia¾ probabilistyczna,
¾ nazywamy niezale·
znymi, jez·eli
dla dowolnych zbiorów B1 ; :::; Bn 2 B(R) zachodzi równość
P (X1 2 B1 ; :::; Xn 2 Bn ) = P (X1 2 B1 ) ::: P (Xn 2 Bn ):
(11)
W powyz·szym wzorze wyraz·enie po lewej jest skróconym zapisem wyraz·enia
P f! 2
: X1 (!) 2 B1 ^ ::: ^ Xn (!) 2 Bn g;
podobna uwaga dotyczy wyraz·eń po prawej stronie.
Twierdzenie 2. Je·zeli zmienne losowe X1 ; :::; Xn sa¾Q
niezale·zne i maja¾
n
warto´s´c oczekiwana,
¾ to istnieje warto´s´c oczekiwana iloczynu i=1 Xi i zachodzi
równo´s´c
!
n
n
Y
Y
E
Xi =
EXi :
(12)
i=1
i=1
Twierdzenie 3. Przy za÷o·zeniach Twierdzenia 2 zachodzi równo´s´c
!
n
n
X
X
Var
Xi =
Var Xi :
i=1
1.8
(13)
i=1
Kowariancja i wspó÷
czynnik korelacji zmiennych losowych
Kowariancja¾ ca÷kowalnych zmiennych losowych X i Y , spe÷
niajacych
¾
warunek
E jXY j < 1, nazywamy liczbe¾
Cov(X; Y ) := E [(X
EX) (Y
EY )] :
(14)
Z powyz·szej de…nicji i z Twierdzenia 1(c) wynika, z·e
Cov(X; Y ) = E(XY )
EX EY:
(15)
Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi;
w przeciwnym przypadku –skorelowanymi.
Korzystajac
¾ z nierówności Schwarza dla ca÷ek, moz·na wykazać nastepuj
¾ ac
¾ a¾
nierówność:
p
jCov(X; Y )j
Var X Var Y ;
(16)
4
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1
zmienne losowe X i Y zwiazane
¾
sa¾ zalez·nościa¾ liniowa,
¾ tzn. istnieja¾ takie liczby
a, b 2 R, z·e
P fY = aX + bg = 1:
(17)
Wspó÷
czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczbe¾
Corr(X; Y ) :=
Cov(X; Y )
X
Y
=p
Cov(X; Y )
:
Var X Var Y
(18)
Z nierówności (16) wynika, z·e jCorr(X; Y )j
1, a równość zachodzi tylko w
przypadku liniowej zalez·ności miedzy
¾
zmiennymi X i Y .
Z Twierdzenia 2 i z równości (15) wynika, z·e jeśli zmienne losowe X i Y sa¾
niezalez·ne i maja¾ wartość oczekiwana,
¾ to sa¾ nieskorelowane.
Za÷
óz·my teraz, z·e zmienne losowe X i Y przyjmuja¾skończenie wiele wartości
i z·e dany jest rozk÷
ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych
(X; Y ), tzn. dane sa¾skończone ciagi
¾ liczbowe x1 ; :::; xn i y1 ; :::; yn oraz ciag
¾ liczb
dodatnich p1 ; :::; pn takie, z·e
n
X
pi = 1 oraz
P (X = xi ; Y = yi ) = pi , i = 1; :::; n:
(19)
i=1
Wówczas, korzystajac
¾ z wzoru (3) na wartość oczekiwana,
¾ moz·emy zapisać wzór
(14) w postaci
n
X
Cov(X; Y ) =
pi (xi EX) (yi EY ) :
(20)
i=1
1.9
Wariancja sumy zmiennych losowych
Dotychczas podaliśmy wzór na wariancje¾ sumy zmiennych losowych jedynie w
przypadku zmiennych losowych niezalez·nych (wzór (13)). Obecnie podamy wzór
dla przypadku ogólnego.
Twierdzenie 4. Je·zeli
¾ to istPnzmienne losowe X1 ; :::; Xn maja¾ wariancje,
nieje te·z wariancja sumy
X
i
zachodzi
równo
´s´c
i
i=1
!
n
n
X
X
X
Var
Xi =
Var Xi + 2
Cov(Xi ; Xj ):
(21)
i=1
i=1
1 i<j n
Wniosek. Je·zeli zmienne losowe X1 ; :::; Xn maja¾ wariancje¾ i sa¾ parami
nieskorelowane, to zachodzi równo´s´c (13).
1.10
Dystrybuanta zmiennej losowej
Dystrybuanta¾ zmiennej losowej X :
! R nazywamy funkcje¾ F : R !
[0; 1] określona¾ wzorem
F (t) := P (X t):
(22)
5
Twierdzenie 5. Dystrybuanta F zmiennej losowej X ma nastepuj
¾ ace
¾ w÷asno´sci:
(a) F jest niemalejaca.
¾
(b) F jest prawostronnie ciag÷
¾ a.
(c) limt! 1 F (t) = 0, limt!+1 F (t) = 1.
Twierdzenie 6. Je·zeli funkcja F : R ! [0; 1] spe÷nia warunki (a)–(c)
Twierdzenia 5, to jest dystrybuanta¾ pewnej zmiennej losowej; jej rozk÷ad jest
wyznaczony jednoznacznie.
Twierdzenie 7. Je·zeli F jest dystrybuanta¾ zmiennej losowej X, to dla
ka·zdego t 2 R,
P (X < t) = F (t ) := lim F (s):
(23)
s!t
n
Niech X = (X1 ; :::; Xn ) :
! R bedzie
¾
zmienna¾ losowa¾ n-wymiarowa¾
(wektorem losowym). Rozk÷
ad prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest
zde…niowany ogólnie wzorem (2). Rozk÷ad ten nazywamy rozk÷
adem ÷
acznym
¾
wektora losowego X. Gdy znamy rozk÷
ad ÷
aczny,
¾
to znamy takz·e rozk÷ad kaz·dej
wspó÷
rzednej:
¾
P (Xj 2 B) = P (X1 2 R; :::; Xj
1
2 R; Xj 2 B; Xj+1 2 R; :::; Xn 2 R):
(24)
Rozk÷
ady (24) nazywamy rozk÷
adami brzegowymi wektora losowego X.
Dystrybuanta¾ wektora losowego X nazywamy funkcje¾ F : Rn ! [0; 1]
określona¾ wzorem
F (t1 ; :::; tn ) := P (X1
t1 ; :::; Xn
tn ):
(25)
Dystrybuantami brzegowymi F1 ; :::; Fn nazywamy dystrybuanty odpowiednio zmiennych losowych X1 ; :::; Xn .
1.11
Zmienne losowe zwiazane
¾
z ryzykiem kredytowym
Ryzyko kredytowe bedziemy
¾
rozpatrywać jako ryzyko niedotrzymania warunków
umowy przez kredytobiorce¾ (osobe¾ lub instytucje).
¾ Dla banku udzielajacego
¾
wielu kredytów istotna jest takz·e ocena ryzyka jednoczesnego wystapienia
¾
wielu
przypadków niewyp÷acalności klientów oraz badanie zalez·ności miedzy
¾
tymi
zdarzeniami losowymi.
1.11.1
Przypadek pojedynczego kredytobiorcy
Podstawowa¾ zmienna¾ losowa,
¾ która¾ tutaj rozwaz·amy, jest strata, oznaczana
przez L (od ang. loss). Jest ona dana wzorem
L := EAD SEV Y;
(26)
gdzie
EAD (exposure at default) –maksymalna wartość, jaka moz·e być utracona
w przypadku niedotrzymania warunków umowy przez kredytobiorce.
¾ Jest to
wartość ustalona, a wiec
¾ nie jest zmienna¾ losowa.
¾
6
SEV (severity) – zmienna losowa o wartościach w przedziale [0; 1]; podaje
ona, jaki procent wartości EAD jest faktycznie tracony przy zajściu zdarzenia
niedotrzymania warunków;
Y –zmienna losowa o wartościach w zbiorze f0; 1g; przyjmuje wartość 0, gdy
kredytobiorca dotrzyma warunków, a 1 w przeciwnym przypadku. Zmienna¾ Y
nazywamy wskaźnikiem niedotrzymania warunków.
Ponadto de…niujemy:
LGD (loss given default) –strata (jako procent wartości EAD) w przypadku
niedotrzymania warunków. Jest to parametr modelu, który zwykle wyznacza
sie¾ z wzoru
LGD = E(SEV ):
(27)
P D (probability of default) –prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków.
Wówczas wartość oczekiwana wskaźnika niedotrzymania warunków wyraz·a
sie¾ wzorem
EY = 1 P D + 0 (1 P D) = P D:
(28)
Za÷
óz·my, z·e bank udzieli÷kredytu w wysokości K jednostek pieniedzy
¾
na okres
1 roku, a stopa oprocentowania tego kredytu wynosi R. W przypadku dotrzymania warunków umowy bank otrzyma po roku kwote¾
EAD = K(1 + R):
(29)
Jest to jednocześnie maksymalna kwota, jaka¾ bank moz·e stracić w przypadku
niedotrzymania warunków. W praktyce w wiekszości
¾
przypadków bankowi
udaje sie¾ odzyskać cześć
¾ tej kwoty. Wysokość tej odzyskanej kwoty przyjmujemy jako EAD(1 LGD). Wartość oczekiwana kwoty uzyskanej przez bank
po roku wynosi zatem
K(1 + R)(1 P D) + K(1 + R)(1 LGD)P D
= K(1 + R)[(1 P D) + (1 LGD)P D]:
(30)
Przyjmuje sie,
¾ z·e wartość ta powinna być równa kwocie kredytu wolnej od
ryzyka, tj. obliczonej dla tzw. stopy procentowej wolnej od ryzyka (risk-free
rate), oznaczanej Rf :
K(1 + R)[(1
P D) + (1
LGD)P D] = K(1 + Rf ):
(31)
Z równości (31) moz·na otrzymać dwa inne wzory:
1) Wzór na implikowane prawdopodobieństwo niedotrzymania (implied default probability) –jest to prawdopodobieństwo niedotrzymania warunków
umowy wynikajace
¾ z przyjetego
¾
modelu:
PD =
1+Rf
1+R
1
LGD
:
(32)
2) Wzór na spread kredytowy (credit spread ), czyli róz·nice¾ miedzy
¾
stopa¾
procentowa¾ uwzgledniaj
¾
ac
¾ a¾ ryzyko a stopa¾ wolna¾ od ryzyka:
R
Rf = (1 + Rf )
7
LGD P D
:
1 LGD P D
(33)
Oczekiwana¾ strata¾ (expected loss) nazywamy wartość oczekiwana¾ straty
(26). Zak÷
adajac
¾ niezalez·ność zmiennych losowych SEV i Y , otrzymujemy na
mocy Twierdzenia 2 oraz (27) i (28)
EL = E(EAD SEV Y ) = EAD E(SEV ) E(Y )
= EAD LGD P D:
(34)
Nieoczekiwana¾ strata¾ (unexpected loss) nazywamy odchylenie standardowe straty (26)
p
p
p
Var L = Var(EAD SEV Y ) = EAD Var(SEV Y ):
(35)
L =
Twierdzenie 8. Je·zeli zmienne losowe SEV i Y sa¾ niezale·zne, to
p
2
P D):
L = EAD Var(SEV )P D + LGD P D(1
1.11.2
(36)
Portfel wielu kredytów
Bedziemy
¾
teraz rozwaz·ać ryzyko portfela P z÷oz·onego z m kredytów. Podstawowa¾ zmienna¾ ryzyka w tym przypadku jest strata z portfela LP określona
wzorem
m
m
X
X
LP :=
Li =
EADi SEVi Yi ;
(37)
i=1
i=1
gdzie wszystkie zmienne z dolnym indeksem i dotycza¾ i-tego kredytu. Oczekiwana strata z portfela P jest równa, zgodnie z (34),
E(LP ) =
m
X
i=1
E(Li ) =
m
X
EADi LGDi P Di ;
(38)
i=1
przy za÷
oz·eniu, z·e dla kaz·dego i zmienne losowe SEVi i Yi sa¾niezalez·ne. Nieoczekiwana¾ strata¾ z portfela P nazywamy odchylenie standardowe (LP ) straty
z portfela.
Twierdzenie 9.
v
uX
u m
(LP ) = t
EADi EADj Cov (SEVi Yi ; SEVj Yj ):
(39)
i;j=1
Twierdzenie 10. Za÷ó·zmy, ·ze poziom straty w przypadku niedotrzymania
warunków jest sta÷y i jest taki sam dla wszystkich sk÷adników portfela:
SEVi
LGDi = LGD;
8i 2 f1; :::; mg:
(40)
Wówczas
v
uX
u m
(LP ) = t
EADi EADj LGD2
i;j=1
ij
q
P Di (1
P Di )P Dj (1
P Dj );
(41)
gdzie
ij
:= (SEVi Yi ; SEVj Yj ) = (Yi ; Yj ):
8
(42)
1.12
Warunkowa wartość oczekiwana
Niech ( ; F; P ) bedzie
¾
przestrzenia¾ probabilistyczna.
¾ Dla dowolnego A 2 F
takiego, z·e P (A) > 0, zde…niujmy funkcje¾ PA : F ! R wzorem
PA (B) := P (Bj A) =
P (B \ A)
:
P (A)
(43)
Moz·na ÷
atwo wykazać, z·e PA jest rozk÷
adem prawdopodobieństwa na , tzn.
spe÷
nia aksjomaty (A1)–(A3) de…nicji prawdopodobieństwa.
Dla dowolnej zmiennej losowej X : ! R posiadajacej
¾ wartość oczekiwana¾
de…niujemy jej warunkowa¾ wartość oczekiwana¾ pod warunkiem zajścia
zdarzenia A nastepuj
¾ aco:
¾
Z
E (Xj A) :=
XdPA :
(44)
Wzór podany w poniz·szym twierdzeniu oznacza, z·e E (Xj A) jest średnia¾
wartościa¾ zmiennej losowej X na zbiorze A.
Twierdzenie 11. Je·zeli P (A) > 0 i X jest zmienna¾ losowa¾ o sko´nczonej
warto´sci oczekiwanej, to
Z
1
XdP:
(45)
E (Xj A) =
P (A) A
Zde…niujemy teraz warunkowa¾ wartość oczekiwana¾ wzgledem
¾
-cia÷
a generowanego przez co najwyz·ej przeliczalna¾ liczbe¾ zdarzeń. Do tego potrzebne
nam bedzie
¾
nastepuj
¾ ace
¾ oznaczenie: dla dowolnego zdarzenia A 2 F, symbol
1A oznacza zmienna¾ losowa¾ określona¾ nastepuj
¾ aco:
¾
1A (!) :=
1 dla ! 2 A;
0 dla ! 2 nA:
(46)
S
Niech = i2I Ai , gdzie I jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, zaś
zdarzenia Ai o dodatnim prawdopodobieństwie stanowia¾ rozbicie przestrzeni .
Niech G = (Ai ; i 2 I) bedzie
¾
najmniejszym -cia÷em zawierajacym
¾
zbiory Ai .
Dla dowolnej zmiennej losowej X :
! R posiadajacej
¾ wartość oczekiwana¾
de…niujemy jej warunkowa¾ wartość oczekiwana¾ pod warunkiem -cia÷
a
G jako zmienna¾ losowa¾ E (Xj G) : ! R zde…niowana¾ wzorem
X
E (Xj G) (!) :=
E (Xj Ai ) 1Ai (!); ! 2 :
(47)
i2I
Twierdzenie 12. Warunkowa warto´s´c oczekiwana E (Xj G) posiada nastepu¾
jace
¾ w÷asno´sci:
(a) E (Xj G) jest mierzalna wzgledem
¾
-cia÷a G.
(b) Je·zeli B 2 G, to
Z
Z
XdP =
E (Xj G) dP:
(48)
B
B
9
Powyz·sze twierdzenie umoz·liwia uogólnienie de…nicji warunkowej wartości
oczekiwanej na przypadek dowolnego -cia÷a G. Warunkowa¾wartościa¾oczekiwana¾ zmiennej losowej X pod warunkiem -cia÷
a G nazywamy dowolna¾
zmienna¾ losowa¾ E (Xj G) spe÷
niajac
¾ a¾ warunki (a) i (b) Twierdzenia 12.
Twierdzenie 13. Niech G bedzie
¾
dowolnym -cia÷em zawartym w F i niech
X : ! R bedzie
¾
zmienna¾ losowa¾ posiadajac
¾ a¾ warto´s´c oczekiwana.
¾ Wówczas:
(a) Istnieje warunkowa warto´s´c oczekiwana dla X pod warunkiem G i jest
ona wyznaczona jednoznacznie z dok÷adno´scia¾do zdarze´n o prawdopodobie´nstwie
zero: je·zeli Y1 i Y2 sa¾takimi warto´sciami oczekiwanymi dla X, to P (Y1 6= Y2 ) =
0.
(b) Zachodzi równo´s´c
EX = E(E (Xj G)):
(49)
Jez·eli X :
! R jest zmienna¾ losowa¾ posiadajac
¾ a¾ wartość oczekiwana,
¾ a
Y : ! Rn –dowolnym wektorem losowym, to moz·emy zde…niować warunkowa¾ wartość oczekiwana¾ zmiennej losowej X przy warunku zmiennej
losowej Y :
E (Xj Y ) := E (Xj (Y )) ;
(50)
gdzie (Y ) oznacza najmniejsze -cia÷o, przy którym zmienna losowa Y jest
mierzalna. Wówczas z wzoru (49) otrzymujemy
EX = E(E (Xj Y )):
(51)
Dla dowolnego zdarzenia B 2 F i dowolnego -cia÷a G F, prawdopodobieństwem warunkowym B wzgledem
¾
G nazywamy zmienna¾losowa¾P (Bj G)
określona¾ wzorem
P (Bj G) := E (1B j G) :
(52)
Analogicznie do (50), określamy prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B wzgledem
¾
zmiennej losowej Y :
P (Bj Y ) := P (Bj (Y )) = E (1B j (Y )) :
(53)
Funkcje¾ h : Rn ! Rm nazywamy borelowska,
¾ jez·eli h 1 (B) 2 B(Rn ) dla
m
kaz·dego B 2 B(R ).
Twierdzenie 14. Je·zeli X :
! R jest zmienna¾ losowa¾ posiadajac
¾ a¾
warto´s´c oczekiwana,
¾ a Y : ! Rn – dowolnym wektorem losowym, to istnieje
funkcja borelowska h : Rn ! R taka, ·ze
E (Xj Y ) = h(Y ):
10
(54)